Алгебраическая операция над координатными векторами
В математике скалярное произведение или скалярное произведение [примечание 1] — это алгебраическая операция , которая принимает две последовательности чисел одинаковой длины (обычно координатные векторы ) и возвращает одно число. В евклидовой геометрии широко используется скалярное произведение декартовых координат двух векторов . Его часто называют внутренним продуктом (или реже проекционным продуктом ) евклидова пространства, хотя это не единственный внутренний продукт, который можно определить в евклидовом пространстве ( подробнее см . Пространство внутреннего продукта ).
Алгебраически скалярное произведение представляет собой сумму произведений соответствующих записей двух последовательностей чисел. Геометрически это произведение евклидовых величин двух векторов и косинуса угла между ними. Эти определения эквивалентны при использовании декартовых координат. В современной геометрии евклидовы пространства часто определяются с помощью векторных пространств . В этом случае скалярное произведение используется для определения длин (длина вектора — это квадратный корень скалярного произведения самого вектора) и углов (косинус угла между двумя векторами — это частное их скалярного произведения). произведением их длин).
Название «скалярное произведение» происходит от точечного оператора « · », который часто используется для обозначения этой операции; [1] альтернативное название «скалярное произведение» подчеркивает, что результатом является скаляр , а не вектор (как в случае векторного произведения в трехмерном пространстве).
Определение
Скалярное произведение может быть определено алгебраически или геометрически. Геометрическое определение основано на понятиях угла и расстояния (величины) векторов. Эквивалентность этих двух определений основана на наличии декартовой системы координат для евклидова пространства.
В современных представлениях евклидовой геометрии точки пространства определяются в терминах их декартовых координат , а само евклидово пространство обычно отождествляется с реальным координатным пространством . В таком представлении понятия длины и угла определяются посредством скалярного произведения. Длина вектора определяется как квадратный корень скалярного произведения вектора самого по себе, а косинус ( неориентированного) угла между двумя векторами длины один определяется как их скалярное произведение. Таким образом, эквивалентность двух определений скалярного произведения является частью эквивалентности классической и современной формулировок евклидовой геометрии.
Определение координат
Скалярное произведение двух векторов и , заданное относительно ортонормированного базиса , определяется как: [2]
Выражая приведенный выше пример таким образом, матрица 1 × 3 ( вектор-строка ) умножается на матрицу 3 × 1 ( вектор-столбец ), чтобы получить матрицу 1 × 1, которая идентифицируется своей уникальной записью:
Геометрическое определение
В евклидовом пространстве евклидов вектор — это геометрический объект, обладающий как величиной, так и направлением. Вектор можно представить в виде стрелки. Его величина — это его длина, а его направление — это направление, куда указывает стрелка. Величина вектора обозначается . _ Скалярное произведение двух евклидовых векторов определяется формулой [3] [4] [1]
_
В частности, если векторы и ортогональны (т.е. их угол равен или ), то , откуда следует, что
Эти свойства можно резюмировать, сказав, что скалярное произведение представляет собой билинейную форму . Более того, эта билинейная форма положительно определена , что означает, что она никогда не бывает отрицательной и равна нулю тогда и только тогда , когда нулевой вектор.
поскольку скалярное произведение между скаляром и вектором не определено, а это означает, что выражения, участвующие в ассоциативном свойстве, или оба неопределенны. [7] Однако обратите внимание, что ранее упомянутое свойство скалярного умножения иногда называют «законом ассоциативности для скалярного и скалярного произведения» [8] или можно сказать, что «скалярное произведение ассоциативно по отношению к скалярному умножению», потому что . [9]
В отличие от умножения обычных чисел, где if , then всегда равно , если не равно нулю, скалярное произведение не подчиняется закону сокращения :Если и , то можно написать: по распределительному закону ; результат выше говорит, что это просто означает, что перпендикулярно , что все еще позволяет , и, следовательно, позволяет .
Учитывая два вектора , разделенные углом (см. изображение справа), они образуют треугольник с третьей стороной . Пусть , и обозначают длины , , и соответственно. Скалярное произведение этого самого себя:
В физике векторная величина — это скаляр в физическом смысле (т. е. физическая величина, независимая от системы координат), выражаемая как произведение числового значения и физической единицы , а не просто числа. Скалярное произведение также является скаляром в этом смысле, заданным формулой, независимой от системы координат. Например: [10] [11]
Для векторов со сложными элементами использование данного определения скалярного произведения приведет к совершенно другим свойствам. Например, скалярное произведение вектора с самим собой может быть нулевым, при этом вектор не является нулевым вектором (например, это произошло бы с вектором ). Это, в свою очередь, будет иметь последствия для таких понятий, как длина и угол. Такие свойства, как положительно определенная норма, можно спасти ценой отказа от симметричных и билинейных свойств скалярного произведения с помощью альтернативного определения [12] [2]
В случае векторов с вещественными компонентами это определение такое же, как и в вещественном случае. Скалярное произведение любого вектора с самим собой представляет собой неотрицательное действительное число и не равно нулю, за исключением нулевого вектора. Однако комплексное скалярное произведение является полуторалинейным , а не билинейным, поскольку оно сопряжено линейно , а не линейно по . Скалярное произведение не симметрично, поскольку
Скалярное произведение комплексного вектора , включающее сопряженное транспонирование вектора-строки, также известно как квадрат нормы , после евклидовой нормы ; это векторное обобщение абсолютного квадрата комплексного скаляра (см. также: квадрат евклидова расстояния ).
Внутреннее произведение двух векторов по полю комплексных чисел, как правило, является комплексным числом и является полуторалинейным , а не билинейным. Пространство внутреннего продукта — это нормированное векторное пространство , а внутреннее произведение вектора на самого себя является действительным и положительно определенным.
Функции
Скалярное произведение определяется для векторов, которые имеют конечное число элементов . Таким образом, эти векторы можно рассматривать как дискретные функции : тогда вектор длины представляет собой функцию с областью определения и является обозначением образа функции/вектора .
Это понятие можно обобщить на непрерывные функции : так же, как внутренний продукт векторов использует сумму по соответствующим компонентам, внутренний продукт функций определяется как интеграл на некотором интервале [ a , b ] : [2]
Обобщая далее на комплексные функции и , по аналогии с приведенным выше комплексным скалярным произведением, дает [2]
Весовая функция
Внутренние продукты могут иметь весовую функцию (т. е. функцию, которая присваивает каждому члену внутреннего продукта определенное значение). Явно скалярный продукт функций и по весовой функции равен
Диадики и матрицы
Двойное скалярное произведение для матриц — это внутреннее произведение Фробениуса , которое аналогично скалярному произведению векторов. Он определяется как сумма произведений соответствующих компонентов двух матриц одинакового размера:
^ ab «Скалярное произведение». www.mathsisfun.com . Проверено 6 сентября 2020 г.
^ abcdef С. Липшуц; М. Липсон (2009). Линейная алгебра (Очерки Шаума) (4-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN978-0-07-154352-1.
^ abc М.Р. Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (Очерки Шаума) (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN978-0-07-161545-7.
^ А.И. Борисенко; И. Е. Тапаров (1968). Векторный и тензорный анализ с приложениями . Перевод Ричарда Сильвермана. Дувр. п. 14.
^ Арфкен, Великобритания; Вебер, HJ (2000). Математические методы для физиков (5-е изд.). Бостон, Массачусетс: Академическая пресса . стр. 14–15. ISBN978-0-12-059825-0.
^ Никамп, Дуэйн. «Скалярное произведение». Математическое понимание . Проверено 6 сентября 2020 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Скалярный продукт». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html
^ Т. Банчофф; Дж. Вермер (1983). Линейная алгебра через геометрию. Springer Science & Business Media. п. 12. ISBN978-1-4684-0161-5.
^ А. Бедфорд; Уоллес Л. Фаулер (2008). Инженерная механика: Статика (5-е изд.). Прентис Холл. п. 60. ИСБН978-0-13-612915-8.
^ К. Ф. Райли; член парламента Хобсон; С. Дж. Бенс (2010). Математические методы в физике и технике (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN978-0-521-86153-3.
^ М. Мэнсфилд; К. О'Салливан (2011). Понимание физики (4-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN978-0-47-0746370.
^ Бербериан, Стерлинг К. (2014) [1992]. Линейная алгебра . Дувр. п. 287. ИСБН978-0-486-78055-9.
Внешние ссылки
Викискладе есть медиафайлы, связанные с продуктом Scalar .