Измерение (векторное пространство)

Число векторов в любом базисе векторного пространства

Диаграмма измерений 1, 2, 3 и 4

В математике размерность векторного пространства V — это мощность (т. е. число векторов) базиса V над его базовым полем . ^[1] [ ^2] Иногда ее называют размерностью Гамеля (в честь Георга Гамеля ) или алгебраической размерностью, чтобы отличать ее от других типов размерности .

Для каждого векторного пространства существует базис, ^[a] и все базисы векторного пространства имеют одинаковую мощность; ^[b] в результате размерность векторного пространства определяется однозначно. Мы говорим, что есть ${\displaystyle V}$конечномерный, если размерностьконечна, и ${\displaystyle V}$бесконечномерным, если его размерностьбесконечна.

Размерность векторного пространства над полем можно записать как или прочитать как «размерность над ». Когда можно вывести из контекста, обычно пишется. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \dim _{F}(V)}$ ${\displaystyle [V:F],}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \dim(V)}$

Примеры

Векторному пространству соответствует стандартный базис , и поэтому в более общем смысле, и даже в более общем смысле, для любого поля ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,}$ ${\displaystyle \dim _{F}(F^{n})=n}$ ${\displaystyle F.}$

Комплексные числа представляют собой как действительное, так и комплексное векторное пространство; мы имеем и Поэтому размерность зависит от базового поля. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.}$

Единственное векторное пространство, имеющее размерность , — это векторное пространство, состоящее только из своего нулевого элемента. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{0\},}$

Характеристики

Если — линейное подпространство , то ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(W)\leq \dim(V).}$

Чтобы показать, что два конечномерных векторных пространства равны, можно использовать следующий критерий: если — конечномерное векторное пространство и — линейное подпространство , то ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(W)=\dim(V),}$ ${\displaystyle W=V.}$

Пространство имеет стандартный базис , где - -й столбец соответствующей единичной матрицы . Следовательно, имеет размерность ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Любые два конечномерных векторных пространства над с одинаковой размерностью изоморфны . Любое биективное отображение между их базами может быть однозначно расширено до биективного линейного отображения между векторными пространствами. Если — некоторое множество, векторное пространство с размерностью над может быть построено следующим образом: берется множество всех функций, таких что для всех, кроме конечного числа в Эти функции можно сложить и умножить на элементы из , чтобы получить искомое -векторное пространство. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |B|}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle f:B\to F}$ ${\displaystyle f(b)=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Важный результат о размерностях даёт теорема о ранге–нуле для линейных отображений .

Если является расширением поля , то является, в частности, векторным пространством над Кроме того, каждое -векторное пространство также является -векторным пространством. Размерности связаны формулой В частности, каждое комплексное векторное пространство размерности является действительным векторным пространством размерности ${\displaystyle F/K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n.}$

Некоторые формулы связывают размерность векторного пространства с мощностью базового поля и мощностью самого пространства. Если — векторное пространство над полем и если размерность обозначается как, то: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim V,}$

Если dim конечен, то ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |V|=|F|^{\dim V}.}$

Если dim бесконечен, то ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |V|=\max(|F|,\dim V).}$

Обобщения

Векторные пространства можно рассматривать как частный случай матроида , и в последнем есть четко определенное понятие размерности. Длина модуля и ранг абелевой группы имеют несколько свойств, аналогичных размерности векторных пространств.

Размерность Крулля коммутативного кольца , названная в честь Вольфганга Крулля (1899–1971), определяется как максимальное число строгих включений в возрастающую цепочку простых идеалов кольца.

След

Размерность векторного пространства может быть альтернативно охарактеризована как след оператора тождества . Например, Это кажется циклическим определением, но оно допускает полезные обобщения. ${\displaystyle \operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.}$

Во-первых, он позволяет определить понятие размерности, когда есть след, но нет естественного смысла базиса. Например, можно иметь алгебру с картами (включение скаляров, называемое единицей ) и карту (соответствующую следу, называемую коединицей ) . Композиция скаляра (будучи линейным оператором в одномерном пространстве) соответствует «следу тождества» и дает понятие размерности для абстрактной алгебры. На практике в биалгебрах эта карта должна быть тождеством, которое может быть получено путем нормализации коединицы путем деления на размерность ( ), поэтому в этих случаях нормирующая константа соответствует размерности. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \eta :K\to A}$ ${\displaystyle \epsilon :A\to K}$ ${\displaystyle \epsilon \circ \eta :K\to K}$ ${\displaystyle \epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} }$

В качестве альтернативы, возможно, можно взять след операторов в бесконечномерном пространстве; в этом случае определяется (конечный) след, даже если не существует (конечной) размерности, и дается понятие "размерности оператора". Они попадают под рубрику " операторов класса следа " в гильбертовом пространстве или, в более общем смысле, ядерных операторов в банаховом пространстве .

Более тонкое обобщение заключается в том, чтобы рассматривать след семейства операторов как своего рода «скрученное» измерение. Это происходит в значительной степени в теории представлений , где характер представления является следом представления, следовательно, скалярной функцией на группе , значение которой на тождестве является размерностью представления, поскольку представление отправляет тождество в группе в матрицу тождества: Другие значения характера можно рассматривать как «скрученные» измерения и находить аналоги или обобщения утверждений об измерениях на утверждения о характерах или представлениях. Сложный пример этого встречается в теории чудовищного лунного света : -инвариант является градуированной размерностью бесконечномерного градуированного представления группы монстров , а замена размерности на характер дает ряд Маккея–Томпсона для каждого элемента группы монстров. ^[3] ${\displaystyle \chi :G\to K,}$ ${\displaystyle 1\in G}$ ${\displaystyle \chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.}$ ${\displaystyle \chi (g)}$ ${\displaystyle j}$

Смотрите также

• Фрактальная размерность  – отношение, дающее статистический индекс изменения сложности в зависимости от масштаба.
• Размерность Крулла  — в математике размерность кольца.
• Ранг матроида  – максимальный размер независимого множества матроида.
• Ранг (линейная алгебра)  – размерность столбцового пространства матрицы.
• Топологическая размерность  – Топологически инвариантное определение размерности пространства Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления, также называемое размерностью покрытия Лебега.

Примечания

1. если принять аксиому выбора
2. см . теорему о размерности для векторных пространств

Ссылки

1. Ицков, Михаил (2009). Тензорная алгебра и тензорный анализ для инженеров: с приложениями к механике сплошных сред. Springer. стр. 4. ISBN 978-3-540-93906-1.
2. Акслер (2015) стр. 44, §2.36
3. Ганнон, Терри (2006), Лунный свет за пределами монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику , Cambridge University Press, ISBN 0-521-83531-3

Источники

• Axler, Sheldon (2015). Линейная алгебра, сделанная правильно . Бакалаврские тексты по математике (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.

Внешние ссылки

• Лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института о независимости, базисе и размерности, Гилберт Стрэнг, на OpenCourseWare Массачусетского технологического института