Касательный пучок

Касательные пространства многообразия

Неформально, касательное расслоение многообразия (которое в данном случае представляет собой круг) получается путем рассмотрения всех касательных пространств (вверху) и их плавного и непересекающегося соединения (внизу). ^{[примечание 1]}

Касательное расслоение — это совокупность всех касательных пространств для всех точек многообразия , структурированная таким образом, что она сама образует новое многообразие. Формально в дифференциальной геометрии касательное расслоение дифференцируемого многообразия — это многообразие , которое собирает все касательные векторы в . Как множество, оно задается несвязным объединением ^{[примечание 1]} касательных пространств . То есть, ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}TM&=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,y)\mid y\in T_{x}M\right\}\\&=\left\{(x,y)\mid x\in M,\,y\in T_{x}M\right\}\end{aligned}}}$

где обозначает касательное пространство к точке . Итак, элемент можно рассматривать как пару где — точка в и — касательный вектор к at . ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$

Есть естественная проекция

${\displaystyle \pi :TM\twoheadrightarrow M}$

определяется . Эта проекция отображает каждый элемент касательного пространства в одну точку . ${\displaystyle \pi (x,v)=x}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x}$

Касательное расслоение имеет естественную топологию (описанную в разделе ниже). В этой топологии касательное расслоение к многообразию является прототипом векторного расслоения (которое представляет собой расслоение , слои которого являются векторными пространствами ). Сечение представляет собой векторное поле на , а двойственное расслоение к является кокасательным расслоением , которое представляет собой несвязное объединение кокасательных пространств поля . По определению многообразие распараллеливаемо тогда и только тогда , когда касательное расслоение тривиально . По определению многообразие оснащено тогда и только тогда, когда касательное расслоение стабильно тривиально, а это означает, что для некоторого тривиального расслоения сумма Уитни тривиальна . Например, n -мерная сфера Sn оснащена для всех n , но распараллеливаема только для n = 1, 3, 7 ⁽ по результатам Ботта-Милнора и Кервера). ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle TM\oplus E}$

Роль

Одна из основных ролей касательного расслоения — предоставить область определения и диапазон для производной гладкой функции. А именно, если — гладкая функция с и гладкими многообразиями, то ее производная — гладкая функция . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$

Топология и гладкая структура

Касательное расслоение имеет естественную топологию ( а не топологию непересекающегося объединения ) и гладкую структуру , позволяющую превратить его в самостоятельное многообразие. Размерность в два раза больше размерности . ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

Каждое касательное пространство n -мерного многообразия является n -мерным векторным пространством. Если - открытое сжимаемое подмножество , то существует диффеоморфизм , который ограничивается линейным изоморфизмом из каждого касательного пространства к . Однако многообразие не всегда диффеоморфно многообразию произведений . Если оно имеет вид , то касательное расслоение называется тривиальным . Тривиальные касательные расслоения обычно возникают для многообразий, снабженных «совместимой групповой структурой»; например, в случае, когда многообразие является группой Ли . Касательное расслоение единичной окружности тривиально, поскольку оно является группой Ли (относительно умножения и ее естественной дифференциальной структуры). Однако неверно, что все пространства с тривиальными касательными расслоениями являются группами Ли; Многообразия, имеющие тривиальное касательное расслоение, называются распараллеливаемыми . Так же, как многообразия локально моделируются в евклидовом пространстве , касательные расслоения локально моделируются в , где – открытое подмножество евклидова пространства. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TU\to U\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{x}U}$ ${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$

Если M — гладкое n -мерное многообразие, то оно снабжено атласом карт , где — открытое множество в и ${\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}}$

является диффеоморфизмом . Эти локальные координаты приводят к изоморфизму для всех . Затем мы можем определить карту ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in U_{\alpha }}$

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }:\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to \mathbb {R} ^{2n}}$

к

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(x,v^{i}\partial _{i}\right)=\left(\phi _{\alpha }(x),v^{1},\cdots ,v^{n}\right)}$

Мы используем эти карты для определения топологии и гладкой структуры на . Подмножество открыто тогда и только тогда, когда ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(A\cap \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\right)}$

открыто для каждого. Эти отображения являются гомеоморфизмами между открытыми подмножествами и поэтому служат картами для гладкой структуры на . Функции перехода на перекрытиях диаграмм индуцируются матрицами Якоби соответствующего преобразования координат и, следовательно, представляют собой гладкие карты между открытыми подмножествами . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Касательное расслоение является примером более общей конструкции, называемой векторным расслоением (которое само по себе является особым видом расслоения ). Явно касательное расслоение к -мерному многообразию можно определить как векторное расслоение ранга, функции перехода над которым задаются якобианом соответствующих преобразований координат. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

Примеры

Самый простой пример – это . В этом случае касательное расслоение тривиально: каждое канонически изоморфно через отображение , которое вычитает , давая диффеоморфизм . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{x}\mathbf {\mathbb {R} } ^{n}}$ ${\displaystyle T_{0}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$

Другой простой пример — единичный круг (см. рисунок выше). Касательное расслоение окружности также тривиально и изоморфно . Геометрически это цилиндр бесконечной высоты. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$

Единственные касательные расслоения, которые можно легко визуализировать, — это расслоения вещественной прямой и единичной окружности , оба из которых тривиальны. Для двумерных многообразий касательное расслоение четырехмерно и, следовательно, его трудно визуализировать. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

Простым примером нетривиального касательного расслоения является единичная сфера : это касательное расслоение нетривиально в силу теоремы о волосатом шаре . Следовательно, сфера не распараллеливаема . ${\displaystyle S^{2}}$

Векторные поля

Гладкое присвоение касательного вектора каждой точке многообразия называется векторным полем . В частности, векторное поле на многообразии представляет собой гладкое отображение. ${\displaystyle M}$

${\displaystyle V\colon M\to TM}$

такой, что для каждого . На языке расслоений такое отображение называется сечением . Поэтому векторное поле на является сечением касательного расслоения к . ${\displaystyle V(x)=(x,V_{x})}$ ${\displaystyle V_{x}\in T_{x}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Множество всех векторных полей на обозначается . Векторные поля можно складывать поточечно. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma (TM)}$

${\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}$

и умноженный на гладкие функции на M

${\displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x}}$

чтобы получить другие векторные поля. Множество всех векторных полей тогда принимает структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких функций на M , обозначаемой . ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

Локальное векторное поле на является локальным сечением касательного расслоения. То есть локальное векторное поле определяется только на некотором открытом множестве и присваивается каждой точке вектора в соответствующем касательном пространстве. Набор локальных векторных полей на образует структуру, известную как пучок вещественных векторных пространств на . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Приведенная выше конструкция одинаково хорошо применима и к кокасательному расслоению – дифференциальные 1-формы на являются в точности сечениями кокасательного расслоения , которые сопоставляют каждой точке 1-ковектор , который отображает касательные векторы в действительные числа: . Эквивалентно, дифференциальная 1-форма отображает гладкое векторное поле в гладкую функцию . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$ ${\displaystyle \omega :M\to T^{*}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \omega _{x}\in T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \omega _{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$ ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle \omega (X)\in C^{\infty }(M)}$

Касательные расслоения высшего порядка

Поскольку касательное расслоение само по себе является гладким многообразием, касательное расслоение второго порядка можно определить путем многократного применения конструкции касательного расслоения: ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle T^{2}M=T(TM).\,}$

В общем, касательное расслоение порядка th можно определить рекурсивно как . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T^{k}M}$ ${\displaystyle T\left(T^{k-1}M\right)}$

Гладкое отображение имеет индуцированную производную, для которой касательное расслоение является подходящей областью и диапазоном . Аналогичным образом, касательные расслоения более высокого порядка обеспечивают область определения и диапазон для производных более высокого порядка . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$ ${\displaystyle D^{k}f:T^{k}M\to T^{k}N}$

Отдельной, но родственной конструкцией являются пучки струй на многообразии, которые представляют собой пучки, состоящие из струй .

Каноническое векторное поле на касательном расслоении

На каждом касательном расслоении , рассматриваемом как само многообразие, можно определить каноническое векторное поле как диагональное отображение касательного пространства в каждой точке. Это возможно, потому что касательное пространство векторного пространства W, естественно, является продуктом, поскольку само векторное пространство плоское и, следовательно, имеет естественное диагональное отображение, заданное под этой структурой продукта. Применение этой структуры произведения к касательному пространству в каждой точке и глобализация дает каноническое векторное поле. Неформально, хотя многообразие искривлено, каждое касательное пространство в точке , плоско, поэтому многообразие касательного расслоения локально является произведением кривого и плоского . Таким образом, касательное расслоение касательного расслоения является локальным (используя для «выбора координаты» и для «естественной идентификации»): ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$ ${\displaystyle TW\cong W\times W,}$ ${\displaystyle W\to TW}$ ${\displaystyle w\mapsto (w,w)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}M\approx \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \cong }$

${\displaystyle T(TM)\approx T(M\times \mathbb {R} ^{n})\cong TM\times T(\mathbb {R} ^{n})\cong TM\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})}$

а карта — это проекция на первые координаты: ${\displaystyle TTM\to TM}$

${\displaystyle (TM\to M)\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}).}$

Разделение первой карты по нулевой секции и второй карты по диагонали дает каноническое векторное поле.

Если – локальные координаты для , векторное поле имеет выражение ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle V=\sum _{i}\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)}.}$

Короче говоря, первая пара координат не меняется, потому что это сечение пучка, а это всего лишь точка в базовом пространстве: последняя пара координат — это само сечение. Это выражение для векторного поля зависит только от , а не от , поскольку естественным образом можно идентифицировать только касательные направления. ${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v,0,v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$

В качестве альтернативы рассмотрим скалярную функцию умножения:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} \times TM\to TM\\(t,v)\longmapsto tv\end{cases}}}$

Производной этой функции по переменной во времени является функция , которая является альтернативным описанием канонического векторного поля. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$

Существование такого векторного поля на аналогично канонической одноформе на кокасательном расслоении . Иногда его еще называют векторным полем Лиувилля или радиальным векторным полем . С помощью можно охарактеризовать касательное расслоение. По сути, его можно охарактеризовать с помощью четырех аксиом, и если многообразие имеет векторное поле, удовлетворяющее этим аксиомам, то многообразие является касательным расслоением, а векторное поле является каноническим векторным полем на нем. См., например, Де Леон и др. ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Лифты

Существуют различные способы поднять объекты на объекты на . Например, если это кривая в , то ( тангенс ) является кривой в . Напротив, без дальнейших предположений (скажем, о римановой метрике ) не существует аналогичного подъема в кокасательное расслоение . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

Вертикальный подъем функции – это функция, определяемая , где – каноническая проекция. ${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{\vee }:TM\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{\vee }=f\circ \pi }$ ${\displaystyle \pi :TM\rightarrow M}$

Смотрите также

• Толчок вперед (дифференциал)
• Единичный касательный пучок
• Котангенс расслоение
• Комплект рамок
• Музыкальный изоморфизм

Примечания

1. Непересекающееся объединение гарантирует, что для любых двух точек x ₁ и x ₂ многообразия M касательные пространства T ₁ и T ₂ не имеют общего вектора. Это графически показано на прилагаемом рисунке для касательного расслоения к окружности S ¹ , см. раздел «Примеры»: все касательные к окружности лежат в плоскости окружности. Чтобы сделать их непересекающимися, необходимо выровнять их в плоскости, перпендикулярной плоскости окружности.

Рекомендации

• Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия , Аспирантура по математике , том. 107, Провиденс: Американское математическое общество.. ISBN 978-0-8218-4815-9 
• Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 218. дои : 10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9981-8.
• Юрген Йост , Риманова геометрия и геометрический анализ , (2002) Springer-Verlag, Берлин. ISBN 3-540-42627-2 
• Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон. ISBN 0-8053-0102-X 
• Леон, М. Де; Мерино, Э.; Убинья, JA; Сальгадо, М. (1994). «Характеристика касательных и стабильных касательных расслоений» (PDF) . Annales de l'IHP: Physique Théorique . 61 (1): 1–15.
• Гудмундссон, Зигмундур; Каппос, Элиас (2002). «О геометрии касательных расслоений». Экспозиции Mathematicae . 20 : 1–41. дои : 10.1016/S0723-0869(02)80027-5.

Внешние ссылки

• «Касательное расслоение», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: Tangent Bundle
• PlanetMath: Касательный пакет