Дискретное внешнее исчисление

В математике дискретное внешнее исчисление ( DEC ) является расширением внешнего исчисления на дискретные пространства, включая графы , сетки конечных элементов , а в последнее время также общие полигональные сетки ^[1] (неплоские и невыпуклые). Методы DEC оказались очень мощными в улучшении и анализе методов конечных элементов: например, методы на основе DEC позволяют использовать высоконеоднородные сетки для получения точных результатов. Неоднородные сетки выгодны, поскольку они позволяют использовать большие элементы, где процесс моделирования относительно прост, в отличие от точного разрешения, где процесс может быть сложным (например, вблизи препятствия потоку жидкости), при этом используя меньшую вычислительную мощность, чем при использовании равномерно мелкой сетки.

Дискретная внешняя производная

Теорема Стокса связывает интеграл дифференциальной ( n  − 1)-формы ω по границе ∂ M n - мерного многообразия M с интегралом d ω ( внешней производной ω и дифференциальной n -формы на M ) по самому M :

${\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega .}$

Можно было бы думать о дифференциальных k -формах как о линейных операторах , которые действуют на k -мерных "битах" пространства, в этом случае можно было бы предпочесть использовать скобочную запись для дуального спаривания. В этой записи теорема Стокса читается как

${\displaystyle \langle \mathrm {d} \omega \mid M\rangle =\langle \omega \mid \partial M\rangle .}$

В конечноэлементном анализе первым этапом часто является аппроксимация интересующей области триангуляцией , T . Например, кривая будет аппроксимирована как объединение отрезков прямых линий; поверхность будет аппроксимирована объединением треугольников, чьи ребра являются отрезками прямых линий, которые сами заканчиваются точками. Топологи назвали бы такую ​​конструкцию симплициальным комплексом . Граничный оператор на этом триангуляции/симплициальном комплексе T определяется обычным образом: например, если L — направленный отрезок прямой из одной точки a в другую b , то граница ∂ L для L — это формальная разность b  −  a .

k - форма на T — это линейный оператор, действующий на k -мерные подкомплексы T ; например, 0-форма присваивает значения точкам и линейно расширяется до линейных комбинаций точек; 1-форма присваивает значения отрезкам линий аналогичным линейным образом. Если ω — k -форма на T , то дискретная внешняя производная d ω от ω — это единственная ( k  + 1)-форма, определенная так, что выполняется теорема Стокса:

${\displaystyle \langle \mathrm {d} \omega \mid S\rangle =\langle \omega \mid \partial S\rangle .}$

Для каждого ( k  + 1)-мерного подкомплекса T , S .

Также могут быть определены другие операторы и операции, такие как произведение дискретного клина , ^[2] звезда Ходжа или производная Ли .

Смотрите также

• Дискретная дифференциальная геометрия
• Дискретная теория Морзе
• Топологическая комбинаторика
• Дискретное исчисление

Примечания

1. Птачкова, Ленка; Велью, Луис (июнь 2021 г.). «Простое и полное дискретное внешнее исчисление на общих многоугольных сетках». Компьютерное геометрическое проектирование . 88 : 102002. arXiv : 2401.15436 . doi : 10.1016/j.cagd.2021.102002. S2CID  235613614.
2. Птакова, Ленка; Вельо, Луис (2017). «От первичного к первичному дискретизация внешнего исчисления на полигональных сетках». Симпозиум по обработке геометрии 2017 г. — Постеры : 2 страницы. doi : 10.2312/SGP.20171204. ISBN 9783038680475. ISSN  1727-8384.

Ссылки

• Простое и полное дискретное внешнее исчисление на общих полигональных сетках, Птакова, Ленка и Велью, Луис, Компьютерное геометрическое проектирование, 2021, DOI: 10.1016/j.cagd.2021.102002
• Дискретное исчисление, Грейди, Лео Дж., Полимени, Джонатан Р., 2010 г.
• Диссертация Хирани по дискретному внешнему исчислению
• Дискретизация внешнего исчисления от первичного к первичному на полигональных сетках, Птакова, Л. и Вельо, Л., Симпозиум по обработке геометрии 2017, DOI: 10.2312/SGP.20171204
• Сходимость дискретных внешних приближений исчисления для задач Пуассона, Э. Шульц и Г. Цогтгерел, Disc. Comp. Geo. 63(2), 346 - 376, 2020
• О геометрической дискретизации упругости, Араш Явари, J. Math. Phys. 49, 022901 (2008), DOI:10.1063/1.2830977
• Дискретная дифференциальная геометрия: прикладное введение, Кинан Крейн, 2018