В линейной алгебре сгенерированное подпространство
В математике линейная оболочка (также называемая линейной оболочкой [1] или просто оболочкой ) множества элементов векторного пространства — это наименьшее линейное подпространство , содержащее Это множество всех конечных линейных комбинаций элементов S , [2] и пересечение всех линейных подпространств, содержащих Это, часто обозначаемое как span( S ) [3] или
Чтобы выразить то, что векторное пространство V является линейной оболочкой подмножества S , обычно используют одну из следующих фраз: S охватывает V ; S является охватывающим множеством V ; V охватывается или порождается S ; S является порождающим множеством или порождающим множеством V.
Промежутки могут быть обобщены до многих математических структур , в этом случае наименьшая подструктура, содержащая, как правило, называется подструктурой , порожденной
Определение
Если задано векторное пространство V над полем K , охват множества S векторов (не обязательно конечного) определяется как пересечение W всех подпространств V , содержащих S. Таким образом, это наименьшее (для включения множеств ) подпространство, содержащее W. Оно называется подпространством, охватываемым S или векторами из S. И наоборот, S называется охватывающим множеством W , и мы говорим, что S охватывает W.
Из этого определения следует, что диапазон S представляет собой множество всех конечных линейных комбинаций элементов (векторов) S и может быть определен как таковой. [4] [5] [6] То есть,
Когда S пусто , единственной возможностью является n = 0 , и предыдущее выражение для сводится к пустой сумме . [a] Стандартное соглашение для пустой суммы подразумевает, таким образом, свойство, которое непосредственно следует из других определений. Однако многие вводные учебники просто включают этот факт как часть определения.
Когда конечно , то есть
Примеры
В вещественном векторном пространстве {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} в качестве охватывающего множества. Это конкретное охватывающее множество также является базисом . Если бы (−1, 0, 0) было заменено на (1, 0, 0), оно также образовало бы канонический базис .
Другое охватывающее множество для того же пространства задается как {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1 ⁄ 2 , 3), (1, 1, 1)}, но это множество не является базисом, поскольку оно линейно зависимо .
Множество {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) } не является охватывающим множеством , поскольку его охватывающим является пространство всех векторов, в которых последний компонент равен нулю. Это пространство также охватывается множеством {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, поскольку (1, 1, 0) является линейной комбинацией (1, 0, 0) и (0, 1, 0). Таким образом, охватываемое пространство не является Его можно идентифицировать с , удалив третьи компоненты, равные нулю.
Пустое множество является охватывающим множеством {(0, 0, 0)}, поскольку пустое множество является подмножеством всех возможных векторных пространств в , а {(0, 0, 0)} является пересечением всех этих векторных пространств.
Множество мономов x n , где n — неотрицательное целое число, охватывает пространство многочленов .
Теоремы
Эквивалентность определений
Множество всех линейных комбинаций подмножества S из V , векторного пространства над K , является наименьшим линейным подпространством V , содержащим S .
Доказательство. Сначала докажем, что span S является подпространством V . Поскольку S является подмножеством V , нам нужно доказать только существование нулевого вектора 0 в span S , что span S замкнут относительно сложения и что span S замкнут относительно скалярного умножения. Если допустить , то тривиально, что нулевой вектор V существует в span S , так как . Сложение двух линейных комбинаций S также дает линейную комбинацию S : , где все , а умножение линейной комбинации S на скаляр даст еще одну линейную комбинацию S : . Таким образом, span S является подпространством V .
Предположим, что W — линейное подпространство V , содержащее S. Отсюда следует, что , поскольку каждое v i является линейной комбинацией S (тривиально). Поскольку W замкнуто относительно сложения и скалярного умножения, то каждая линейная комбинация должна содержаться в W . Таким образом, span S содержится в каждом подпространстве V , содержащем S , и пересечение всех таких подпространств или наименьшее такое подпространство равно множеству всех линейных комбинаций S .
Размер охватывающего множества не меньше размера линейно независимого множества.
Каждое охватывающее множество S векторного пространства V должно содержать по крайней мере столько же элементов, сколько любой линейно независимый набор векторов из V.
Доказательство. Пусть будет остовным множеством и будет линейно независимым множеством векторов из V. Мы хотим показать, что .
Так как S охватывает V , то должен также охватывать V и должен быть линейной комбинацией S . Таким образом, является линейно зависимым, и мы можем удалить один вектор из S , который является линейной комбинацией других элементов. Этот вектор не может быть ни одним из w i , так как W линейно независим. Результирующий набор равен , который является охватывающим набором V . Мы повторяем этот шаг n раз, где результирующий набор после p -го шага является объединением и m - p векторов S .
До n -го шага гарантируется , что всегда будет некоторое v i для удаления из S для каждого сопряженного элемента v , и, таким образом, имеется по крайней мере столько же v i , сколько и w i , то есть . Чтобы проверить это, предположим от противного, что . Тогда на m -м шаге у нас есть набор , и мы можем присоединить другой вектор . Но, поскольку является охватывающим множеством V , является линейной комбинацией . Это противоречие, поскольку W линейно независим.
Покрывающий набор может быть сведен к базису
Пусть V — конечномерное векторное пространство. Любой набор векторов, охватывающий V, можно свести к базису для V , отбрасывая векторы, если необходимо (т. е. если в наборе есть линейно зависимые векторы). Если аксиома выбора верна, это верно без предположения, что V имеет конечную размерность. Это также указывает на то, что базис является минимальным охватывающим множеством, когда V конечномерен.
Обобщения
Обобщая определение диапазона точек в пространстве, подмножество X основного множества матроида называется охватывающим множеством, если ранг X равен рангу всего основного множества [7]
Определение векторного пространства также можно обобщить на модули. [8] [9] Если задан R -модуль A и набор элементов a 1 , ..., a n из A , то подмодуль A , натянутый на a 1 , ..., a n , является суммой циклических модулей,
состоящих из всех R -линейных комбинаций элементов a i . Как и в случае векторных пространств, подмодуль A , натянутый на любое подмножество A , является пересечением всех подмодулей, содержащих это подмножество.
В функциональном анализе замкнутая линейная оболочка набора векторов — это минимальное замкнутое множество, которое содержит линейную оболочку этого набора.
Предположим, что X — нормированное векторное пространство, а E — любое непустое подмножество X. Замкнутая линейная оболочка E , обозначаемая как или , является пересечением всех замкнутых линейных подпространств X , которые содержат E.
Одна из математической формулировок этого такова:
Замкнутая линейная оболочка множества функций x n на интервале [0, 1], где n — неотрицательное целое число, зависит от используемой нормы. Если используется норма L 2 , то замкнутая линейная оболочка является гильбертовым пространством квадратично интегрируемых функций на интервале. Но если используется максимальная норма , то замкнутая линейная оболочка будет пространством непрерывных функций на интервале. В любом случае замкнутая линейная оболочка содержит функции, которые не являются полиномами, и, следовательно, не находятся в самой линейной оболочке. Однако мощность множества функций в замкнутой линейной оболочке является мощностью континуума , которая является той же мощностью, что и для множества полиномов.
Примечания
Линейная оболочка множества плотна в замкнутой линейной оболочке. Более того, как указано в лемме ниже, замкнутая линейная оболочка действительно является замыканием линейной оболочки.
Замкнутые линейные промежутки важны при работе с замкнутыми линейными подпространствами (которые сами по себе весьма важны, см. лемму Рисса ).
Полезная лемма
Пусть X — нормированное пространство, а E — любое непустое подмножество X. Тогда
— замкнутое линейное подпространство X , содержащее E ,
, а именно, является закрытие ,
(Таким образом, обычный способ найти замкнутый линейный промежуток — это сначала найти линейный промежуток, а затем замыкание этого линейного промежутка.)
Райнн, Брайан П.; Янгсон, Мартин А. (2008). Линейный функциональный анализ . Springer. ISBN 978-1848000049.
Лэй, Дэвид С. (2021) Линейная алгебра и ее приложения (6-е издание) . Пирсон.
Веб
Ланкхэм, Исайя; Нахтергаеле, Бруно ; Шиллинг, Энн (13 февраля 2010 г.). «Линейная алгебра — как введение в абстрактную математику» (PDF) . Калифорнийский университет в Дэвисе . Получено 27 сентября 2011 г.
Линейные комбинации и диапазон: Понимание линейных комбинаций и диапазонов векторов, khanacademy.org.
Сандерсон, Грант (6 августа 2016 г.). «Линейные комбинации, охват и базисные векторы». Сущность линейной алгебры. Архивировано из оригинала 2021-12-11 – через YouTube .