Теорема Стокса

Теорема векторного исчисления

Иллюстрация теоремы Стокса с поверхностью Σ , ее границей ∂Σ и вектором нормали n .

Теорема Стокса , ^[1] также известная как теорема Кельвина-Стокса ^{[2] [3]} в честь лорда Кельвина и Джорджа Стокса , фундаментальная теорема для роторов или просто теорема о роторе , ^[4] является теоремой в векторном исчислении на . Для векторного поля теорема связывает интеграл ротора векторного поля по некоторой поверхности с линейным интегралом векторного поля вокруг границы поверхности. Классическую теорему Стокса можно сформулировать в одном предложении: линейный интеграл векторного поля по петле равен поверхностному интегралу от его ротора по замкнутой поверхности. Это показано на рисунке, где направление положительной циркуляции ограничивающего контура ∂Σ и направление n положительного потока через поверхность Σ связаны правилом правой руки. На правой руке пальцы движутся вдоль ∂Σ , а большой палец направлен вдоль n . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Теорема Стокса является частным случаем обобщенной теоремы Стокса . ^{[5] [6]} В частности, векторное поле на можно рассматривать как 1-форму, и в этом случае его ротор является его внешней производной , 2-формой. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Теорема

Пусть – гладкая ориентированная поверхность с краем . Если векторное поле определено и имеет непрерывные частные производные первого порядка в области, содержащей , то ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \partial \Sigma \equiv \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))}$ ${\displaystyle \Sigma }$

$${\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } .}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

Основная проблема точной формулировки теоремы Стокса заключается в определении понятия границы. Хорошо известно , что такие поверхности, как снежинка Коха , например, не имеют интегрируемой по Риману границы, а понятие поверхностной меры в теории Лебега не может быть определено для нелипшицевой поверхности . Один (продвинутый) метод состоит в том, чтобы перейти к слабой формулировке и затем применить аппарат геометрической теории меры ; для этого подхода см. формулу coarea . Вместо этого в этой статье мы используем более элементарное определение, основанное на том факте, что границу можно различить для полномерных подмножеств . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Более подробное заявление будет дано для последующих обсуждений. Пусть – кусочно -гладкая плоская жорданова кривая . Теорема Жордана о кривой подразумевает, что она делится на две компоненты: компактную и некомпактную. Пусть обозначает компактную часть; тогда ограничено . Теперь достаточно перенести это понятие границы по непрерывному отображению на нашу поверхность в . Но такая карта у нас уже есть : параметризация . ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Предположим , кусочно гладко в окрестности , с . ^{[примечание 1]} Если пространственная кривая определяется ^{[примечанием 2],} то мы называем границу , записанную . ${\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Sigma =\psi (D)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$

С учетом приведенных выше обозначений, если – любое гладкое векторное поле на , то ^{[7] [8]} ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } .}$$

Здесь « » представляет собой скалярное произведение в . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Доказательство

Доказательство теоремы состоит из 4 шагов. Мы предполагаем теорему Грина , поэтому нас интересует, как свести трехмерную сложную задачу (теорему Стокса) к двумерной элементарной задаче (теорема Грина). ^[9] При доказательстве этой теоремы математики обычно выводят ее как частный случай более общего результата , который формулируется в терминах дифференциальных форм и доказывается с использованием более сложной техники. Несмотря на свою мощь, эти методы требуют существенного опыта, поэтому приведенное ниже доказательство их избегает и не предполагает каких-либо знаний, кроме знакомства с основами векторного исчисления и линейной алгебры. ^[8] В конце этого раздела дается короткое альтернативное доказательство теоремы Стокса как следствие обобщенной теоремы Стокса.

Элементарное доказательство

Первый шаг элементарного доказательства (параметризация интеграла)

Как и в § Теоремы, мы уменьшаем размерность, используя естественную параметризацию поверхности. Пусть ψ и γ такие же, как в этом разделе, и обратите внимание, что путем замены переменных

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } ))\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } )}=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\,\mathrm {d} \gamma }}$$

J _y ψматрицу Якобивy знак равно γ ( t )

Пусть теперь { e _u , e _v } — ортонормированный базис в координатных направлениях R ² . ^{[заметка 3]}

Признавая, что столбцы J _y ψ являются в точности частными производными ψ в точке y , мы можем разложить предыдущее уравнение в координатах как

$${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }&=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{u}(\mathbf {e} _{u}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )+\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{v}(\mathbf {e} _{v}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )}\\&=\oint _{\gamma }{\left(\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{v}\right)\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} }\end{aligned}}}$$

Второй шаг элементарного доказательства (определение обратного пути)

Предыдущий шаг предполагает, что мы определим функцию

$${\displaystyle \mathbf {P} (u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{v}}$$

Теперь, если функции скалярного значения и определены следующим образом: ${\displaystyle P_{u}}$ ${\displaystyle P_{v}}$

$${\displaystyle {P_{u}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)}$$

$${\displaystyle {P_{v}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)}$$

$${\displaystyle \mathbf {P} (u,v)={P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v}.}$$

Это возврат F вдоль ψ , и, согласно вышесказанному, он удовлетворяет условию

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {P} (\mathbf {y} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }}$$

Мы успешно свели одну часть теоремы Стокса к двумерной формуле; теперь мы обратимся к другой стороне.

Третий шаг элементарного доказательства (второе уравнение)

Сначала вычислите частные производные, фигурирующие в теореме Грина , с помощью правила произведения :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial v\,\partial u}}\\[5pt]{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial u\,\partial v}}\end{aligned}}}$$

Удобно, что второй член исчезает в разнице из-за равенства смешанных частиц . Итак, ^{[примечание 4]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}-{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}&&{\text{(chain rule)}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot \left(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\end{aligned}}}$$

Но теперь рассмотрим матрицу в этой квадратичной форме, то есть . Мы утверждаем, что эта матрица фактически описывает векторное произведение. Здесь верхний индекс « » представляет транспозицию матриц . ${\displaystyle J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

Точнее, пусть – произвольная матрица размера 3 × 3 и пусть ${\displaystyle A=(A_{ij})_{ij}}$

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}}}$$

Обратите внимание, что x ↦ a × x линейно, поэтому определяется его действием на базисные элементы. Но по прямому расчету

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{1}&={\begin{bmatrix}0\\a_{3}\\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\\0\\a_{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{2}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$$

{ e ₁ , e ₂ , e ₃ }^{[примечание 5]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Таким образом ( А - А ^Т ) Икс знак равно а × Икс для любого Икс .

Подставив A , получим ${\displaystyle {(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}}$

$${\displaystyle \left({(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}-{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$$

Теперь мы можем распознать разницу частичных чисел как (скалярное) тройное произведение :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\end{aligned}}}$$

С другой стороны, в определение поверхностного интеграла входит и тройное произведение — то самое!

$${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,d\mathbf {\Sigma } &=\iint _{D}{(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}\end{aligned}}}$$

Итак, мы получаем

$${\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$$

Четвертый шаг элементарного доказательства (сведение к теореме Грина)

Объединение второго и третьего шагов с последующим применением теоремы Грина завершает доказательство. Теорема Грина утверждает следующее: для любой области D, ограниченной жордановой замкнутой кривой γ и двумя скалярными гладкими функциями, определенными на D; ${\displaystyle P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$$

Мы можем подставить вывод ШАГА 2 в левую часть приведенной выше теоремы Грина, а вывод ШАГА 3 — в правую часть. КЭД

Доказательство через дифференциальные формы

Функции можно отождествить с дифференциальными 1-формами с помощью отображения ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle F_{x}\mathbf {e} _{1}+F_{y}\mathbf {e} _{2}+F_{z}\mathbf {e} _{3}\mapsto F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z.}$$

Запишите дифференциальную 1-форму, ассоциированную с функцией F , как ω _F . Тогда можно это вычислить

$${\displaystyle \star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }=\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}$$

где ★ — звезда Ходжа , а — внешняя производная . Таким образом, по обобщенной теореме Стокса ^[10] ${\displaystyle \mathrm {d} }$

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\gamma } }=\oint _{\partial \Sigma }{\omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }}=\iint _{\Sigma }{\nabla \times \mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }}$$

Приложения

Безвихревые поля

В этом разделе мы обсудим безвихревое поле ( ламеллярное векторное поле ), основанное на теореме Стокса.

Определение 2-1 (безвихревое поле). Гладкое векторное поле F на открытом пространстве является безвихревым ( пластинчатым векторным полем ), если ∇ × F = 0 . ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

Это понятие очень фундаментально в механике; как мы докажем позже, если F безвихревое и область определения F односвязна , то F является консервативным векторным полем .

Теоремы Гельмгольца

В этом разделе мы представим теорему, выведенную из теоремы Стокса и характеризующую безвихревые векторные поля. В гидродинамике это называется теоремами Гельмгольца .

Теорема 2-1 (теорема Гельмгольца в гидродинамике). ^{[5] [3] : 142} Пусть — открытое подмножество с ламеллярным векторным полем F и пусть c ₀ , c ₁ : [0, 1] → U — кусочно-гладкие петли. Если существует функция H : [0, 1] × [0, 1] → U такая, что ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

• [TLH0] H кусочно-гладкая,
• [TLH1] H ( t , 0) = c ₀ ( t ) для всех t ∈ [0, 1] ,
• [TLH2] H ( t , 1) = c ₁ ( t ) для всех t ∈ [0, 1] ,
• [TLH3] H (0, s ) = H (1, s ) для всех s ∈ [0, 1] .

Затем,

$${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{1}}$$

Некоторые учебники, такие как Лоуренс ^[5] , называют связь между c ₀ и c ₁ , установленную в теореме 2-1, «гомотопной», а функцию H : [0, 1] × [0, 1] → U как «гомотопию между c ₀ и с ₁ ". Однако «гомотопический» или «гомотопический» в указанном выше смысле отличаются (сильнее) от типичных определений «гомотопного» или «гомотопического»; последний опускает условие [TLH3]. Поэтому в дальнейшем мы будем называть гомотопию (гомотопию) в смысле теоремы 2-1 трубчатой ​​гомотопией (соответственно трубчато-гомотопической) . ^{[примечание 6]}

Доказательство теорем Гельмгольца

Определения γ ₁ , ..., γ ₄

Далее мы злоупотребляем обозначениями и используем « » для объединения путей в фундаментальном группоиде и « » для изменения ориентации пути. ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \ominus }$

Пусть D = [0, 1] × [0, 1] и разобьем ∂ D на четыре отрезка γ _j .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)=(t,0)\\\gamma _{2}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s)\\\gamma _{3}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1)\\\gamma _{4}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{4}(s)=(0,1-s)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \partial D=\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4}}$$

По нашему предположению, что c ₀ и c ₁ кусочно гладкие гомотопы, существует кусочно гладкая гомотопия H : D → M

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t)&=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)\end{aligned}}}$$

Пусть S — образ D под H. Что

$${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

следует непосредственно из теоремы Стокса. F пластинчатый, поэтому левая часть обращается в нуль, т.е.

$${\displaystyle 0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

Поскольку H является трубчатым (удовлетворяющим [TLH3]), и . Таким образом, линейные интегралы по Γ ₂ ( s ) и Γ ₄ ( s ) сокращаются, оставляя ${\displaystyle \Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}}$ ${\displaystyle \Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}}$

$${\displaystyle 0=\oint _{\Gamma _{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }$$

С другой стороны, c ₁ = Γ ₁ , , так что желаемое равенство следует почти сразу. ${\displaystyle c_{3}=\ominus \Gamma _{3}}$

Консервативные силы

Вышеприведенная теорема Гельмгольца дает объяснение, почему работа, совершаемая консервативной силой по изменению положения объекта, не зависит от пути. Сначала мы введем лемму 2–2, которая является следствием и частным случаем теоремы Гельмгольца.

Лемма 2-2. ^{[5] [6]} Пусть — открытое подмножество с ламеллярным векторным полем F и кусочно-гладкой петлей c ₀ : [0, 1] → U . Зафиксируем точку p ∈ U , если существует гомотопия H : [0, 1] × [0, 1] → U такая, что ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

• [SC0] H кусочно -гладкая ,
• [SC1] H ( t , 0) = c ₀ ( t ) для всех t ∈ [0, 1] ,
• [SC2] H ( t , 1) = p для всех t ∈ [0, 1] ,
• [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p для всех s ∈ [0, 1] .

Затем,

$${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0}$$

Приведенная выше лемма 2–2 следует из теоремы 2–1. В лемме 2-2 решающее значение имеет существование H , удовлетворяющего [SC0] - [SC3]; вопрос в том, можно ли взять такую ​​гомотопию для произвольных петель. Если U односвязен, то такой H существует. Определение односвязного пространства следующее:

Определение 2-2 (односвязное пространство). ^{[5] [6]} Пусть непустой и линейно связный . M называется односвязным тогда и только тогда, когда для любой непрерывной петли c : [0, 1] → M существует непрерывная трубчатая гомотопия H : [0, 1] × [0, 1] → M из c в неподвижную точку. п € с ; то есть, ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

• [SC0' ] H непрерывен ,
• [SC1] H ( t , 0) = c ( t ) для всех t ∈ [0, 1] ,
• [SC2] H ( t , 1) = p для всех t ∈ [0, 1] ,
• [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p для всех s ∈ [0, 1] .

Утверждение о том, что «для консервативной силы работа, совершаемая по изменению положения объекта, не зависит от пути», может показаться очевидным, если М просто связно. Однако напомним, что простая связность гарантирует только существование непрерывной гомотопии, удовлетворяющей [SC1-3]; вместо этого мы ищем кусочно-гладкую гомотопию, удовлетворяющую этим условиям.

К счастью, пробел в регулярности устраняется аппроксимационной теоремой Уитни. ^{[6] : 136, 421  [11]} Другими словами, возможность найти непрерывную гомотопию, но не иметь возможности интегрировать по ней, фактически устраняется в пользу высшей математики. Таким образом, мы получаем следующую теорему.

Теорема 2-2. ^[5] [ ^6] Пусть открыто и односвязно с безвихревым векторным полем F . Для всех кусочно гладких петель c : [0, 1] → U ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0}$$

Уравнения Максвелла

В физике электромагнетизма теорема Стокса дает обоснование эквивалентности дифференциальной формы уравнения Максвелла-Фарадея и уравнения Максвелла-Ампера и интегральной формы этих уравнений. Для закона Фарадея к электрическому полю применяется теорема Стокса : ${\displaystyle \mathbf {E} }$

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

Для закона Ампера к магнитному полю применяется теорема Стокса : ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

Примечания

1. представляет набор изображений by ${\displaystyle \Sigma =\psi (D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \psi }$
2. может не быть жордановой кривой, если цикл плохо взаимодействует с . Тем не менее, это всегда петля и топологически связная сумма счетного числа жордановых кривых, так что интегралы корректно определены. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Gamma }$
3. В этой статье
   $${\displaystyle \mathbf {e} _{u}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{v}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$$
   Обратите внимание, что в некоторых учебниках по векторному анализу им присвоены разные вещи. Например, в обозначениях некоторых учебников { e _u , e _v } может означать следующие { t _u , t _v } соответственно. Однако в данной статье это две совершенно разные вещи.
   $${\displaystyle \mathbf {t} _{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\,,\mathbf {t} _{v}={\frac {1}{h_{v}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}.}$$
   Здесь,
   $${\displaystyle h_{u}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right\|,h_{v}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right\|,}$$
   а " " представляет собой евклидову норму . ${\displaystyle \|\cdot \|}$
4. Для всех , для всех квадратная матрица и , следовательно . ${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A;n\times n}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {b}}\cdot A^{\mathsf {T}}{\textbf {a}}}$
5. В этой статье
   $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}.}$$
   Обратите внимание, что в некоторых учебниках по векторному анализу им присвоены разные вещи.
6. Существуют учебники, в которых используются термины «гомотопия» и «гомотопия» в смысле теоремы 2-1. ^[5] Действительно, это очень удобно для конкретной проблемы консервативных сил. Однако оба варианта использования гомотопии встречаются достаточно часто, поэтому для устранения неоднозначности необходима определенная терминология, и принятый здесь термин «трубчатая гомотопия» достаточно хорошо подходит для этой цели.

Рекомендации

1. Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление - Ранние трансценденталии (7-е изд.). Брукс/Коул Сенгедж Обучение. п. 1122. ИСБН 978-0-538-49790-9.
2. Нагайоши Ивахори и др.: "Bi-Bun-Seki-Bun-Gaku" Sho-Ka-Bou (jp) 1983/12 ISBN 978-4-7853-1039-4 [1] (написано на японском языке) 
3. Atsuo Fujimoto; «Vector-Kai-Seki Gendai su-gaku rekucha zu. C (1)» Bai-Fu-Kan (jp) (1979/01) ISBN 978-4563004415 [2] (написано на японском языке) 
4. Гриффитс, Дэвид (2013). Введение в электродинамику . Пирсон. п. 34. ISBN 978-0-321-85656-2.
5. Конлон, Лоуренс (2008). Дифференцируемые многообразия. Современная классика Биркгаузера. Бостон: Биркхойзер.
6. Ли, Джон М. (2002). Введение в гладкие многообразия. Тексты для аспирантов по математике. Том. 218. Спрингер.
7. Стюарт, Джеймс (2010). Эссенциальное исчисление: ранние трансценденталии. Коул.
8. Роберт Шейхл, конспекты лекций по курсу математики Университета Бата [3]
9. Колли, Сьюзан Джейн (2002). Векторное исчисление (4-е изд.). Бостон: Пирсон. стр. 500–3.
10. Эдвардс, Гарольд М. (1994). Продвинутое исчисление: подход дифференциальных форм . Биркхойзер. ISBN 0-8176-3707-9.
11. Л. С. Понтрягин, Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий, Переводы Американского математического общества, Сер. 2, Том. 11, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 1959, стр. 1–114. МР 0115178 (22 №5980 [4]). См. теоремы 7 и 8.