В линейной алгебре транспонирование матрицы — это оператор , который переворачивает матрицу по ее диагонали; то есть он меняет индексы строк и столбцов матрицы A , создавая другую матрицу, часто обозначаемую AT (среди других обозначений). [1]
Транспонирование матрицы было предложено в 1858 году британским математиком Артуром Кэли . [2] В случае логической матрицы , представляющей бинарное отношение R, транспонирование соответствует обратному отношению R T .
Транспонирование матрицы A , обозначенной AT , [3] ⊤ A , A ⊤ , , [4] [5] A′ , [6] A tr , t A или A t , может быть построено с помощью любого из следующие методы:
Формально i -я строка j -го элемента столбца AT является j -й строкой i - го элемента столбца A :
Если A — матрица размера m × n , то AT — матрица размера n × m .
В случае квадратных матриц AT может также обозначать Т- ю степень матрицы A. Во избежание возможной путаницы многие авторы используют левые прописные буквы, т. е. обозначают транспонирование как T A . Преимущество этого обозначения состоит в том, что при использовании показателей степени скобки не требуются: поскольку ( TA ) n = T ( An ) , обозначение T A n не является двусмысленным.
В этой статье этой путаницы можно избежать, никогда не используя символ T в качестве имени переменной .
Квадратная матрица, транспонирование которой равно самой себе, называется симметричной матрицей ; то есть A симметричен, если
Квадратная матрица, транспонирование которой равно ее отрицательному значению, называется кососимметричной матрицей ; то есть A кососимметричен, если
Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно матрице, в которой каждая запись заменена ее комплексно-сопряженным (обозначено здесь подчеркиванием), называется эрмитовой матрицей (что эквивалентно матрице, равной ее сопряженному транспонированию ); то есть A эрмитово, если
Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно отрицанию ее комплексно-сопряженной матрицы, называется косоэрмитовой матрицей ; то есть A является косоэрмитовым, если
Квадратная матрица, транспонирование которой равно обратной, называется ортогональной матрицей ; то есть A ортогонально, если
Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно сопряженной обратной, называется унитарной матрицей ; то есть A унитарно, если
Пусть A и B — матрицы, а c — скаляр .
Если A — матрица размера m × n , а AT — ее транспонирование, то результат умножения матриц на эти две матрицы дает две квадратные матрицы: AA T — это m × m , а AT A — это n × n . Кроме того, эти произведения представляют собой симметричные матрицы . Действительно, матричное произведение AA T имеет элементы, которые являются скалярным произведением строки A на столбец AT . Но столбцы AT являются строками A , поэтому запись соответствует скалярному продукту двух строк A. Если p i j — это запись продукта, он получается из строк i и j в A . Запись p j i также получается из этих строк, таким образом p i j = p j i , а матрица произведения ( p i j ) симметрична. Аналогично, произведение A T A является симметричной матрицей.
Быстрое доказательство симметрии AA T следует из того факта, что это собственное транспонирование:
На компьютере часто можно избежать явного транспонирования матрицы в памяти , просто обращаясь к тем же данным в другом порядке. Например, библиотеки программного обеспечения для линейной алгебры , такие как BLAS , обычно предоставляют опции, позволяющие указать, что определенные матрицы должны интерпретироваться в транспонированном порядке, чтобы избежать необходимости перемещения данных.
Однако остается ряд обстоятельств, при которых необходимо или желательно физически переупорядочить матрицу в памяти к ее транспонированному порядку. Например, если матрица хранится в порядке следования строк , строки матрицы являются смежными в памяти, а столбцы — несмежными. Если над столбцами необходимо выполнить повторяющиеся операции, например, в алгоритме быстрого преобразования Фурье , транспонирование матрицы в памяти (чтобы сделать столбцы смежными) может повысить производительность за счет увеличения локальности памяти .
В идеале можно было бы надеяться транспонировать матрицу с минимальным дополнительным объемом памяти. Это приводит к проблеме транспонирования матрицы размера n × m на месте с дополнительным объемом памяти O(1) или, самое большее, объемом памяти, намного меньшим, чем mn . Для n ≠ m это включает в себя сложную перестановку элементов данных, которую нетривиально реализовать на месте. Поэтому эффективное транспонирование матриц на месте стало предметом многочисленных исследовательских публикаций в области информатики , начиная с конца 1950-х годов, и было разработано несколько алгоритмов.
Поскольку основное использование матриц заключается в представлении линейных карт между конечномерными векторными пространствами , транспонирование — это операция над матрицами, которую можно рассматривать как представление некоторой операции на линейных картах.
Это приводит к гораздо более общему определению транспонирования, которое работает с любой линейной картой, даже если линейные карты не могут быть представлены матрицами (например, в случае бесконечномерных векторных пространств). В конечномерном случае матрица, представляющая транспонирование линейного отображения, является транспонированием матрицы, представляющей линейное отображение, независимо от выбора базиса .
Обозначим через X # алгебраическое сопряженное пространство к R - модулю X. Пусть X и Y — R -модули. Если u : X → Y — линейное отображение , то его алгебраически сопряженное или двойственное отображение [8] — это отображение u # : Y # → X # , определенное соотношением f ↦ f ∘ u . Полученный функционал u # ( f ) называется обратным обращением f к u . Следующее соотношение характеризует алгебраический сопряженный к u [9]
где ⟨•, •⟩ — естественное спаривание (т. е. определяемое ⟨ h , z ⟩ := h ( z ) ). Это определение без изменений применимо также к левым модулям и векторным пространствам. [10]
Видно, что определение транспонирования не зависит от какой-либо билинейной формы модулей, в отличие от сопряженного (ниже).
Непрерывное двойственное пространство топологического векторного пространства (ТВП) X обозначается X ' . Если X и Y являются TVS, то линейное отображение u : X → Y слабо непрерывно тогда и только тогда, когда u # ( Y ' ) ⊆ X ' , и в этом случае мы обозначаем t u : Y ' → X ' ограничение u # на Y ' . Отображение t u называется транспонированием [ 11 ] u .
Если матрица A описывает линейное отображение относительно базисов V и W , то матрица A T описывает транспонирование этого линейного отображения относительно двойственных базисов .
Каждое линейное отображение в двойственное пространство u : X → X # определяет билинейную форму B : X × X → F с соотношением B ( x , y ) = u ( x ) ( y ) . Определив транспонирование этой билинейной формы как билинейную форму t B , определенную транспонированием t u : X ## → X # т.е. t B ( y , x ) = t u ( Ψ( y ))( x ) , мы находим что B ( Икс , y ) знак равно т B ( y , Икс ) . Здесь Ψ — естественный гомоморфизм X → X ## в двойной двойственный .
Если векторные пространства X и Y имеют соответственно невырожденные билинейные формы B X и BY , может быть определено понятие , известное как сопряженное , которое тесно связано с транспонированием:
Если u : X → Y — линейное отображение векторных пространств X и Y , мы определяем g как сопряженное к u , если g : Y → X удовлетворяет условиям
Эти билинейные формы определяют изоморфизм между X и X # , а также между Y и Y # , что приводит к изоморфизму между транспонированным и присоединенным к u . Матрица сопряженного отображения является транспонированной матрицей только в том случае, если базисы ортонормированы относительно своих билинейных форм. Однако в этом контексте многие авторы используют термин транспонирование для обозначения сопряженного, как оно определено здесь.
Сопряженный позволяет нам рассмотреть, равно ли g : Y → X u −1 : Y → X . В частности, это позволяет определить ортогональную группу над векторным пространством X квадратичной формы без ссылки на матрицы (или их компоненты) как набор всех линейных отображений X → X , для которых сопряженное равно обратному.
В сложном векторном пространстве вместо билинейных форм часто работают с полуторалинейными формами (сопряженно-линейными по одному аргументу). Эрмитово сопряженное отображение между такими пространствами определяется аналогично, а матрица эрмитова сопряженного задается сопряженной транспонированной матрицей, если базы ортонормированы.