Если линейное отображение является биекцией , то оно называетсялинейный изоморфизм . В случае, когда линейное отображение называетсялинейным эндоморфизмом. Иногда терминлинейный оператор относится к этому случаю,[1]но термин «линейный оператор» может иметь разные значения для разных соглашений: например, его можно использовать, чтобы подчеркнуть, чтоиявляютсяреальнымивекторными пространствами (не обязательно с),[ нужна цитата ]или его можно использовать, чтобы подчеркнуть, чтоэтофункциональное пространство, что является общепринятым соглашением вфункциональном анализе. [2]Иногда термин «линейная функция» имеет то же значение, что и«линейная карта», но ванализеэто не так.
Линейное отображение от до всегда отображает начало координат в начало координат . Более того, он отображает линейные подпространства в на линейные подпространства в (возможно, меньшей размерности ); Например, в [3] плоскость , проходящая через начало координат в, сопоставляется либо с плоскостью, проходящей через начало координат в , либо с линией, проходящей через начало координат в , либо просто с началом координат в . Линейные карты часто могут быть представлены в виде матриц , а простые примеры включают линейные преобразования вращения и отражения .
Пусть и — векторные пространства над одним и тем же полем . Функция называется линейным отображением , если для любых двух векторов и любого скаляра выполняются следующие два условия:
Однородность степени 1 / операция скалярного умножения
Таким образом, линейное отображение называется сохраняющим операции . Другими словами, не имеет значения, применяется ли линейное отображение до (правые части приведенных выше примеров) или после (левые части примеров) операций сложения и скалярного умножения.
Обозначая нулевые элементы векторных пространств и через и соответственно, получим Пусть и в уравнении однородности степени 1:
Линейное отображение , рассматриваемое как одномерное векторное пространство над собой, называется линейным функционалом . [6]
Эти утверждения обобщаются на любой левый модуль над кольцом без изменений и на любой правый модуль после обращения скалярного умножения.
Примеры
Прототипическим примером, дающим имя линейным картам, является функция , график которой представляет собой линию, проходящую через начало координат. [7]
В более общем смысле, любая гомотетия с центром в начале векторного пространства представляет собой линейное отображение (здесь c — скаляр).
Нулевая карта между двумя векторными пространствами (над одним и тем же полем ) линейна.
Тождественное отображение любого модуля представляет собой линейный оператор.
Для действительных чисел карта не является линейной.
Для действительных чисел отображение не является линейным (но представляет собой аффинное преобразование ).
Если действительная матрица , то определяет линейную карту от до , отправляя вектор-столбец в вектор-столбец . И наоборот, любое линейное отображение между конечномерными векторными пространствами может быть представлено таким образом; см. § Матрицы ниже.
If — изометрия вещественных нормированных пространств такая, что then — линейное отображение. Этот результат не обязательно верен для комплексного нормированного пространства. [8]
Определенный интеграл по некоторому интервалу I представляет собой линейное отображение пространства всех вещественнозначных интегрируемых функций на I в . Действительно,
Неопределенный интеграл (или первообразная ) с фиксированной начальной точкой интегрирования определяет линейное отображение пространства всех вещественнозначных интегрируемых функций в пространство всех вещественнозначных дифференцируемых функций на . Без фиксированной отправной точки первообразная отображается в фактор-пространство дифференцируемых функций с помощью линейного пространства постоянных функций.
Если и являются конечномерными векторными пространствами над полем F размерностей m и n соответственно , то функция, которая отображает линейные отображения в матрицы размера n × m способом, описанным в § Матрицы (ниже), является линейным отображением, и даже линейный изоморфизм .
Ожидаемое значение случайной величины (которая на самом деле является функцией и, как таковая, элементом векторного пространства) линейно, как и для случайных величин и у нас есть и , но дисперсия случайной величины не является линейной.
Функция с является линейным отображением. Эта функция масштабирует компонент вектора в коэффициенте .
Функция аддитивна: не имеет значения, сначала складываются векторы, а затем отображаются, или они отображаются и наконец добавляются:
Функция однородна: не имеет значения, сначала масштабируется вектор, а затем отображается или сначала отображается, а затем масштабируется:
Линейные расширения
Часто линейная карта создается путем определения ее на подмножестве векторного пространства, а затемраспространяющийся по линейности налинейную оболочкуобласти. Предположим, что и— векторные пространства, а—функция, определенная на некотором подмножестве.
Тогдалинейное расширение to,еслионо существует, является линейным отображением, определенным нанем, котороерасширяет[примечание 1](это означает, чтодля всех) и принимает свои значения из кодомена из[9]
. Когда подмножествоявляется векторным подпространствомтогда a (-значное ) линейное расширениена всегарантированно существует, если (и только если)является линейным отображением. [9]В частности, еслиимеет линейное расширение до, то оно имеет линейное расширение и на все
Карта может быть расширена до линейной карты тогда и только тогда, когда всякий раз , когда является целым числом, являются скалярами и являются векторами, такими, что тогда обязательно [10]
Если линейное расширение существует, то линейное расширение уникально и
[10]
Например, если и тогда присваивание и может быть линейно расширено от линейно независимого набора векторов до линейного отображения на. Уникальное линейное расширение — это отображение, которое отправляет
Каждый (скалярный) линейный функционал , определенный на векторном подпространстве вещественного или комплексного векторного пространства, имеет линейное расширение на все
Действительно, теорема о доминируемом расширении Хана – Банаха даже гарантирует, что, когда этот линейный функционал доминируется некоторой заданной полунормой ( означает, что это справедливо для всех в области ), то существует линейное расширение, в котором также доминирует
Матрицы
Если и являются конечномерными векторными пространствами и для каждого векторного пространства определен базис , то каждое линейное отображение от до может быть представлено матрицей . [11] Это полезно, поскольку позволяет проводить конкретные расчеты. Матрицы дают примеры линейных карт: если это действительная матрица, то она описывает линейную карту (см. Евклидово пространство ).
Пусть будет основой для . Тогда каждый вектор однозначно определяется коэффициентами в поле :
Если — линейное отображение,
откуда следует, что функция f полностью определяется векторами . Теперь пусть это будет основа для . Тогда мы можем представить каждый вектор как
Таким образом, функция полностью определяется значениями . Если мы поместим эти значения в матрицу , то мы сможем удобно использовать ее для вычисления векторного вывода для любого вектора из . Чтобы получить , каждый столбец является вектором
Матрицы линейного преобразования можно представить визуально:
Матрица относительно :
Матрица относительно :
Матрица перехода от к :
Матрица перехода от к :
Таким образом, начиная с нижнего левого угла и ища нижний правый угол , можно было бы умножить влево, то есть . Эквивалентным методом будет «более длинный» метод, идущий по часовой стрелке от той же точки, такой, который умножается слева на или .
Примеры в двух измерениях
В двумерном пространстве R2 линейные отображения описываются матрицами размера 2×2 . Вот несколько примеров:
Если линейная карта состоит только из вращения, отражения и/или равномерного масштабирования, то линейная карта представляет собой конформное линейное преобразование .
Векторное пространство линейных карт
Состав линейных карт линеен: если и линейны, то линейен и их состав . Отсюда следует, что класс всех векторных пространств над данным полем K вместе с K -линейными отображениями как морфизмами образует категорию .
Инверсия линейной карты, если она определена, снова является линейной картой .
Если и линейны, то линейна и их поточечная сумма , которая определяется .
Если линейно и является элементом основного поля , то карта , определяемая , также является линейной.
Таким образом, набор линейных отображений из в себя образует векторное пространство над , [12] иногда обозначаемое . [13] Кроме того, в случае, когда это векторное пространство, обозначенное , является ассоциативной алгеброй относительно композиции карт , поскольку композиция двух линейных карт снова является линейной картой, а композиция карт всегда ассоциативна. Более подробно этот случай обсуждается ниже.
Снова учитывая конечномерный случай, если были выбраны базисы, то композиция линейных отображений соответствует умножению матриц , сложение линейных отображений соответствует сложению матриц , а умножение линейных отображений на скаляры соответствует умножению матрицы со скалярами.
Эндоморфизмы и автоморфизмы
Линейное преобразование является эндоморфизмом ; набор всех таких эндоморфизмов вместе со сложением, композицией и скалярным умножением, как определено выше, образует ассоциативную алгебру с единичным элементом над полем (и, в частности, кольцом ). Мультипликативный тождественный элемент этой алгебры — тождественное отображение .
Эндоморфизм этого также является изоморфизмом , называется автоморфизмом . Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, а множество всех автоморфизмов образует группу , группа автоморфизмов которой обозначается или . Поскольку автоморфизмы — это именно те эндоморфизмы , которые обладают обратными относительно композиции, — группа единиц в кольце .
Если имеет конечную размерность , то изоморфна ассоциативной алгебре всех матриц с элементами в . Группа автоморфизмов изоморфна общей линейной группе всех обратимых матриц с элементами в .
Ядро, образ и теорема о ранге-нулевости
Если линейно, мы определяем ядро и образ или диапазон с помощью
Число также называется рангом и пишется как , а иногда и ; [15] [16] число называется нулевым и записывается как или . [15] [16] Если и конечномерны, базисы выбраны и представлены матрицей , то ранг и нульность равны рангу и нулю матрицы соответственно.
Кокернел
Более тонким инвариантом линейного преобразования является со- ядро , которое определяется как
Это двойственное понятие по отношению к ядру: точно так же, как ядро является подпространством предметной области, со-ядро является фактор- пространством цели . Формально имеем точную последовательность
Их можно интерпретировать следующим образом: если нужно решить линейное уравнение f ( v ) = w ,
ядро — пространство решений однородного уравнения f ( v ) = 0, а его размерность — число степеней свободы в пространстве решений, если оно не пусто;
коядро — это пространство ограничений, которым должны удовлетворять решения, а его размерность — максимальное количество независимых ограничений.
Размерность совместного ядра и размерность изображения (ранг) в сумме дают размерность целевого пространства. Для конечных размеров это означает, что размерность фактор-пространства W / f ( V ) равна размерности целевого пространства минус размерность изображения.
В качестве простого примера рассмотрим отображение f : R2 → R2 , заданное формулой f ( x , y ) = (0, y ) . Тогда для того, чтобы уравнение f ( x , y ) = ( a , b ) имело решение, мы должны иметь a = 0 (одно ограничение), и в этом случае пространство решения равно ( x , b ) или, что эквивалентно, ( 0, b ) + ( x , 0), (одна степень свободы). Ядро может быть выражено как подпространство ( x , 0) < V : значение x является свободой в решении, тогда как коядро может быть выражено через отображение W → R , : с учетом вектора ( a , b ), значение a является препятствием для нахождения решения.
Примером, иллюстрирующим бесконечномерный случай, является отображение f : R ∞ → R ∞ , где b 1 = 0 и bn + 1 = a n для n > 0. Его образ состоит из всех последовательностей с первым элементом 0, и, таким образом, его коядро состоит из классов последовательностей с идентичным первым элементом. Таким образом, хотя его ядро имеет размерность 0 (оно отображает только нулевую последовательность в нулевую последовательность), его ко-ядро имеет размерность 1. Поскольку область определения и целевое пространство одинаковы, ранг и размерность ядра складываются. к той же сумме , что и ранг и размерность коядра ( ), но в бесконечномерном случае нельзя сделать вывод, что ядро и коядро эндоморфизма имеют одинаковую размерность (0 ≠ 1). Обратная ситуация имеет место для отображения h : R ∞ → R ∞ , где c n = an + 1 . Его изображение — это все целевое пространство, и, следовательно, его коядро имеет размерность 0, но поскольку он отображает все последовательности, в которых только первый элемент ненулевой, в нулевую последовательность, его ядро имеет размерность 1.
Индекс
Для линейного оператора с конечномерным ядром и ко-ядром индекс можно определить как:
Для преобразования между конечномерными векторными пространствами это просто разница dim( V ) − dim( W ) по рангу-нулевой. Это дает представление о том, сколько решений или сколько ограничений имеется: при отображении большего пространства в меньшее карта может быть включена и, следовательно, будет иметь степени свободы даже без ограничений. И наоборот, если отображать меньшее пространство в большее, карта не может быть включена, и, следовательно, будут иметься ограничения даже без степеней свободы.
Алгебраические классификации линейных преобразований
Никакая классификация линейных карт не может быть исчерпывающей. В следующем неполном списке перечислены некоторые важные классификации, которые не требуют какой-либо дополнительной структуры векторного пространства.
Пусть V и W обозначают векторные пространства над полем F и пусть T : V → W — линейное отображение.
Мономорфизм
T называется инъективным или мономорфизмом , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
T является унитарным или сокращаемым слева, то есть для любого векторного пространства U и любой пары линейных отображений R : U → V и S : U → V из уравнения TR = TS следует R = S .
T обратимо слева , то есть существует линейное отображение S : W → V такое, что ST является тождественным отображением на V.
Эпиморфизм
T называется сюръективным или эпиморфизмом , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
T эпическое или правосократимое, то есть для любого векторного пространства U и любой пары линейных отображений R : W → U и S : W → U уравнение RT = ST влечет за собой R = S .
T обратимо справа , то есть существует линейное отображение S : W → V такое, что TS — тождественное отображение на W.
изоморфизм
T называется изоморфизмом, если он обратим как слева, так и справа. Это эквивалентно тому, что T является одновременно взаимно однозначным и на ( биекция множеств), или также тому, что T одновременно является эпическим и моническим и, таким образом, является биморфизмом .
Если T : V → V — эндоморфизм, то:
Если для некоторого положительного целого числа n n -я итерация T , Tn , равна тождественному нулю, то T называется нильпотентным .
Если T = kI , где k — некоторый скаляр, то T называется масштабирующим преобразованием или отображением скалярного умножения; см. скалярную матрицу .
Изменение базы
Учитывая линейное отображение, которое является эндоморфизмом , матрица которого равна A , в базисе B пространства оно преобразует векторные координаты [u] как [v] = A [u]. Поскольку векторы изменяются с обратным преобразованием B (векторы контравариантны ), его обратное преобразование равно [v] = B [v'].
Подставив это в первое выражение
Следовательно, матрица в новом базисе равна A′ = B −1 AB , поскольку B — матрица данного базиса.
Поэтому линейные карты называются 1-ко-1-контравариантными объектами или тензорами типа (1, 1) .
Примером неограниченного, а значит, и разрывного, линейного преобразования является дифференцирование на пространстве гладких функций, снабженных супремум-нормой (функция с малыми значениями может иметь производную с большими значениями, а производная от 0 равна 0). В конкретном примере sin( nx )/ n сходится к 0, а его производная cos( nx ) — нет, поэтому дифференцирование не является непрерывным в точке 0 (и, если изменить этот аргумент, оно не является непрерывным нигде).
Приложения
Конкретным применением линейных карт являются геометрические преобразования , например, выполняемые в компьютерной графике , где перемещение, вращение и масштабирование 2D- или 3D-объектов выполняются с использованием матрицы преобразования . Линейные отображения также используются как механизм описания изменений: например, в исчислении они соответствуют производным; или в теории относительности используется как устройство для отслеживания локальных преобразований систем отсчета.
Линейный функционал - линейное отображение векторного пространства в его поле скаляров.Pages displaying short descriptions of redirect targets
Линейная изометрия – математическое преобразование, сохраняющее расстояниеPages displaying short descriptions of redirect targets
Примечания
^ «Линейные преобразования V в V часто называют линейными операторами на V ». Рудин 1976, с. 207
^ Пусть V и W — два вещественных векторных пространства. Отображение a из V в W называется «линейным отображением» или «линейным преобразованием» или «линейным оператором» [...] из V в W , если для всех , для всех и всех вещественных λ . Бронштейн и Семендяев 2004, с. 316
^ Рудин 1991, с. 14 Вот некоторые свойства линейных отображений, доказательства которых настолько просты, что мы их опускаем; предполагается, что и :
Если B — подпространство (или выпуклое множество, или сбалансированное множество), то же самое верно и для
В частности, набор:
является подпространством X , называемым нулевым пространством .
^ Рудин 1991, с. 14. Предположим теперь, что X и Y — векторные пространства над одним и тем же скалярным полем . Отображение называется линейным , если для всех и всех скаляров и . Обратите внимание, что часто пишут , а не , когда линейно.
^ Рудин 1976, с. 206. Отображение A векторного пространства X в векторное пространство Y называется линейным преобразованием, если: для всех и всех скаляров c . Обратите внимание, что вместо этого часто пишут «если А линейно».
^ Рудин 1991, с. 14. Линейные отображения X на его скалярное поле называются линейными функционалами .
^ «Терминология - Что означает слово «линейный» в линейной алгебре?». Математический обмен стеками . Проверено 17 февраля 2021 г.
^ Виланский 2013, стр. 21–26.
^ аб Кубруслый 2001, с. 57.
^ аб Шехтер 1996, стр. 277–280.
^ Рудин 1976, с. 210 Пусть и являются базами векторных пространств X и Y соответственно. Тогда каждый определяет набор чисел такой, что
Эти числа удобно представить в виде прямоугольного массива из m строк и n столбцов, называемого матрицей размером m на n :
Обратите внимание, что координаты вектора (относительно базиса ) появляются в j -м столбце . Поэтому векторы иногда называют векторами - столбцами . С этой терминологией диапазон A охватывается векторами- столбцами .
^ Экслер (2015) с. 52, § 3.3
^ Ту (2011), с. 19, § 3.1
^ Horn & Johnson 2013, 0.2.3 Векторные пространства, связанные с матрицей или линейным преобразованием, с. 6
^ аб Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 52, § 2.5.1
^ аб Халмош (1974) с. 90, § 50
^ Нистор, Виктор (2001) [1994], «Теория индекса», Энциклопедия математики , EMS Press: «Основной вопрос теории индексов состоит в том, чтобы предоставить формулы индекса для классов операторов Фредгольма... Теория индексов стала самостоятельным предметом только после того, как М. Ф. Атья и И. Сингер опубликовали свои теоремы об индексах»
^ Рудин 1991, с. 15 1.18 Теорема Пусть – линейный функционал в топологическом векторном пространстве X . Предположим, для некоторых . Тогда каждое из следующих четырех свойств подразумевает остальные три:
является непрерывным
Нулевое пространство закрыто.
не плотно в X .
ограничен в некоторой окрестности V нуля.
^ Говорят, что одна карта расширяет другую карту, если когда она определена в какой-то точке, то так и есть , и
Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. Студенческая серия Уолтера Рудина по высшей математике (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК 840278135.
Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК 175294365.
Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. ОСЛК 24909067.