Оператор Лапласа

Дифференциальный оператор

В математике оператор Лапласа или лапласиан — это дифференциальный оператор , определяемый дивергенцией градиента скалярной функции в евклидовом пространстве . Обычно его обозначают символами , (где оператор набла ), или . В декартовой системе координат лапласиан задается суммой вторых частных производных функции по каждой независимой переменной . В других системах координат , таких как цилиндрические и сферические координаты , лапласиан также имеет полезную форму. Неформально, лапласиан Δ f  ( p ) функции f в точке p измеряет, насколько среднее значение f по небольшим сферам или шарам с центром в p отклоняется от f  ( p ) . ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \Delta }$

Оператор Лапласа назван в честь французского математика Пьера-Симона де Лапласа (1749–1827), который впервые применил этот оператор к изучению небесной механики : лапласиан гравитационного потенциала , обусловленного заданным распределением плотности массы, является постоянным кратным такое распределение плотности. Решения уравнения Лапласа Δ f = 0 называются гармоническими функциями и представляют собой возможные гравитационные потенциалы в областях вакуума .

Лапласиан встречается во многих дифференциальных уравнениях , описывающих физические явления. Уравнение Пуассона описывает электрический и гравитационный потенциалы ; уравнение диффузии описывает поток тепла и жидкости ; волновое уравнение описывает распространение волн ; а уравнение Шрёдингера описывает волновую функцию в квантовой механике . В обработке изображений и компьютерном зрении оператор Лапласа использовался для различных задач, таких как обнаружение пятен и краев . Лапласиан — простейший эллиптический оператор , лежащий в основе теории Ходжа, а также результатов когомологий де Рама .

Определение

Оператор Лапласа — это дифференциальный оператор второго порядка в n - мерном евклидовом пространстве , определяемый как дивергенция ( ) градиента ( ). Таким образом, если — дважды дифференцируемая действительная функция , то лапласиан — это действительная функция, определяемая формулой: ${\displaystyle \nabla \cdot }$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

где последние обозначения происходят от формального написания:

$${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).}$$

fнесмешанныхчастных производныхдекартовых координатах x _i

Как дифференциальный оператор второго порядка, оператор Лапласа отображает функции C k в функции C ^{k −2} для k ≥ 2 . Это линейный оператор Δ: Ck ( Rn ) → Ck ^{− 2} ( Rn ^{) или, в} более общем смысле, оператор Δ: Ck ( ^Ω ) → Ck ^{− 2} (Ω) ^для любого открытого множества Ω ⊆ Р ^н .

Мотивация

Диффузия

В физической теории диффузии оператор Лапласа естественным образом возникает при математическом описании равновесия . ^[1] В частности, если u — это равновесная плотность некоторой величины, например химической концентрации, то чистый поток u через границу ∂ V любой гладкой области V равен нулю, при условии , что внутри V нет источника или стока :

$${\displaystyle \int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,}$$

nнормальнаяV. теореме о расходимости

$${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}$$

Поскольку это справедливо для всех гладких областей V , можно показать, что из этого следует:

$${\displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.}$$

∆ u = 0уравнение Лапласа

Сам оператор Лапласа имеет физическую интерпретацию неравновесной диффузии как степень, в которой точка представляет собой источник или сток химической концентрации, в смысле, уточненном уравнением диффузии . Такая интерпретация лапласиана объясняется также следующим фактом о средних значениях.

Средние значения

Даны дважды непрерывно дифференцируемая функция и точка . Тогда среднее значение по шару с радиусом с центром равно : ^[2] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0}$$

Аналогично, среднее значение по сфере (границе шара) с радиусом с центром равно : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0.}$$

Плотность, связанная с потенциалом

Если φ обозначает электростатический потенциал , связанный с распределением заряда q , то само распределение заряда задается отрицательным значением лапласиана φ :

$${\displaystyle q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,}$$

ε ₀электрическая постоянная

Это следствие закона Гаусса . Действительно, если V — любая гладкая область с границей ∂ V , то по закону Гаусса поток электростатического поля E через границу пропорционален заключенному в ней заряду:

$${\displaystyle \int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$

теоремой о расходимости

$${\displaystyle -\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$

Поскольку это справедливо для всех областей V , мы должны иметь

$${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q}$$

Тот же подход подразумевает, что отрицательным значением лапласиана гравитационного потенциала является распределение массы . Часто распределение заряда (или массы) задано, а связанный с ним потенциал неизвестен. Нахождение потенциальной функции с учетом подходящих граничных условий эквивалентно решению уравнения Пуассона .

Минимизация энергии

Другая причина появления лапласиана в физике заключается в том, что решения Δ f = 0 в области U являются функциями, которые делают энергетический функционал Дирихле стационарным :

$${\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx.}$$

Чтобы убедиться в этом, предположим, что f  : U → R — функция, а u  : U → R — функция, которая обращается в нуль на границе U. Затем:

$${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx}$$

где последнее равенство следует с использованием первого тождества Грина . Этот расчет показывает, что если Δ f = 0 , то E стационарно относительно f . И наоборот, если E стационарно вокруг f , то ∆f = 0 по фундаментальной лемме вариационного исчисления .

Координатные выражения

Два измерения

Оператор Лапласа в двух измерениях определяется следующим образом:

В декартовых координатах

$${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$$

xyдекартовы координатыxy

В полярных координатах ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}}$$

rθ

Три измерения

В трех измерениях с лапласианом принято работать в различных системах координат.

В декартовых координатах

$${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

В цилиндрических координатах

$${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}$$

φ —z ${\displaystyle \rho }$

В сферических координатах :

$${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$

$${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$

$${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$

φазимутальный уголθ —уголсовместную широту

В общих криволинейных координатах ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ):

$${\displaystyle \Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),}$$

где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам , g ^mn — обратный метрический тензор и Γ ^l _mn — символы Кристоффеля для выбранных координат.

N размеры

В произвольных криволинейных координатах в N измерениях ( ξ ¹ , ..., ξ ^N ) мы можем записать лапласиан через обратный метрический тензор , : ${\displaystyle g^{ij}}$

$${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\left({\sqrt {\det g}}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\right),}$$

Вейля ^[3]расходимости

В сферических координатах в N измерениях с параметризацией x = rθ ∈ RN , где r представляет собой положительный действительный радиус, а θ — элемент единичной сферы SN ^{−1 ,}

$${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}$$

Δ _{S ^{N −1}}оператор Лапласа–Бельтрами( N − 1)

$${\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right).}$$

Как следствие, сферический лапласиан функции, определенной на SN ⁻¹ ⊂ RN ^, можно вычислить как обычный лапласиан функции, расширенной на RN ^∖ {0} так, чтобы она была постоянной вдоль лучей, т. е ^. однородной степени нуль.

Евклидова инвариантность

Лапласиан инвариантен относительно всех евклидовых преобразований : вращений и перемещений . Например, в двух измерениях это означает, что:

$${\displaystyle \Delta (f(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b))=(\Delta f)(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b)}$$

θab

$${\displaystyle \Delta (f\circ \rho )=(\Delta f)\circ \rho }$$

ρ

$${\displaystyle \Delta (f\circ \tau )=(\Delta f)\circ \tau }$$

τρортогональным преобразованиемотражение

Фактически, алгебра всех скалярных линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, коммутирующих со всеми евклидовыми преобразованиями, представляет собой полиномиальную алгебру, порожденную оператором Лапласа.

Спектральная теория

Спектр оператора Лапласа состоит из всех собственных значений λ , для которых существует соответствующая собственная функция f с:

$${\displaystyle -\Delta f=\lambda f.}$$

Это известно как уравнение Гельмгольца .

Если Ω — ограниченная область в ^Rn , то собственные функции лапласиана являются ортонормированным базисом гильбертова пространства L2 (Ω ⁾ . Этот результат по существу следует из спектральной теоремы о компактных самосопряженных операторах , примененной к обратному лапласиану (который компактен по неравенству Пуанкаре и теореме Реллиха–Кондрахова ). ^[4] Можно также показать, что собственные функции являются бесконечно дифференцируемыми функциями. ^[5] В более общем смысле, эти результаты верны для оператора Лапласа–Бельтрами на любом компактном римановом многообразии с краем или даже для проблемы собственных значений Дирихле любого эллиптического оператора с гладкими коэффициентами в ограниченной области. Когда Ω является n -сферой , собственные функции лапласиана являются сферическими гармониками .

Вектор Лапласа

Векторный оператор Лапласа , также обозначаемый , является дифференциальным оператором , определенным над векторным полем . ^[6] Векторный лапласиан подобен скалярному лапласиану; тогда как скалярный лапласиан применяется к скалярному полю и возвращает скалярную величину, векторный лапласиан применяется к векторному полю , возвращая векторную величину. При вычислении в ортонормированных декартовых координатах возвращаемое векторное поле равно векторному полю скалярного лапласиана, примененного к каждому векторному компоненту. ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Векторный лапласиан векторного поля определяется как ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}$$

В декартовых координатах это сводится к гораздо более простой форме:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z}),}$$

векторное тройное произведение ${\displaystyle A_{x}}$ ${\displaystyle A_{y}}$ ${\displaystyle A_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Выражения векторного лапласиана в других системах координат см. Del в цилиндрических и сферических координатах .

Обобщение

Лапласиан любого тензорного поля («тензор» включает в себя скаляр и вектор) определяется как дивергенция градиента тензора : ${\displaystyle \mathbf {T} }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} .}$$

В частном случае, когда — скаляр (тензор нулевой степени), лапласиан принимает знакомый вид. ${\displaystyle \mathbf {T} }$

Если - вектор (тензор первой степени), градиент представляет собой ковариантную производную , которая приводит к тензору второй степени, и его расхождение снова является вектором. Приведенную выше формулу для векторного лапласиана можно использовать, чтобы избежать тензорной математики, и можно показать, что она эквивалентна расхождению матрицы Якоби, показанной ниже для градиента вектора: ${\displaystyle \mathbf {T} }$

$${\displaystyle \nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z})={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}},{\text{ where }}T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{u}}{\partial v}}.}$$

И таким же образом скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензора 2-й степени) можно рассматривать как произведение матриц:

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}.}$$

Использование в физике

Примером использования векторного лапласиана являются уравнения Навье-Стокса для ньютоновского несжимаемого потока :

$${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right),}$$

представляетвязкие напряжения ${\displaystyle \mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)}$

Другой пример — волновое уравнение электрического поля, которое можно вывести из уравнений Максвелла в отсутствие зарядов и токов:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0.}$$

Это уравнение также можно записать как:

$${\displaystyle \Box \,\mathbf {E} =0,}$$

$${\displaystyle \Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2},}$$

даламбериануравнении Клейна-Гордона

Обобщения

Версия лапласиана может быть определена везде, где имеет смысл функционал энергии Дирихле , что является теорией форм Дирихле . Для пространств с дополнительной структурой можно дать более явное описание лапласиана следующим образом.

Оператор Лапласа–Бельтрами

Лапласиан также можно обобщить до эллиптического оператора, называемого оператором Лапласа–Бельтрами, определенного на римановом многообразии . Оператор Лапласа-Бельтрами, примененный к функции, является следом ( tr ) гессиана функции :

$${\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}}$$

тензоратензорными полями

Другое обобщение оператора Лапласа, доступное на псевдоримановых многообразиях, использует внешнюю производную , в терминах которой «лапласиан геометра» выражается как

$${\displaystyle \Delta f=\delta df.}$$

Здесь δ — кодифференциал , который также можно выразить через звезду Ходжа и внешнюю производную. Этот оператор отличается знаком от «лапласиана аналитика», определенного выше. В более общем смысле, лапласиан «Ходжа» определяется на дифференциальных формах α следующим образом:

$${\displaystyle \Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .}$$

Это известно как оператор Лапласа-де Рама , который связан с оператором Лапласа-Бельтрами тождеством Вайценбека .

Даламберьян

Лапласиан можно определенным образом обобщить на неевклидовы пространства, где он может быть эллиптическим , гиперболическим или ультрагиперболическим .

В пространстве Минковского оператор Лапласа –Бельтрами становится оператором Даламбера или оператором Даламбера: ${\displaystyle \Box }$

$${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$

Это обобщение оператора Лапласа в том смысле, что это дифференциальный оператор, который инвариантен относительно группы изометрий основного пространства, и он сводится к оператору Лапласа, если ограничиться функциями, независимыми от времени. Общий знак метрики здесь выбран таким, чтобы пространственные части оператора допускали отрицательный знак, что является обычным соглашением в физике частиц высоких энергий . Оператор Даламбера также известен как волновой оператор, поскольку это дифференциальный оператор, появляющийся в волновых уравнениях , а также часть уравнения Клейна-Гордона , которое сводится к волновому уравнению в безмассовом случае.

Дополнительный коэффициент c в метрике необходим в физике, если пространство и время измеряются в разных единицах; аналогичный коэффициент потребовался бы, если бы, например, направление x измерялось в метрах, а направление y — в сантиметрах. Действительно, физики-теоретики обычно работают в таких единицах, что c = 1 , чтобы упростить уравнение.

Оператор Даламбера обобщается до гиперболического оператора на псевдоримановых многообразиях .

Смотрите также

• Оператор Лапласа–Бельтрами , обобщение на подмногообразия в евклидовом пространстве, а также на риманово и псевдориманово многообразие.
• Векторный оператор Лапласа , обобщение оператора Лапласа на векторные поля .
• Лапласиан в дифференциальной геометрии .
• Дискретный оператор Лапласа является конечно-разностным аналогом непрерывного лапласиана, определенного на графах и сетках.
• Лапласиан — распространенный оператор в обработке изображений и компьютерном зрении (см. Лапласиан Гаусса , детектор капель и масштабное пространство ).
• Список формул римановой геометрии содержит выражения для лапласиана через символы Кристоффеля.
• Лемма Вейля (уравнение Лапласа) .
• Теорема Ирншоу , показывающая, что устойчивая статическая гравитационная, электростатическая или магнитная подвеска невозможна.
• Del в цилиндрических и сферических координатах .
• Другими ситуациями, в которых определяется лапласиан, являются: анализ фракталов , исчисление шкалы времени и дискретное внешнее исчисление .

Примечания

1. Эванс 1998, §2.2
2. Овалл, Джеффри С. (01 марта 2016 г.). «Лапласиан, средние и экстремальные значения» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 123 (3): 287–291. doi : 10.4169/amer.math.monthly.123.3.287. S2CID  124943537.
3. Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Гринфельд, Павел. «Формула Восса-Вейля». YouTube . Проверено 9 января 2018 г.
4. Гилбарг и Трудингер 2001, Теорема 8.6.
5. Гилбарг и Трудингер 2001, следствие 8.11.
6. Математический мир. «Векторный лапласиан».

Рекомендации

• Эванс, Л. (1998), Уравнения в частных производных , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0772-9
• Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. 12: Электростатические аналоги
• Гилбарг, Д.; Трудингер, Н. (2001), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Springer, ISBN 978-3-540-41160-4.
• Шей, HM (1996), Div, Grad, Curl и все такое , WW Norton, ISBN 978-0-393-96997-9.

дальнейшее чтение

• Лапласиан - Ричард Фицпатрик, 2006 г.

Внешние ссылки

• «Оператор Лапласа», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Лапласиан». Математический мир .
• Лапласиан в выводе полярных координат
• Уравнения Лапласа о фрактальных кубах и эффект Казимира