j-инвариант

Модульная функция в математике

j -инвариант Клейна в комплексной плоскости

В математике j -инвариант Феликса Клейна или j - функция , рассматриваемая как функция комплексной переменной τ , является модулярной функцией веса ноль для специальной линейной группы SL(2, Z ), определенной на верхней полуплоскости комплексных чисел . Это единственная такая функция, которая голоморфна вдали от простого полюса в точке возврата, такой что 

${\displaystyle j\left(e^{2\pi i/3}\right)=0,\quad j(i)=1728=12^{3}.}$

Рациональные функции j являются модулярными и фактически дают все модулярные функции веса 0. Классически j -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над , но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Монстров (эта связь называется чудовищным лунным светом ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Определение

Действительная часть j -инварианта как функция квадрата нома на единичном круге

Фаза j -инварианта как функция квадрата нома на единичном круге

j -инвариант можно определить как функцию на верхней полуплоскости H = { τ ∈ C , Im ( τ ) > 0},

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{\Delta (\tau )}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}}}$

с третьим определением, подразумевающим, что может быть выражено как куб , также с 1728 года . ${\displaystyle j(\tau )}$ ${\displaystyle {}=12^{3}}$

Данными функциями являются модульный дискриминант , эта-функция Дедекинда и модульные инварианты, ${\displaystyle \Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$

${\displaystyle g_{2}(\tau )=60G_{4}(\tau )=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )=140G_{6}(\tau )=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-6}}$

где , - ряды Фурье , ${\displaystyle G_{4}(\tau )}$ ${\displaystyle G_{6}(\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\,E_{4}(\tau )\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\,E_{6}(\tau )\end{aligned}}}$

и , являются рядами Эйзенштейна , ${\displaystyle E_{4}(\tau )}$ ${\displaystyle E_{6}(\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\[4pt]E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}}$

и (квадрат нома ) . Тогда j -инвариант может быть непосредственно выражен через ряд Эйзенштейна как, ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {E_{4}(\tau )^{3}}{E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}}}$

без числового множителя, отличного от 1728. Это подразумевает третий способ определения модульного дискриминанта, ^[1]

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\,{\frac {E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}{1728}}}$

Например, используя определения выше и , то эта-функция Дедекинда имеет точное значение , ${\displaystyle \tau =2i}$ ${\displaystyle \eta (2i)}$

${\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{11/8}\pi ^{3/4}}}}$

подразумевая трансцендентные числа ,

${\displaystyle g_{2}(2i)={\frac {11\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{8}}{2^{8}\pi ^{2}}},\qquad g_{3}(2i)={\frac {7\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{12}}{2^{12}\pi ^{3}}}}$

но давая алгебраическое число (фактически целое число ),

${\displaystyle j(2i)=1728{\frac {g_{2}(2i)^{3}}{g_{2}(2i)^{3}-27g_{3}(2i)^{2}}}=66^{3}.}$

В общем случае это можно мотивировать, рассматривая каждую τ как представление класса изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая E над C является комплексным тором и, таким образом, может быть отождествлена ​​с решеткой ранга 2; то есть двумерной решеткой C . Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается 1 и τ ∈ H . Эта решетка соответствует эллиптической кривой (см. эллиптические функции Вейерштрасса ). ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}(\tau )x-g_{3}(\tau )}$

Обратите внимание, что j определено всюду в H, поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет различные корни.

Фундаментальная область

Обычный выбор фундаментальной области (серой) для модулярной группы, действующей на верхней полуплоскости.

Можно показать, что Δ является модулярной формой веса двенадцать, а g ₂ — весом четыре, так что ее третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их частное, а следовательно, и j , является модулярной функцией веса ноль, в частности голоморфной функцией H → C , инвариантной относительно действия SL(2, Z ) . Факторизация по ее центру { ±I } дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL(2, Z ) .

Путем подходящего выбора преобразования, принадлежащего этой группе,

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,}$

мы можем уменьшить τ до значения, дающего то же значение для j и лежащего в фундаментальной области для j , которая состоит из значений для τ, удовлетворяющих условиям

${\displaystyle {\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}}$

Функция j ( τ ) при ограничении этой областью все еще принимает каждое значение в комплексных числах C ровно один раз. Другими словами, для каждого c в C существует уникальное τ в фундаментальной области, такое что c = j ( τ ) . Таким образом, j обладает свойством отображения фундаментальной области на всю комплексную плоскость.

Кроме того, два значения τ,τ' ∈ H создают одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T(τ') для некоторого T ∈ PSL(2, Z ) . Это означает, что j обеспечивает биекцию из множества эллиптических кривых над C в комплексную плоскость. ^[2]

Как риманова поверхность , фундаментальная область имеет род 0 , и каждая ( уровень один ) модулярная функция является рациональной функцией от j ; и, наоборот, каждая рациональная функция от j является модулярной функцией. Другими словами, поле модулярных функций есть C ( j ) .

Теория полей классов идж

j - инвариант обладает многими замечательными свойствами:

• Если τ — любая точка верхней полуплоскости, соответствующая эллиптическая кривая которой имеет комплексное умножение (то есть, если τ — любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью, так что j определено), то j ( τ ) — алгебраическое целое число . ^[3] Эти специальные значения называются сингулярными модулями .
• Расширение поля Q [ j ( τ ), τ ]/ Q ( τ ) является абелевым, то есть имеет абелеву группу Галуа .
• Пусть Λ — решетка в C, порожденная {1, τ }. Легко видеть, что все элементы Q ( τ ) , которые фиксируют Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Другие решетки с образующими {1, τ ′ }, ассоциированные подобным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения j ( τ ′ ) j ( τ ) над Q ( τ ) . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в Q ( τ ) — это кольцо алгебраических целых чисел Q ( τ ) , и значения τ , имеющие его в качестве ассоциированного порядка, приводят к неразветвленным расширениям Q ( τ ) .

Эти классические результаты являются отправной точкой теории комплексного умножения.

Свойства трансцендентности

В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат, что если τ — квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то j ( τ ) — алгебраическое целое число. Кроме того, он доказал, что если τ — алгебраическое число , но не мнимое квадратичное, то j ( τ ) — трансцендентное число.

Функция j имеет множество других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул гипотезу о конкретном результате трансцендентности, который часто называют гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патриса Филлипона в 1990-х годах. Гипотеза Малера (теперь доказанная) заключается в том, что если τ находится в верхней полуплоскости, то e ^{2π iτ} и j ( τ ) никогда не являются одновременно алгебраическими. Сейчас известны более сильные результаты, например, если e ^{2π iτ} является алгебраическим, то следующие три числа алгебраически независимы, и, таким образом, по крайней мере два из них трансцендентны:

${\displaystyle j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }},{\frac {j^{\prime \prime }(\tau )}{\pi ^{2}}}}$

Theд-расширение и самогон

Несколько замечательных свойств j связаны с его q -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана относительно q = e ^{2π iτ} , который начинается так:

${\displaystyle j(\tau )=q^{-1}+744+196884q+21493760q^{2}[phone]q^{3}[phone]q^{4}+\cdots }$

Обратите внимание, что j имеет простой полюс в точке возврата, поэтому его q -разложение не имеет членов ниже q ⁻¹ .

Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, что приводит к нескольким почти целым числам , в частности, константе Рамануджана :

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744}$.

Асимптотическая формула для коэффициента q ⁿ имеет вид

${\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}\,n^{3/4}}}}$,

что можно доказать с помощью метода круга Харди–Литтлвуда . ^{[4] [5]}

Самогон

Что еще более примечательно, коэффициенты Фурье для положительных показателей q являются размерностями градуированной части бесконечномерного представления градуированной алгебры группы монстров , называемой модулем лунного света , в частности, коэффициент q ⁿ является размерностью части степени n модуля лунного света, первым примером является алгебра Грисса , имеющая размерность 196 884, что соответствует члену 196884 q . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории лунного света .

Изучение гипотезы Moonshine привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модулярных функций рода ноль. Если они нормализованы так, чтобы иметь вид

${\displaystyle q^{-1}+{O}(q)}$

затем Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты. ^[6]

Альтернативные выражения

У нас есть

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$

где x = λ (1 − λ ) и λ — модульная лямбда-функция

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(e^{\pi i\tau })}{\theta _{3}^{4}(e^{\pi i\tau })}}=k^{2}(\tau )}$

отношение тета-функций Якоби θ _m , и представляет собой квадрат эллиптического модуля k ( τ ) . ^[7] Значение j не изменяется при замене λ любым из шести значений перекрестного отношения : ^[8]

${\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace }$

Точки ветвления j находятся в {0, 1, ∞} , так что j является функцией Белого . ^[9]

Выражения в терминах тета-функций

Определим ном q = e ^{π iτ} и тета-функцию Якоби ,

${\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$

из которых можно вывести вспомогательные тета-функции, определенные здесь . Пусть,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}$

где ϑ _ij и θ _n — альтернативные обозначения, а a ⁴ − b ⁴ + c ⁴ = 0. Тогда для модулярных инвариантов g ₂ , g ₃ , имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}(\tau )&={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54\left(abc\right)^{8}}{2}}}\\\end{aligned}}}$

и модульный дискриминант,

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}}$

с функцией Дедекинда η ( τ ) . Затем можно быстро вычислить j ( τ ) ,

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}}{\left(abc\right)^{8}}}}$

Алгебраическое определение

До сих пор мы рассматривали j как функцию комплексной переменной. Однако, как инвариант для классов изоморфизма эллиптических кривых, его можно определить чисто алгебраически. ^[10] Пусть

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

быть плоской эллиптической кривой над любым полем . Тогда мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы получить приведенное выше уравнение в стандартной форме y ² = 4 x ³ − g ₂ x − g ₃ (обратите внимание, что это преобразование может быть выполнено только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3). Результирующие коэффициенты:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{2}&=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad &b_{4}&=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}&=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad &b_{8}&=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}&=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad &c_{6}&=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6},\end{aligned}}}$

где g ₂ = c ₄ и g ₃ = c _6. У нас также есть дискриминант

${\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}.}$

j - инвариант для эллиптической кривой теперь можно определить как

${\displaystyle j={\frac {c_{4}^{3}}{\Delta }}}$

В случае, если поле, по которому определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно

${\displaystyle j=1728{\frac {c_{4}^{3}}{c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}.}$

Обратная функция

Обратная функция j -инварианта может быть выражена через гипергеометрическую функцию ₂ F ₁ (см. также статью Уравнение Пикара–Фукса ). Явно, если задано число N , решить уравнение j ( τ ) = N относительно τ можно по крайней мере четырьмя способами.

Метод 1 : Решение секстики относительно λ ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256{\bigl (}1-\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{3}}{{\bigl (}\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{2}}}={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$

где x = λ (1 − λ ) , а λ — это модульная лямбда-функция , поэтому секстика может быть решена как кубическая по x . Тогда,

${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;\lambda \right)}}=i{\frac {\operatorname {M} (1,{\sqrt {1-\lambda }})}{\operatorname {M} (1,{\sqrt {\lambda }})}}}$

для любого из шести значений λ , где M — среднее арифметическое–геометрическое . ^{[примечание 1]}

Метод 2 : Решение четвертой степени относительно γ ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {27\left(1+8\gamma \right)^{3}}{\gamma \left(1-\gamma \right)^{3}}}}$

тогда для любого из четырех корней ,

${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;\gamma \right)}}}$

Метод 3 : Решение кубического уравнения относительно β ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {64\left(1+3\beta \right)^{3}}{\beta \left(1-\beta \right)^{2}}}}$

тогда для любого из трех корней,

${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;\beta \right)}}}$

Метод 4 : Решение квадратного уравнения относительно α ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}}$

затем,

${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;\alpha \right)}}}$

Один корень дает τ , а другой дает − ⁠1/τ⁠ , но поскольку j ( τ ) = j (− ⁠1/τ⁠ ) ​​, не имеет значения, какой α выбран. Последние три метода можно найти втеории Рамануджана эллиптических функций для альтернативных базисов.

Инверсия применяется в высокоточных вычислениях периодов эллиптических функций, даже если их отношения становятся неограниченными. ^{[ требуется ссылка ]} Связанный результат — это выразимость через квадратичные радикалы значений j в точках мнимой оси, величины которых являются степенями 2 (что позволяет строить с помощью циркуля и линейки ). Последний результат вряд ли очевиден, поскольку модульное уравнение для j порядка 2 является кубическим. ^[11]

Формулы числа Пи

Братья Чудновские, основанные в 1987 году, ^[12]

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!\left(k!\right)^{3}\left(-640320\right)^{3k}}}}$

доказательство которого использует тот факт, что

${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640320^{3}.}$

Аналогичные формулы см. в ряду Рамануджана–Сато .

Неспособность классифицировать эллиптические кривые по сравнению с другими полями

-Инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, более общо, алгебраически замкнутым полем . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, чей -инвариант тот же самый, но они неизоморфны. Например, пусть будут эллиптическими кривыми, связанными с полиномами ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-25x\\E_{2}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-4x,\end{aligned}}}$

оба имеют -инвариант . Тогда рациональные точки могут быть вычислены как: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 1728}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}(\mathbb {Q} )=\{\infty ,(2,0),(-2,0),(0,0)\}}$

так как рациональных решений с нет . Это можно показать с помощью формулы Кардано , чтобы показать, что в этом случае все решения для иррациональны. С другой стороны, на множестве точек ${\displaystyle x^{3}-4x=x(x^{2}-4)=x(x-2)(x+2).}$ ${\displaystyle y=a\neq 0}$ ${\displaystyle x^{3}-4x-a^{2}}$

${\displaystyle \{n(-4,6):n\in \mathbb {Z} \}}$

уравнение для становится . Разделив на для исключения решения, квадратная формула дает рациональные решения: ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle 36n^{2}=-64n^{3}+100n}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle (0,0)}$

${\displaystyle n={\frac {-9\pm {\sqrt {81-4\cdot 16\cdot (-25)}}}{2\cdot 16}}={\frac {-9\pm 41}{32}}.}$

Если эти кривые рассматривать над , то существует изоморфизм, отправляющий ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {10}})}$ ${\displaystyle E_{1}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))\cong E_{2}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))}$

${\displaystyle (x,y)\mapsto (\mu ^{2}x,\mu ^{3}y)\ {\text{ where }}\ \mu ={\frac {\sqrt {10}}{2}}.}$

Ссылки

Примечания

1. Равенство выполняется, если арифметико-геометрическое среднее комплексных чисел (таких, что ) определяется следующим образом: Пусть , , , где знаки выбраны так, что для всех . Если , знак выбран так, что . Тогда . Когда являются положительными действительными числами (с ), это определение совпадает с обычным определением арифметико-геометрического среднего для положительных действительных чисел. См. The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss Дэвида А. Кокса . ${\displaystyle \operatorname {M} (a,b)}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a,b\neq 0;a\neq \pm b}$ ${\displaystyle a_{0}=a}$ ${\displaystyle b_{0}=b}$ ${\displaystyle a_{n+1}=(a_{n}+b_{n})/2}$ ${\displaystyle b_{n+1}=\pm {\sqrt {a_{n}b_{n}}}}$ ${\displaystyle |a_{n}-b_{n}|\leq |a_{n}+b_{n}|}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle |a_{n}-b_{n}|=|a_{n}+b_{n}|}$ ${\displaystyle \Im (b_{n}/a_{n})>0}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a\neq b}$

Другой

1. Милн, Стивен С. (2000). «Определители Ганкеля рядов Эйзенштейна». arXiv : math/0009130v3 .В статье используется неэквивалентное определение , но это учтено в данной статье. ${\displaystyle \Delta }$
2. Гарет А. Джонс и Дэвид Сингерман. (1987) Комплексные функции: алгебраическая и геометрическая точка зрения. Cambridge UP. [1]
3. Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 106. Springer-Verlag . стр. 339. ISBN 978-0-387-96203-0. Збл  0585.14026.
4. Петерссон, Ганс (1932). «Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen». Акта Математика . 58 (1): 169–215. дои : 10.1007/BF02547776 . МР  1555346.
5. Радемахер, Ганс (1938). «Коэффициенты Фурье модулярного инварианта j(τ)». American Journal of Mathematics . 60 (2): 501–512. doi :10.2307/2371313. JSTOR  2371313. MR  1507331.
6. Cummins, Chris J. (2004). «Конгруэнтные подгруппы групп, соизмеримых с PSL(2,Z)$ рода 0 и 1». Experimental Mathematics . 13 (3): 361–382. doi :10.1080/10586458.2004.10504547. ISSN  1058-6458. S2CID  10319627. Zbl  1099.11022.
7. Чандрасекхаран (1985) стр.108
8. Чандрасекхаран, К. (1985), Эллиптические функции , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 281, Шпрингер-Верлаг , с. 110, ISBN 978-3-540-15295-8, ЗБЛ  0575.33001
9. Жирондо, Эрнесто; Гонсалес-Диес, Габино (2012), Введение в компактные римановы поверхности и детские рисунки , Лондонское математическое общество, студенческие тексты, т. 79, Кембридж: Cambridge University Press , стр. 267, ISBN 978-0-521-74022-7, ЗБЛ  1253.30001
10. Ланг, Серж (1987). Эллиптические функции . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 112. New-York ect: Springer-Verlag. pp. 299–300. ISBN 978-1-4612-9142-8. Збл  0615.14018.
11. Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности (первое издание). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.Теорема 4.8
12. Чудновский, Дэвид В. ; Чудновский, Грегори В. (1989), «Вычисление классических констант», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 86 (21): 8178–8182, Bibcode : 1989PNAS...86.8178C, doi : 10.1073/pnas.86.21.8178 , ISSN  0027-8424, JSTOR  34831, PMC 298242 , PMID  16594075 .

• Апостол, Том М. (1976), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Graduate Texts in Mathematics, т. 41, Нью-Йорк: Springer-Verlag, MR  0422157. Содержит очень читабельное введение и различные интересные личности.
  • Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Graduate Texts in Mathematics, т. 41 (2-е изд.), doi :10.1007/978-1-4612-0999-7, ISBN 978-0-387-97127-8, МР  1027834
• Берндт, Брюс К.; Чан, Хенг Хуат (1999), «Рамануджан и модулярный j-инвариант», Канадский математический вестник , 42 (4): 427–440, doi : 10.4153/CMB-1999-050-1 , MR  1727340. Предоставляет множество интересных алгебраических тождеств, включая обратное как гипергеометрический ряд.
• Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа вида x^2 + ny^2: Ферма, теория полей классов и комплексное умножение , Нью-Йорк: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc., MR  1028322Вводит j-инвариант и обсуждает связанную с ним теорию полей классов.
• Конвей, Джон Хортон ; Нортон, Саймон (1979), «Чудовищный лунный свет», Бюллетень Лондонского математического общества , 11 (3): 308–339, doi :10.1112/blms/11.3.308, MR  0554399. Включает список 175 модульных функций рода ноль.
• Рэнкин, Роберт А. (1977), Модульные формы и функции , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-21212-0, МР  0498390. Содержит краткий обзор в контексте модульных форм.
• Шнайдер, Теодор (1937), "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale", Math. Аннален , 113 : 1–13, doi : 10.1007/BF01571618, MR  1513075, S2CID  121073687.