В математике жесткое преобразование (также называемое евклидовым преобразованием или евклидовой изометрией ) — это геометрическое преобразование евклидова пространства , которое сохраняет евклидово расстояние между каждой парой точек. [1] [ самоизданный источник ] [2] [3]
Жесткие преобразования включают вращения , переносы , отражения или любую последовательность из них. Отражения иногда исключаются из определения жесткого преобразования, требуя, чтобы преобразование также сохраняло ручность объектов в евклидовом пространстве. (Отражение не сохранило бы ручность; например, оно преобразовало бы левую руку в правую.) Чтобы избежать двусмысленности, преобразование, которое сохраняет ручность, известно как жесткое движение , евклидово движение или собственное жесткое преобразование .
В измерении два жесткое движение является либо трансляцией , либо вращением . В измерении три каждое жесткое движение может быть разложено как композиция вращения и трансляции, и поэтому иногда называется рототрансляцией . В измерении три все жесткие движения также являются винтовыми движениями (это теорема Шаля ).
В размерности не более трех любое несобственное жесткое преобразование можно разложить на несобственное вращение, за которым следует трансляция, или на последовательность отражений .
Любой объект сохранит свою форму и размер после соответствующей жесткой трансформации.
Все жесткие преобразования являются примерами аффинных преобразований . Множество всех (собственных и несобственных) жестких преобразований является математической группой , называемой евклидовой группой , обозначаемой E( n ) для n -мерных евклидовых пространств. Множество жестких движений называется специальной евклидовой группой и обозначается SE( n ) .
В кинематике жесткие движения в трехмерном евклидовом пространстве используются для представления перемещений твердых тел . Согласно теореме Шаля , каждое жесткое преобразование может быть выражено как винтовое движение .
Жесткое преобразование формально определяется как преобразование, которое при воздействии на любой вектор v создает преобразованный вектор T ( v ) вида
где R T = R −1 (т.е. R — ортогональное преобразование ), а t — вектор, задающий перенос начала координат.
Правильное жесткое преобразование имеет, кроме того,
что означает, что R не производит отражение, и, следовательно, представляет собой поворот (ортогональное преобразование, сохраняющее ориентацию). Действительно, когда матрица ортогонального преобразования производит отражение, ее определитель равен −1.
Мера расстояния между точками, или метрика , необходима для подтверждения того, что преобразование является жестким. Формула евклидова расстояния для R n является обобщением теоремы Пифагора . Формула дает квадрат расстояния между двумя точками X и Y как сумму квадратов расстояний вдоль осей координат, то есть где X = ( X 1 , X 2 , ..., X n ) и Y = ( Y 1 , Y 2 , ..., Y n ) , а точка обозначает скалярное произведение .
Используя эту формулу расстояния, жесткое преобразование g : R n → R n обладает свойством:
Трансляция векторного пространства добавляет вектор d к каждому вектору в пространстве, что означает, что это преобразование
Легко показать, что это жесткое преобразование, показав, что расстояние между переведенными векторами равно расстоянию между исходными векторами:
Линейное преобразование векторного пространства L : R n → R n сохраняет линейные комбинации . Линейное преобразование L можно представить матрицей, что означает
где [ L ] — матрица размера n × n .
Линейное преобразование является жестким, если оно удовлетворяет условию, то есть Теперь воспользуемся тем фактом, что скалярное произведение двух векторов v . w можно записать в виде матричной операции v T w , где T обозначает транспонирование матрицы, имеем Таким образом, линейное преобразование L является жестким, если его матрица удовлетворяет условию , где [ I ] — единичная матрица. Матрицы, удовлетворяющие этому условию, называются ортогональными матрицами. Это условие фактически требует, чтобы столбцы этих матриц были ортогональными единичными векторами.
Матрицы, удовлетворяющие этому условию, образуют математическую группу относительно операции умножения матриц, называемую ортогональной группой матриц размера n×n и обозначаемую O ( n ) .
Вычислите определитель условия для ортогональной матрицы , чтобы получить , что показывает, что матрица [ L ] может иметь определитель либо +1, либо −1. Ортогональные матрицы с определителем −1 являются отражениями, а с определителем +1 являются вращениями. Обратите внимание, что набор ортогональных матриц можно рассматривать как состоящий из двух многообразий в R n × n, разделенных набором сингулярных матриц.
Набор матриц вращения называется специальной ортогональной группой и обозначается SO( n ) . Это пример группы Ли, поскольку он имеет структуру многообразия.
![{\displaystyle d([L]\mathbf {v},[L]\mathbf {w})^{2} = d(\mathbf {v},\mathbf {w})^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95d5d088ebfd3c1a83d9632aef170d7ce89c7ce)
![{\displaystyle d([L]\mathbf {v},[L]\mathbf {w})^{2} = ([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w})\cdot ( [L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )=([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ))\cdot ([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} )).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1561e0e6f1c153f1b8a660cc137813fb1efa8ff)
![{\displaystyle d([L]\mathbf {v},[L]\mathbf {w})^{2} = (\mathbf {v} -\mathbf {w})^{\mathsf {T}}[ L]^{\mathsf {T}}[L](\mathbf {v} -\mathbf {w}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69df9a7512bc5ed4778c97c08617b2de944d1c75)
![{\displaystyle [L]^{\mathsf {T}}[L]=[I],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcbfef3a9e5057b903d2a200f02f8f1c33677732)
![{\displaystyle \det \left([L]^{\mathsf {T}}[L]\right)=\det[L]^{2}=\det[I]=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb98c4e139d1342f866cef17d1ba228a841ac3b)