Лоран серии

Степенной ряд с отрицательными степенями

Ряд Лорана определяется относительно конкретной точки и пути интегрирования γ. Путь интегрирования должен лежать в кольце, обозначенном здесь красным цветом, внутри которого голоморфно ( аналитически ) . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(z)}$

В математике ряд Лорана сложной функции представляет собой представление этой функции в виде степенного ряда , включающего члены отрицательной степени. Его можно использовать для выражения сложных функций в тех случаях, когда невозможно применить разложение в ряд Тейлора . Серия Лорана была названа в честь Пьера Альфонса Лорана и впервые опубликована в 1843 году. Карл Вейерштрасс, возможно, впервые обнаружил ее в статье, написанной в 1841 году, но она была опубликована только после его смерти. ^[1] ${\displaystyle f(z)}$

Определение

Ряд Лорана для комплексной функции относительно точки имеет вид ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n},}$$

контурным интеграломинтегральную формулу Коши ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a_{n}}$

$${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-c)^{n+1}}}\,dz.}$$

Путь интегрирования идет против часовой стрелки вокруг жордановой кривой, охватывающей и лежащей в кольце , в котором оно голоморфно (аналитично). Тогда расширение для будет действительным в любом месте внутри кольцевого пространства. Кольцевое пространство показано красным на рисунке справа вместе с примером подходящего пути интегрирования, обозначенным . Если мы возьмем круг , где , это просто вычисление комплексных коэффициентов Фурье ограничения на . Тот факт, что эти интегралы не изменяются при деформации контура, является непосредственным следствием теоремы Грина . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle |z-c|=\varrho }$ ${\displaystyle r<\varrho <R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Можно также получить ряд Лорана для комплексной функции при . Однако это то же самое, что и когда (см. пример ниже). ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z=\infty }$ ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$

На практике приведенная выше интегральная формула может не предлагать наиболее практичный метод вычисления коэффициентов для данной функции ; вместо этого ряд Лорана часто объединяют, комбинируя известные разложения Тейлора. Поскольку разложение Лорана функции уникально , когда бы оно ни существовало, любое выражение этой формы, которое равняется данной функции в некотором кольце, на самом деле должно быть разложением Лорана . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$

Сходящийся ряд Лорана

e ^{−1/ x 2} и аппроксимации Лорана: ключевые слова см. в тексте. По мере возрастания отрицательной степени ряда Лорана он приближается к правильной функции.

e ^{−1/ x 2} и его лорановские аппроксимации с отрицательным повышением степени. Окрестность нулевой особенности никогда не может быть аппроксимирована.

Ряды Лорана с комплексными коэффициентами — важный инструмент комплексного анализа , особенно для исследования поведения функций вблизи особенностей .

Рассмотрим, например, функцию с . Как действительная функция, она всюду бесконечно дифференцируема; как сложная функция, однако она не дифференцируема в . Заменив на в степенном ряду показательной функции , получим ее ряд Лорана, который сходится и равен для всех комплексных чисел , кроме особой точки . На графике напротив черным цветом показаны его лорановские аппроксимации. ${\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -1/x^{2}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle e^{-1/x^{2}}}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}\,{x^{-2n} \over n!}}$$

123456750 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$

В более общем смысле, ряды Лорана можно использовать для выражения голоморфных функций , определенных на кольце , так же, как степенные ряды используются для выражения голоморфных функций, определенных на диске .

Предполагать

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$$

уникальные ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

• Ряд Лорана сходится в открытом кольце . Говоря, что ряд Лорана сходится, мы имеем в виду, что сходятся как степенные ряды положительной степени, так и степенные ряды отрицательной степени. При этом эта сходимость будет равномерной на компактах . Наконец, сходящийся ряд определяет голоморфную функцию на открытом кольце. ${\displaystyle A=\{z:r<|z-c|<R\}}$ ${\displaystyle f(z)}$
• За пределами кольца ряд Лорана расходится. То есть в каждой точке внешности степенной ряд положительной степени или степенной ряд отрицательной степени расходится. ${\displaystyle A}$
• О границе кольца нельзя сделать общего утверждения, кроме как сказать, что существует по крайней мере одна точка на внутренней границе и одна точка на внешней границе, такие, которые не могут быть голоморфно продолжены в эти точки. ${\displaystyle f(z)}$

Возможно, что оно может быть нулевым или бесконечным; с другой стороны, не обязательно верно, что оно меньше . Эти радиусы можно вычислить следующим образом: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\limsup _{n\to \infty }|a_{-n}|^{\frac {1}{n}},\\{1 \over R}&=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}.\end{aligned}}}$$

Мы считаем бесконечным, когда этот последний lim sup равен нулю. ${\displaystyle R}$

И наоборот, если мы начнем с кольца вида и голоморфной функции, определенной на , то всегда существует единственный ряд Лорана с центром , который сходится (по крайней мере) на и представляет функцию . ${\displaystyle A=\{z:r<|z-c|<R\}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(z)}$

В качестве примера рассмотрим следующую рациональную функцию вместе с ее разложением в частные дроби :

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-1)(z-2i)}}={\frac {1+2i}{5}}\left({\frac {1}{z-1}}-{\frac {1}{z-2i}}\right).}$$

Эта функция имеет особенности при и , где знаменатель выражения равен нулю, и поэтому выражение не определено. Ряд Тейлора по ( который дает степенной ряд) сходится только в круге радиуса 1, поскольку он «попадает» в особенность в точке 1. ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle z=2i}$ ${\displaystyle z=0}$

Однако существует три возможных разложения Лорана около 0, в зависимости от радиуса : ${\displaystyle z}$

• Одна серия определена на внутреннем диске, где | г | < 1 ; это то же самое, что ряд Тейлора,
  $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{(2i)^{n+1}}}-1\right)z^{n}.}$$
  Это следует из дробной формы функции вместе с формулой суммы геометрической прогрессии ,
  $${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}=-{\frac {1}{a}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\tfrac {z}{a}}\right)^{n}}$$
  для . ${\displaystyle |z|<|a|}$
• Вторая серия определяется в среднем кольце, где находится между двумя особенностями: ${\displaystyle 1<z<2}$
  $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }z^{-n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i)^{n+1}}}z^{n}\right).}$$
  Здесь мы используем альтернативную форму суммирования геометрических рядов:
  $${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {a}{z}}\right)^{n}}$$
  для . ${\displaystyle |z|>|a|}$
• Третья серия определена на бесконечном внешнем кольце, где , (что также является разложением Лорана при ) ${\displaystyle 2<z<\infty }$ ${\displaystyle z=\infty }$
  $${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-(2i)^{n-1}\right)z^{-n}.}$$
  Этот ряд может быть получен с использованием геометрического ряда, как и раньше, или путем выполнения многочленного деления 1 на , не останавливаясь на остатке, а продолжая слагаемые; действительно, «внешний» ряд Лорана рациональной функции аналогичен десятичной форме дроби. (Разложение «внутреннего» ряда Тейлора можно получить аналогичным образом, просто изменив порядок членов в алгоритме деления на противоположный.) ${\displaystyle (x-1)(x-2i)}$ ${\displaystyle x^{-n}}$

Дело ; т. е. особенно важна голоморфная функция , которая может быть неопределенной в одной точке . Коэффициент разложения Лорана такой функции называется вычетом в особенности ; он играет важную роль в теореме о вычетах . В качестве примера рассмотрим ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a_{-1}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle f(z)={e^{z} \over z}+e^{{1}/{z}}.}$$

Эта функция голоморфна всюду, кроме точки . ${\displaystyle z=0}$

Для определения разложения Лорана о воспользуемся нашими знаниями о ряде Тейлора показательной функции : ${\displaystyle c=0}$

$${\displaystyle f(z)=\cdots +\left({1 \over 3!}\right)z^{-3}+\left({1 \over 2!}\right)z^{-2}+2z^{-1}+2+\left({1 \over 2!}\right)z+\left({1 \over 3!}\right)z^{2}+\left({1 \over 4!}\right)z^{3}+\cdots .}$$

Находим, что остаток равен 2.

Один пример для расширения : ${\displaystyle z=\infty }$

$${\displaystyle f(z)={\sqrt {1+z^{2}}}-z=z\left({\sqrt {1+{\frac {1}{z^{2}}}}}-1\right)=z\left({\frac {1}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8z^{4}}}+{\frac {1}{16z^{6}}}-\cdots \right)={\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{8z^{3}}}+{\frac {1}{16z^{5}}}-\cdots .}$$

Уникальность

Предположим, что функция , голоморфная на кольце, имеет два ряда Лорана: ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle r<|z-c|<R}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n}.}$$

Умножим обе части на , где k — произвольное целое число, и проинтегрируем по пути γ внутри кольца: ${\displaystyle (z-c)^{-k-1}}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz=\oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz.}$$

Ряд сходится равномерно по , где ε — положительное число, достаточно малое для того, чтобы γ содержалось в суженном замкнутом кольце, поэтому интегрирование и суммирование можно поменять местами. Подмена личности ${\displaystyle r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon }$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }\,(z-c)^{n-k-1}\,dz=2\pi i\delta _{nk}}$$

$${\displaystyle a_{k}=b_{k}.}$$

Следовательно, ряд Лорана уникален.

Полиномы Лорана

Полином Лорана — это ряд Лорана, в котором лишь конечное число коэффициентов отличны от нуля. Полиномы Лорана отличаются от обычных многочленов тем, что могут иметь члены отрицательной степени.

Основная часть

Главной частью ряда Лорана является ряд слагаемых отрицательной степени, т. е.

$${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{-1}a_{k}(z-c)^{k}.}$$

Если главная часть является конечной суммой, то имеет полюс at порядка, равного (отрицательной) степени старшего члена; с другой стороны, если имеет существенную особенность в , главная часть представляет собой бесконечную сумму (то есть имеет бесконечно много ненулевых членов). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Если внутренний радиус сходимости ряда Лорана равен 0, то он имеет существенную особенность тогда и только тогда, когда главная часть представляет собой бесконечную сумму, и имеет полюс в противном случае. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Если внутренний радиус сходимости положителен, он может иметь бесконечно много отрицательных членов, но при этом быть регулярным при , как в примере выше, и в этом случае он представлен другим рядом Лорана в круге около  . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Ряды Лорана только с конечным числом отрицательных членов хорошо себя ведут — они представляют собой степенные ряды, разделенные на и могут анализироваться аналогичным образом — в то время как ряды Лорана с бесконечным количеством отрицательных членов имеют сложное поведение на внутреннем круге сходимости. ${\displaystyle z^{k}}$

Умножение и сумма

Ряды Лорана, вообще говоря, не умножаются. С алгебраической точки зрения выражение для членов произведения может включать бесконечные суммы, которые не обязательно должны сходиться (нельзя выполнять свертку целочисленных последовательностей). Геометрически два ряда Лорана могут иметь непересекающиеся кольца сходимости.

Два ряда Лорана с конечным числом отрицательных членов можно умножить: алгебраически все суммы конечны; геометрически они имеют полюса и внутренний радиус сходимости 0, поэтому они оба сходятся в перекрывающемся кольце. ${\displaystyle c}$

Таким образом, при определении формальных рядов Лорана требуются ряды Лорана только с конечным числом отрицательных членов.

Точно так же сумма двух сходящихся рядов Лорана не обязательно должна сходиться, хотя она всегда определена формально, но сумма двух ограниченных снизу рядов Лорана (или любого ряда Лорана на проколотом диске) имеет непустое кольцо сходимости.

Кроме того, для поля посредством суммы и умножения, определенных выше, формальный ряд Лорана образует поле , которое также является полем частных кольца формальных степенных рядов . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F((x))}$ ${\displaystyle F[[x]]}$

Смотрите также

• Серия Пюизо
• Теорема Миттаг-Леффлера
• Формальный ряд Лорана  - ряд Лорана, рассматриваемый формально , с коэффициентами из произвольного коммутативного кольца , без учета сходимости и только с конечным числом отрицательных членов, так что умножение всегда определено.
• Z-преобразование  - особый случай, когда ряд Лорана принимается около нуля, широко используется в анализе временных рядов.
• Ряд Фурье  – замена преобразует ряд Лорана в ряд Фурье или наоборот. Это используется в разложении j -инварианта в ряд q . ${\displaystyle z=e^{\pi iw}}$
• Аппроксимант Паде  - еще один метод, используемый, когда ряд Тейлора нежизнеспособен.

Рекомендации

1. Родригес, Руби; Кра, Ирвин; Гилман, Джейн П. (2012), Комплексный анализ: в духе Липмана Берса, Тексты для выпускников по математике, том. 245, Спрингер, с. 12, ISBN 9781441973238.

Внешние ссылки

• «Ряды Лорана», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Ряды Лорана», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Вайсштейн, Эрик В. «Серия Лорана». Математический мир .
• Лоран Сери и Мандельброт в постановке Роберта Мунафо