Теорема Лагранжа о четырех квадратах

Каждое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел.

В отличие от трех измерений, в которых расстояния между вершинами поликуба с единичными ребрами исключают √7 из-за теоремы Лежандра о трех квадратах , теорема Лагранжа о четырех квадратах утверждает, что аналог в четырех измерениях дает квадратные корни любого натурального числа.

Теорема Лагранжа о четырех квадратах , также известная как гипотеза Баше , утверждает, что каждое неотрицательное целое число может быть представлено в виде суммы четырех неотрицательных целых квадратов . ^[1] То есть, квадраты образуют аддитивный базис четвертого порядка. где четыре числа являются целыми числами. Для иллюстрации, 3, 31 и 310 могут быть представлены в виде суммы четырех квадратов следующим образом: $${\displaystyle p=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$$ ${\displaystyle a,b,c,d}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}3&=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}\\[3pt]31&=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}\\[3pt]310&=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}\\[3pt]&=16^{2}+7^{2}+2^{2}+1^{2}\\[3pt]&=15^{2}+9^{2}+2^{2}+0^{2}\\[3pt]&=12^{2}+11^{2}+6^{2}+3^{2}.\end{aligned}}}$$

Эта теорема была доказана Жозефом Луи Лагранжем в 1770 году. Она является частным случаем теоремы Ферма о многоугольных числах .

Историческое развитие

Из примеров, приведенных в «Арифметике» , ясно, что Диофант знал эту теорему. Эта книга была переведена в 1621 году на латынь Баше (Клод Гаспар Баше де Мезириак) , который сформулировал теорему в примечаниях к своему переводу. Но теорема была доказана только в 1770 году Лагранжем. ^[2]

Адриен-Мари Лежандр расширил теорему в 1797–1798 годах своей теоремой о трех квадратах , доказав, что положительное целое число может быть выражено в виде суммы трех квадратов тогда и только тогда, когда оно не имеет вида для целых чисел k и m . Позднее, в 1834 году, Карл Густав Якоб Якоби открыл простую формулу для числа представлений целого числа в виде суммы четырех квадратов с помощью своей теоремы о четырех квадратах . ${\displaystyle 4^{k}(8m+7)}$

Формула также связана с теоремой Декарта о четырех «целующихся окружностях», которая включает сумму квадратов кривизн четырех окружностей. Это также связано с аполлоновыми прокладками , которые позднее были связаны с гипотезой Рамануджана–Петерссона . ^[3]

Доказательства

Классическое доказательство

Существует несколько очень похожих современных версий ^{[4] [5] [6]} доказательства Лагранжа. Приведенное ниже доказательство представляет собой слегка упрощенную версию, в которой случаи, когда m четно или нечетно, не требуют отдельных аргументов.

Классическое доказательство

Достаточно доказать теорему для каждого нечетного простого числа p . Это немедленно следует из четырехквадратного тождества Эйлера (и из того факта, что теорема верна для чисел 1 и 2).

Остатки a ² по модулю p различны для каждого a между 0 и ( p − 1)/2 (включительно). Чтобы увидеть это, возьмем некоторое a и определим c как a ² mod p . a является корнем многочлена x ² − c над полем Z/ p Z . Так же как и p − a (который отличен от a ). В поле K любой многочлен степени n имеет не более n различных корней ( теорема Лагранжа (теория чисел) ), поэтому нет других a с этим свойством, в частности, не среди 0 до ( p − 1)/2 .

Аналогично, для b, принимающего целые значения от 0 до ( p − 1)/2 (включительно), − b ² − 1 различны. По принципу ящика существуют a и b в этом диапазоне, для которых a ² и − b ² − 1 сравнимы по модулю p , то есть для которых $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}=np.}$$

Теперь пусть m будет наименьшим положительным целым числом, таким что mp является суммой четырех квадратов, x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² (мы только что показали, что существует некоторое m (а именно n ) с этим свойством, поэтому существует по крайней мере одно m , и оно меньше p ). Покажем от противного, что m равно 1: предположив, что это не так, мы докажем существование положительного целого числа r , меньшего m , для которого rp также является суммой четырех квадратов (это в духе метода бесконечного спуска ^[7] Ферма).

Для этой цели мы рассматриваем для каждого x _i y i _, который находится в том же классе вычетов по модулю m и между (– m + 1)/2 и m /2 (возможно, включая их). Из этого следует, что y ₁ ² + y ₂ ² + y ₃ ² + y ₄ ² = mr , для некоторого строго положительного целого числа r, меньшего  m .

Наконец, еще одно обращение к тождеству четырех квадратов Эйлера показывает, что mpmr = z ₁ ² + z ₂ ² + z ₃ ² + z ₄ ² . Но тот факт, что каждый x _i конгруэнтен соответствующему ему y _{i ,} подразумевает, что все z _i делятся на m . Действительно, $${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}&=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}&\equiv x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}&=mp\equiv 0&{\pmod {m}},\\z_{2}&=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}&\equiv x_{1}x_{2}-x_{2}x_{1}+x_{3}x_{4}-x_{4}x_{3}&=0&{\pmod {m}},\\z_{3}&=x_{1}y_{3}-x_{2}y_{4}-x_{3}y_{1}+x_{4}y_{2}&\equiv x_{1}x_{3}-x_{2}x_{4}-x_{3}x_{1}+x_{4}x_{2}&=0&{\pmod {m}},\\z_{4}&=x_{1}y_{4}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{1}&\equiv x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}-x_{3}x_{2}-x_{4}x_{1}&=0&{\pmod {m}}.\end{cases}}}$$

Отсюда следует, что при w _i = z _i / m , w ₁ ² + w ₂ ² + w ₃ ² + w ₄ ² = rp , а это противоречит минимальности  m .

В приведенном выше спуске мы должны исключить как случай y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = m /2 (который дал бы r = m и никакого спуска), так и случай y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = 0 (который дал бы r = 0, а не строго положительное число). Для обоих этих случаев можно проверить, что mp = x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² будет кратным m ² , что противоречит тому факту, что p является простым числом, большим m .

Доказательство с использованием целых чисел Гурвица

Другой способ доказательства теоремы основан на кватернионах Гурвица , которые являются аналогом целых чисел для кватернионов . ^[8]

Доказательство с использованием целых чисел Гурвица

Кватернионы Гурвица состоят из всех кватернионов с целыми компонентами и всех кватернионов с полуцелыми компонентами. Эти два набора можно объединить в одну формулу, где — целые числа. Таким образом, компоненты кватерниона — это либо все целые числа, либо все полуцелые числа, в зависимости от того, является ли четным или нечетным, соответственно. Набор кватернионов Гурвица образует кольцо ; то есть сумма или произведение любых двух кватернионов Гурвица также является кватернионом Гурвица. $${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}E_{0}(1+\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} )+E_{1}\mathbf {i} +E_{2}\mathbf {j} +E_{3}\mathbf {k} =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$$ ${\displaystyle E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}}$ ${\displaystyle E_{0}}$

(Арифметическая или полевая) норма рационального кватерниона — это неотрицательное рациональное число , где — сопряженное число . Обратите внимание, что норма кватерниона Гурвица всегда является целым числом. (Если коэффициенты являются полуцелыми числами, то их квадраты имеют вид , а сумма четырех таких чисел является целым числом.) ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$$ ${\displaystyle {\bar {\alpha }}=a_{0}-a_{1}\mathbf {i} -a_{2}\mathbf {j} -a_{3}\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}+n:n\in \mathbb {Z} }$

Поскольку умножение кватернионов ассоциативно, а действительные числа коммутируют с другими кватернионами, норма произведения кватернионов равна произведению норм: $${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha \beta )=\alpha \beta ({\overline {\alpha \beta }})=\alpha \beta {\bar {\beta }}{\bar {\alpha }}=\alpha \mathrm {N} (\beta ){\bar {\alpha }}=\alpha {\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\beta )=\mathrm {N} (\alpha )\mathrm {N} (\beta ).}$$

Для любого , . Легко следует, что является единицей в кольце кватернионов Гурвица тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle \alpha ^{-1}={\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\alpha )^{-1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=1}$

Доказательство основной теоремы начинается с редукции к случаю простых чисел. Четырехквадратное тождество Эйлера подразумевает, что если теорема Лагранжа о четырех квадратах верна для двух чисел, то она верна и для произведения этих двух чисел. Поскольку любое натуральное число можно разложить на степени простых чисел, достаточно доказать теорему для простых чисел. Она верна для . Чтобы показать это для нечетного простого целого числа p , представим его в виде кватерниона и предположим на данный момент (как мы покажем позже), что он не является неприводимым по Гурвицу ; то есть его можно разложить на два неединичных кватерниона Гурвица ${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}}$ ${\displaystyle (p,0,0,0)}$ $${\displaystyle p=\alpha \beta .}$$

Нормы являются целыми числами, такими что и . Это показывает, что и и равны p (так как они являются целыми числами), а p является суммой четырех квадратов ${\displaystyle p,\alpha ,\beta }$ $${\displaystyle \mathrm {N} (p)=p^{2}=\mathrm {N} (\alpha \beta )=\mathrm {N} (\alpha )\mathrm {N} (\beta )}$$ ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha ),\mathrm {N} (\beta )>1}$ ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$ ${\displaystyle \mathrm {N} (\beta )}$ $${\displaystyle p=\mathrm {N} (\alpha )=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}.}$$

Если так случилось, что выбранный имеет полуцелые коэффициенты, его можно заменить другим кватернионом Гурвица. Выбрать таким образом, чтобы имел четные целые коэффициенты. Тогда ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega =(\pm 1\pm \mathbf {i} \pm \mathbf {j} \pm \mathbf {k} )/2}$ ${\displaystyle \gamma \equiv \omega +\alpha }$ $${\displaystyle p=({\bar {\gamma }}-{\bar {\omega }})\omega {\bar {\omega }}(\gamma -\omega )=({\bar {\gamma }}\omega -1)({\bar {\omega }}\gamma -1).}$$

Так как имеет четные целые коэффициенты, то будет иметь целые коэффициенты и может быть использован вместо исходного, чтобы дать представление p как суммы четырех квадратов. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle ({\bar {\omega }}\gamma -1)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Что касается демонстрации того, что p не является неприводимым числом Гурвица, Лагранж доказал, что любое нечетное простое число p делит по крайней мере одно число вида , где l и m — целые числа. ^[8] Это можно увидеть следующим образом: поскольку p — простое число, может выполняться для целых чисел , только когда . Таким образом, множество квадратов содержит различные остатки по модулю p . Аналогично, содержит остатки. Поскольку всего имеется только p остатков, и , множества X и Y должны пересекаться. ${\displaystyle u=1+l^{2}+m^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a\equiv \pm b{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle X=\{0^{2},1^{2},\dots ,((p-1)/2)^{2}\}}$ ${\displaystyle (p+1)/2}$ ${\displaystyle Y=\{-(1+x):x\in X\}}$ ${\displaystyle (p+1)/2}$ ${\displaystyle |X|+|Y|=p+1>p}$

Число u можно разложить на кватернионы Гурвица: $${\displaystyle 1+l^{2}+m^{2}=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} ).}$$

Норма кватернионов Гурвица удовлетворяет форме евклидова свойства: для любого кватерниона с рациональными коэффициентами мы можем выбрать кватернион Гурвица так, что, сначала выбрав так, что , а затем так, что для . Тогда мы получим ${\displaystyle \alpha =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \beta =b_{0}+b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha -\beta )<1}$ ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle |a_{0}-b_{0}|\leq 1/4}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3}}$ ${\displaystyle |a_{i}-b_{i}|\leq 1/2}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} (\alpha -\beta )&=(a_{0}-b_{0})^{2}+(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}\\&\leq \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {13}{16}}<1.\end{aligned}}}$$

Отсюда следует, что для любых кватернионов Гурвица с , существует кватернион Гурвица такой, что ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \mathrm {N} (\beta -\alpha \gamma )<\mathrm {N} (\alpha ).}$$

Кольцо H кватернионов Гурвица некоммутативно, следовательно, оно не является фактической евклидовой областью и не имеет уникальной факторизации в обычном смысле. Тем не менее, указанное выше свойство подразумевает, что каждый правый идеал является главным . Таким образом, существует кватернион Гурвица, такой что ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \alpha H=pH+(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H.}$$

В частности, для некоторого кватерниона Гурвица . Если бы был единицей, был бы кратен p , однако это невозможно, так как не является кватернионом Гурвица для . Аналогично, если бы был единицей, мы бы имели так что p делит , что снова противоречит тому факту, что не является кватернионом Гурвица. Таким образом, p не является неприводимым по Гурвицу, как и утверждается. ${\displaystyle p=\alpha \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} }$ ${\displaystyle 1/p-l/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j} }$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle (1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )H=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )pH+(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H\subseteq pH}$$ ${\displaystyle 1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} }$ ${\displaystyle 1/p-l/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j} }$

Обобщения

Теорема Лагранжа о четырех квадратах является частным случаем теоремы Ферма о многоугольных числах и проблемы Варинга . Другим возможным обобщением является следующая проблема: Даны натуральные числа , можем ли мы решить ${\displaystyle a,b,c,d}$

$${\displaystyle n=ax_{1}^{2}+bx_{2}^{2}+cx_{3}^{2}+dx_{4}^{2}}$$

для всех положительных целых чисел n в целых числах ? Случай решен положительно теоремой Лагранжа о четырех квадратах. Общее решение было дано Рамануджаном . [ ^9] Он доказал, что если мы предположим, без потери общности, что тогда существует ровно 54 возможных выбора для , таких, что задача разрешима в целых числах для всех n . (Рамануджан перечислил 55-ю возможность , но в этом случае задача неразрешима, если . ^[10] ) ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ ${\displaystyle a=b=c=d=1}$ ${\displaystyle a\leq b\leq c\leq d}$ ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ ${\displaystyle a=1,b=2,c=5,d=5}$ ${\displaystyle n=15}$

Алгоритмы

В 1986 году Майкл О. Рабин и Джеффри Шаллит ^[11] предложили рандомизированные полиномиальные алгоритмы для вычисления единственного представления для заданного целого числа n за ожидаемое время выполнения . В 2018 году они были улучшены Полом Поллаком и Энрике Тревиньо. ^[12] ${\displaystyle n=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (\log(n)^{2})}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (\log(n)^{2}\log(\log(n))^{-1})}$

Количество представлений

Число представлений натурального числа n в виде суммы четырех квадратов целых чисел обозначается r ₄ ( n ). Теорема Якоби о четырех квадратах гласит, что это в восемь раз больше суммы делителей n , если n нечетное, и в 24 раза больше суммы нечетных делителей n, если n четное (см. функцию делителя ), т.е.

$${\displaystyle r_{4}(n)={\begin{cases}8\sum \limits _{m\mid n}m&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\[12pt]24\sum \limits _{\begin{smallmatrix}m|n\\m{\text{ odd}}\end{smallmatrix}}m&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$$

Эквивалентно, это восемь раз больше суммы всех своих делителей, которые не делятся на 4, т.е.

$${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{m\,:\,4\nmid m\mid n}m.}$$

Мы также можем записать это как, где второй член следует принять равным нулю, если n не делится на 4. В частности, для простого числа p мы имеем явную формулу  r ₄ ( p ) = 8( p + 1) . ^[13] $${\displaystyle r_{4}(n)=8\sigma (n)-32\sigma (n/4)\ ,}$$

Некоторые значения r ₄ ( n ) встречаются бесконечно часто, как r ₄ ( n ) = r ₄ (2 ^m n ) всякий раз, когда n четное. Значения r ₄ ( n )/ n могут быть произвольно большими: действительно, r ₄ ( n )/ n бесконечно часто больше 8 √ log n . ^[13]

Уникальность

Последовательность положительных целых чисел, имеющих только одно представление в виде суммы четырех квадратов неотрицательных целых чисел (вплоть до порядка):

1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 15, 23, 24, 32, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 ... (последовательность A006431 в OEIS ).

Эти целые числа состоят из семи нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 11, 15, 23 и всех чисел вида или . ${\displaystyle 2(4^{k}),6(4^{k})}$ ${\displaystyle 14(4^{k})}$

Последовательность положительных целых чисел, которая не может быть представлена ​​в виде суммы четырех ненулевых квадратов:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 17, 24, 29, 32, 41, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 ... (последовательность A000534 в OEIS ).

Эти целые числа состоят из восьми нечетных чисел 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41 и всех чисел вида или . ${\displaystyle 2(4^{k}),6(4^{k})}$ ${\displaystyle 14(4^{k})}$

Дальнейшие уточнения

Теорему Лагранжа о четырех квадратах можно уточнить различными способами. Например, Чжи-Вэй Сунь ^[14] доказал, что каждое натуральное число можно записать в виде суммы четырех квадратов с некоторыми требованиями к выбору этих четырех чисел.

Можно также задаться вопросом, необходимо ли использовать весь набор квадратных целых чисел, чтобы записать каждое натуральное число как сумму четырех квадратов. Эдуард Вирсинг доказал, что существует набор квадратов S с таким, что каждое положительное целое число, меньшее или равное n, может быть записано как сумма не более 4 элементов S . ^[15] ${\displaystyle |S|=O(n^{1/4}\log ^{1/4}n)}$

Смотрите также

• Теорема Ферма о суммах двух квадратов
• Теорема Ферма о многоугольных числах
• Проблема Уоринга
• Теорема Лежандра о трех квадратах
• Теорема о сумме двух квадратов
• Функция суммы квадратов
• 15 и 290 теоремы

Примечания

1. Эндрюс, Джордж Э. (1994), Теория чисел , Dover Publications, стр. 144, ISBN 0-486-68252-8
2. Айрленд и Розен 1990.
3. Сарнак 2013.
4. Ландау 1958, Теоремы 166–169.
5. Харди и Райт 2008, Теорема 369.
6. Нивен и Цукерман 1960, параграф 5.7.
7. Здесь аргумент представляет собой прямое доказательство от противного . При изначальном предположении, что m > 2, m < p — некоторое целое число, такое что mp — сумма четырех квадратов (не обязательно наименьшая), аргумент можно модифицировать, чтобы он стал аргументом бесконечного спуска в духе Ферма.
8. Stillwell 2003, стр. 138–157.
9. Рамануджан 1917.
10. О, 2000.
11. Рабин и Шаллит 1986.
12. Поллак и Тревиньо 2018.
13. Williams 2011, стр. 119.
14. Вс 2017.
15. Спенсер 1996.

Ссылки

• Харди, GH ; Райт, EM (2008) [1938]. Хит-Браун, DR ; Сильверман, JH ; Уайлс, Эндрю (ред.). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8.
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.). Springer. doi :10.1007/978-1-4757-2103-4. ISBN 978-1-4419-3094-1.
• Ландау, Эдмунд (1958) [1927]. Элементарная теория чисел. Т. 125. Перевод Гудмена, Джейкоба Э. (2-е изд.). AMS Chelsea Publishing.
• Нивен, Иван; Цукерман, Герберт С. (1960). Введение в теорию чисел . Wiley .
• О, Бён-Квон (2000). «Представление бинарных форм пятеричными квадратичными формами» (PDF) . Тенденции в математике . 3 (1): 102–107.
• Рабин, МО ; Шаллит, ДЖО (1986). «Рандомизированные алгоритмы в теории чисел». Сообщения по чистой и прикладной математике . 39 (S1): S239–S256. doi :10.1002/cpa.3160390713.
• Рамануджан, С. (1917). «О выражении числа в форме ax ² + by ² + cz ² + dw ² ». Proc. Camb. Phil. Soc . 19 : 11–21.
• Sarnak, Peter (2013). «Гипотеза Рамануджана и некоторые диофантовы уравнения». YouTube (Лекция в Институте фундаментальных исследований Тата). Серия лекций ICTS. Бангалор, Индия.
• Стиллвелл, Джон (2003). Элементы теории чисел . Тексты для студентов по математике. Springer. doi :10.1007/978-0-387-21735-2. ISBN 978-0-387-95587-2. Збл  1112.11002.
• Sun, Z.-W. (2017). «Уточнение теоремы Лагранжа о четырех квадратах». J. Number Theory . 175 : 167–190. arXiv : 1604.06723 . doi : 10.1016/j.jnt.2016.11.008. S2CID  119597024.
• Уильямс, Кеннет С. (2011). Теория чисел в духе Лиувилля . Тексты для студентов Лондонского математического общества. Том 76. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-17562-3. Збл  1227.11002.
• Спенсер, Джоэл (1996). «Четыре квадрата с немногими квадратами». Теория чисел: Нью-Йоркский семинар 1991–1995 . Springer US. стр. 295–297. doi :10.1007/978-1-4612-2418-1_22. ISBN 9780387948263.
• Поллак, П.; Тревиньо, Э. (2018). «Нахождение четырех квадратов в теореме Лагранжа» (PDF) . Целые числа . 18A : A15.

Внешние ссылки

• Доказательство на PlanetMath.org
• Еще одно доказательство
• Апплет, разлагающий числа на суммы четырех квадратов
• Индекс OEIS для последовательностей, связанных с суммами квадратов и суммами кубов
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Лагранжа о четырех квадратах». MathWorld .