График гребенчатой функции Дирака представляет собой бесконечную серию дельта-функций Дирака , расположенных с интервалами T
В математике гребенка Дирака (также известная как функция ша , последовательность импульсов или функция выборки ) представляет собой периодическую функцию с формулой
Гребень Дирака можно построить двумя способами: либо с помощью оператора гребенки (выполняющего выборку ), примененного к функции, которая является постоянной , либо, альтернативно, с помощью оператора повтора (выполняющего периодизацию ), примененного к дельте Дирака . Формально это дает (Woodward 1953; Brandwood 2003)
При обработке сигналов это свойство, с одной стороны, позволяет производить выборку функции путем умножения на , а с другой стороны, также позволяет осуществлять периодизацию путем свертки с (Bracewell 1986). Тождество гребенки Дирака является частным случаем теоремы о свертке для умеренных распределений.
Масштабирование
Масштабное свойство гребенки Дирака следует из свойств дельта-функции Дирака . Поскольку [5] для положительных действительных чисел следует, что:
ряд Фурье
Понятно, что периодично с периодом . То есть,
т
Все коэффициенты Фурье равны 1/ T , что приводит к
Когда период равен одной единице, это упрощается до
Примечание . В наиболее строгом смысле интегрирование Римана или Лебега по любым произведениям, включая дельта-функцию Дирака, дает ноль. По этой причине описанное выше интегрирование (определение коэффициентов ряда Фурье) следует понимать «в смысле обобщенных функций». Это означает, что вместо использования характеристической функции интервала, примененной к гребенке Дирака, в качестве функции вырезания используется так называемая унитарная функция Лайтхилла, подробности см. в Lighthill 1958, стр. 62, теорема 22.
преобразование Фурье
Преобразование Фурье гребенки Дирака также является гребенкой Дирака. Для преобразования Фурье, выраженного в частотной области (Гц), гребенка периода Дирака преобразуется в масштабированную гребенку периода Дирака, т.е. для
пропорционален другой гребенке Дирака, но с периодом в частотной области (радиан/с). Таким образом, гребенка Дирака единичного периода является собственной функцией собственного значения
Этот результат может быть установлен (Брэйсвелл, 1986), рассматривая соответствующие преобразования Фурье семейства функций , определяемых формулами
Поскольку представляет собой сходящийся ряд гауссовских функций , а гауссианы преобразуются в гауссианы , каждое из соответствующих преобразований Фурье также приводит к ряду гауссиан, и явный расчет устанавливает, что
Таким образом, каждая из функций и напоминает периодическую функцию, состоящую из серии эквидистантных гауссовых пиков , соответствующие «высоты» которых (предварительные факторы) определяются медленно убывающими гауссовыми огибающими функциями, которые падают до нуля на бесконечности. Обратите внимание, что в пределе каждый гауссов пик становится бесконечно острым импульсом Дирака с центром соответственно в и для каждого соответствующего и , и, следовательно, все предварительные факторы в конечном итоге становятся неотличимыми от . Следовательно, функции и их соответствующие преобразования Фурье сходятся к одной и той же функции, и эта предельная функция представляет собой серию бесконечных равноотстоящих гауссовских пиков, каждый пик умножается на один и тот же предварительный коэффициент, равный единице, то есть гребенку Дирака для единичного периода:
и
Поскольку , в этом пределе получаем доказываемый результат:
Другой способ установить, что гребенка Дирака превращается в другую гребенку Дирака, начинается с изучения непрерывных преобразований Фурье периодических функций в целом, а затем специализируется на случае гребенки Дирака. Чтобы также показать, что конкретное правило зависит от соглашения о преобразовании Фурье, это будет показано с использованием угловой частоты, а для любой периодической функции - ее преобразования Фурье.
подчиняется:
потому что преобразование Фурье и приводит к и Это уравнение подразумевает, что почти везде, за единственными возможными исключениями, лежащими в пределах с и При оценке преобразования Фурье в соответствующих временах выражения ряда Фурье получается соответствующая дельта-функция. В частном случае преобразования Фурье гребенки Дирака интеграл в ряд Фурье за один период охватывает только функцию Дирака в начале координат и, таким образом, дает для каждого из них это можно резюмировать, интерпретируя гребенку Дирака как предел ядра Дирихле . так, что в позициях все экспоненты в сумме указывают в одном направлении и конструктивно складываются. Другими словами, непрерывное преобразование Фурье периодических функций приводит к
с
и
Коэффициенты ряда Фурье для всех при , т.е.
это еще одна гребенка Дирака, но с периодом в области угловых частот (радиан/с).
Как уже упоминалось, конкретное правило зависит от соглашения об используемом преобразовании Фурье. Действительно, при использовании свойства масштабирования дельта-функции Дирака вышеизложенное можно выразить в обычной частотной области (Гц) и снова получить:
такая, что гребенка Дирака с единичным периодом преобразуется в себя:
Наконец, гребенка Дирака также является собственной функцией унитарного непрерывного преобразования Фурье в пространстве угловых частот до собственного значения 1, когда поскольку для унитарного преобразования Фурье
вышеизложенное может быть перевыражено как
Выборка и псевдонимы
Умножение любой функции на гребенку Дирака преобразует ее в последовательность импульсов с интегралами, равными значению функции в узлах гребенки. Эта операция часто используется для представления выборки.
Благодаря свойству самопреобразования гребня Дирака и теореме о свертке это соответствует свертке с гребнем Дирака в частотной области.
Поскольку свертка с дельта-функцией эквивалентна сдвигу функции на , свертка с гребенкой Дирака соответствует репликации или периодическому суммированию :
Это приводит к естественной формулировке теоремы выборки Найквиста-Шеннона . Если в спектре функции нет частот выше B (т.е. ее спектр отличен от нуля только на интервале ), то отсчетов исходной функции на интервалах достаточно для восстановления исходного сигнала. Достаточно умножить спектр выборочной функции на подходящую прямоугольную функцию , что эквивалентно применению фильтра нижних частот типа кирпичной стены .
Во временной области это «умножение с функцией rect» эквивалентно «свертке с функцией sinc» (Woodward 1953, стр.33-34). Следовательно, он восстанавливает исходную функцию по своим образцам. Это известно как интерполяционная формула Уиттекера-Шеннона .
Примечание . Строго говоря, умножение прямоугольной функции на обобщенную функцию, такую как гребенка Дирака, терпит неудачу. Это связано с неопределённостью результатов произведения умножения на границах интервалов. В качестве обходного пути вместо прямоугольной функции используется унитарная функция Лайтхилла. Он гладкий на границах интервалов, поэтому всюду дает определенные произведения умножения, подробности см. Lighthill 1958, стр. 62, теорема 22.
В линейной статистике случайная величина обычно распределяется по линии действительных чисел или некоторому ее подмножеству, а плотность вероятности представляет собой функцию, областью определения которой является набор действительных чисел, а интеграл от до равен единице. В статистике направленности случайная величина распределяется по единичному кругу, а плотность вероятности - это функция, область определения которой представляет собой некоторый интервал действительных чисел длины , а интеграл по этому интервалу равен единице. Точно так же, как интеграл от произведения дельта-функции Дирака на произвольную функцию по линии действительных чисел дает значение этой функции в нуле, так и интеграл от произведения гребенки периода Дирака на произвольную функцию периода по единичный круг дает значение этой функции в нуле.
^ abc «Гребенка Дирака и ее преобразование Фурье - DSPIllustrations.com». dspillustrations.com . Проверено 28 июня 2022 г.
^ Шварц, Л. (1951), Теория распределений , том. Том I, Том II, Герман, Париж
^ Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN0-8493-8273-4
^ Брейсуэлл, Р.Н. (1986), Преобразование Фурье и его приложения (переработанная редакция), McGraw-Hill; 1-е изд. 1965, 2-е изд. 1978.
^ Рахман, М. (2011), Применение преобразований Фурье к обобщенным функциям , WIT Press Southampton, Бостон, ISBN978-1-84564-564-9.
дальнейшее чтение
Брандвуд, Д. (2003), Преобразования Фурье в радиолокации и обработке сигналов , Artech House, Бостон, Лондон.
Кордова, А. (1989), «Расчески Дирака», Letters in Mathematical Physics , 17 (3): 191–196, Бибкод : 1989LMaPh..17..191C, doi : 10.1007/BF00401584, S2CID 189883287
Вудворд, премьер-министр (1953), Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам , Pergamon Press, Оксфорд, Лондон, Эдинбург, Нью-Йорк, Париж, Франкфурт..
Лайтхилл, MJ (1958), Введение в анализ Фурье и обобщенные функции , издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания.