stringtranslate.com

Линейный промежуток

Заштрихованная плоскость представляет собой линейную оболочку u и v как в R 2 , так и в R 3 .

В математике линейная оболочка (также называемая линейной оболочкой [1] или просто оболочкой ) множества элементов векторного пространства — это наименьшее линейное подпространство , содержащее Это множество всех конечных линейных комбинаций элементов S , [2] и пересечение всех линейных подпространств, содержащих Это, часто обозначаемое как span( S ) [3] или

Например, в геометрии два линейно независимых вектора образуют плоскость .

Чтобы выразить то, что векторное пространство V является линейной оболочкой подмножества S , обычно используют одну из следующих фраз: S охватывает V ; S является охватывающим множеством V ; V охватывается или порождается S ; S является порождающим множеством или порождающим множеством V.

Промежутки могут быть обобщены до многих математических структур , в этом случае наименьшая подструктура, содержащая, как правило, называется подструктурой , порожденной

Определение

Если задано векторное пространство V над полем K , охват множества S векторов (не обязательно конечного) определяется как пересечение W всех подпространств V , содержащих S. Таким образом, это наименьшее (для включения множеств ) подпространство, содержащее W. Оно называется подпространством, охватываемым S или векторами из S. И наоборот, S называется охватывающим множеством W , и мы говорим, что S охватывает W.

Из этого определения следует, что диапазон S представляет собой множество всех конечных линейных комбинаций элементов (векторов) S и может быть определен как таковой. [4] [5] [6] То есть,

Когда S пусто , единственной возможностью является n = 0 , и предыдущее выражение для сводится к пустой сумме . [a] Стандартное соглашение для пустой суммы подразумевает, таким образом, свойство, которое непосредственно следует из других определений. Однако многие вводные учебники просто включают этот факт как часть определения.

Когда конечно , то есть

Примеры

В вещественном векторном пространстве {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} в качестве охватывающего множества. Это конкретное охватывающее множество также является базисом . Если бы (−1, 0, 0) было заменено на (1, 0, 0), оно также образовало бы канонический базис .

Другое охватывающее множество для того же пространства задается как {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 12 , 3), (1, 1, 1)}, но это множество не является базисом, поскольку оно линейно зависимо .

Множество {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) } не является охватывающим множеством , поскольку его охватывающим является пространство всех векторов, в которых последний компонент равен нулю. Это пространство также охватывается множеством {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, поскольку (1, 1, 0) является линейной комбинацией (1, 0, 0) и (0, 1, 0). Таким образом, охватываемое пространство не является Его можно идентифицировать с , удалив третьи компоненты, равные нулю.

Пустое множество является охватывающим множеством {(0, 0, 0)}, поскольку пустое множество является подмножеством всех возможных векторных пространств в , а {(0, 0, 0)} является пересечением всех этих векторных пространств.

Множество мономов x n , где n — неотрицательное целое число, охватывает пространство многочленов .

Теоремы

Эквивалентность определений

Множество всех линейных комбинаций подмножества S из V , векторного пространства над K , является наименьшим линейным подпространством V , содержащим S .

Доказательство. Сначала докажем, что span S является подпространством V . Поскольку S является подмножеством V , нам нужно доказать только существование нулевого вектора 0 в span S , что span S замкнут относительно сложения и что span S замкнут относительно скалярного умножения. Если допустить , то тривиально, что нулевой вектор V существует в span S , так как . Сложение двух линейных комбинаций S также дает линейную комбинацию S : , где все , а умножение линейной комбинации S на скаляр даст еще одну линейную комбинацию S : . Таким образом, span S является подпространством V .
Предположим, что W — линейное подпространство V , содержащее S. Отсюда следует, что , поскольку каждое v i является линейной комбинацией S (тривиально). Поскольку W замкнуто относительно сложения и скалярного умножения, то каждая линейная комбинация должна содержаться в W . Таким образом, span S содержится в каждом подпространстве V , содержащем S , и пересечение всех таких подпространств или наименьшее такое подпространство равно множеству всех линейных комбинаций S .

Размер охватывающего множества не меньше размера линейно независимого множества.

Каждое охватывающее множество S векторного пространства V должно содержать по крайней мере столько же элементов, сколько любой линейно независимый набор векторов из V.

Доказательство. Пусть будет остовным множеством и будет линейно независимым множеством векторов из V. Мы хотим показать, что .
Так как S охватывает V , то должен также охватывать V и должен быть линейной комбинацией S . Таким образом, является линейно зависимым, и мы можем удалить один вектор из S , который является линейной комбинацией других элементов. Этот вектор не может быть ни одним из w i , так как W линейно независим. Результирующий набор равен , который является охватывающим набором V . Мы повторяем этот шаг n раз, где результирующий набор после p -го шага является объединением и m - p векторов S .
До n -го шага гарантируется , что всегда будет некоторое v i для удаления из S для каждого сопряженного элемента v , и, таким образом, имеется по крайней мере столько же v i , сколько и w i , то есть . Чтобы проверить это, предположим от противного, что . Тогда на m -м шаге у нас есть набор , и мы можем присоединить другой вектор . Но, поскольку является охватывающим множеством V , является линейной комбинацией . Это противоречие, поскольку W линейно независим.

Покрывающий набор может быть сведен к базису

Пусть V — конечномерное векторное пространство. Любой набор векторов, охватывающий V, можно свести к базису для V , отбрасывая векторы, если необходимо (т. е. если в наборе есть линейно зависимые векторы). Если аксиома выбора верна, это верно без предположения, что V имеет конечную размерность. Это также указывает на то, что базис является минимальным охватывающим множеством, когда V конечномерен.

Обобщения

Обобщая определение диапазона точек в пространстве, подмножество X основного множества матроида называется охватывающим множеством, если ранг X равен рангу всего основного множества [7]

Определение векторного пространства также можно обобщить на модули. [8] [9] Если задан R -модуль A и набор элементов a 1 , ..., a n из A , то подмодуль A , натянутый на a 1 , ..., a n , является суммой циклических модулей, состоящих из всех R -линейных комбинаций элементов a i . Как и в случае векторных пространств, подмодуль A , натянутый на любое подмножество A , является пересечением всех подмодулей, содержащих это подмножество.

Замкнутый линейный промежуток (функциональный анализ)

В функциональном анализе замкнутая линейная оболочка набора векторов — это минимальное замкнутое множество, которое содержит линейную оболочку этого набора.

Предположим, что X — нормированное векторное пространство, а E — любое непустое подмножество X. Замкнутая линейная оболочка E , обозначаемая как или , является пересечением всех замкнутых линейных подпространств X , которые содержат E.

Одна из математической формулировок этого такова:

Замкнутая линейная оболочка множества функций x n на интервале [0, 1], где n — неотрицательное целое число, зависит от используемой нормы. Если используется норма L 2 , то замкнутая линейная оболочка является гильбертовым пространством квадратично интегрируемых функций на интервале. Но если используется максимальная норма , то замкнутая линейная оболочка будет пространством непрерывных функций на интервале. В любом случае замкнутая линейная оболочка содержит функции, которые не являются полиномами, и, следовательно, не находятся в самой линейной оболочке. Однако мощность множества функций в замкнутой линейной оболочке является мощностью континуума , которая является той же мощностью, что и для множества полиномов.

Примечания

Линейная оболочка множества плотна в замкнутой линейной оболочке. Более того, как указано в лемме ниже, замкнутая линейная оболочка действительно является замыканием линейной оболочки.

Замкнутые линейные промежутки важны при работе с замкнутыми линейными подпространствами (которые сами по себе весьма важны, см. лемму Рисса ).

Полезная лемма

Пусть X — нормированное пространство, а E — любое непустое подмножество X. Тогда

  1. — замкнутое линейное подпространство X , содержащее E ,
  2. , а именно, является закрытие ,

(Таким образом, обычный способ найти замкнутый линейный промежуток — это сначала найти линейный промежуток, а затем замыкание этого линейного промежутка.)

Смотрите также

Сноски

  1. ^ Это логически верно, поскольку при n = 0 условия для векторов и констант пусты и, следовательно, бессодержательно удовлетворены.

Цитаты

  1. ^ Энциклопедия математики (2020). Линейная оболочка.
  2. ^ Акслер (2015) стр. 29, § 2.7
  3. ^ Акслер (2015) стр. 29-30, §§ 2.5, 2.8
  4. ^ Хефферон (2020) стр. 100, гл. 2, Определение 2.13
  5. ^ Акслер (2015) стр. 29-30, §§ 2.5, 2.8
  6. ^ Роман (2005) стр. 41-42
  7. ^ Оксли (2011), стр. 28.
  8. ^ Роман (2005) стр. 96, гл. 4
  9. ^ Mac Lane & Birkhoff (1999) стр. 193, гл. 6

Источники

Учебники

Веб

Внешние ссылки