Просто связанное пространство

Пространство, в котором нет сквозных отверстий

В топологии топологическое пространство называется односвязным (или 1-связным , или 1-односвязным ^[1] ), если оно линейно связно и каждый путь между двумя точками может быть непрерывно преобразован в любой другой такой путь, сохраняя при этом две рассматриваемые конечные точки. Интуитивно это соответствует пространству, которое не имеет непересекающихся частей и дыр, которые полностью проходят через него, потому что два пути, проходящие вокруг разных сторон такой дыры, не могут быть непрерывно преобразованы друг в друга. Фундаментальная группа топологического пространства является индикатором того, что пространство не является односвязным: линейно связное топологическое пространство односвязно тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа тривиальна.

Определение и эквивалентные формулировки

Эта форма представляет собой множество, которое не является просто связанным, поскольку любая петля, охватывающая одно или несколько отверстий, не может быть сжата в точку, не выходя из области.

Топологическое пространство называется односвязным, если оно линейно связно и любая петля в , определяемая соотношением , может быть стянута в точку: существует непрерывное отображение такое, что ограничено значением , здесь и обозначает единичную окружность и замкнутый единичный круг в евклидовой плоскости соответственно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S^{1}\to X}$ ${\displaystyle F:D^{2}\to X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$

Эквивалентная формулировка такова: является просто связанным тогда и только тогда, когда оно является путевым связным, и всякий раз, когда и являются двумя путями (то есть непрерывными отображениями) с одинаковой начальной и конечной точкой ( и ), то может быть непрерывно деформировано в , сохраняя обе конечные точки фиксированными. Явно, существует гомотопия такая, что и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle q:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle p(0)=q(0)}$ ${\displaystyle p(1)=q(1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$ ${\displaystyle F(x,0)=p(x)}$ ${\displaystyle F(x,1)=q(x).}$

Топологическое пространство является односвязным тогда и только тогда, когда является линейно связным и фундаментальная группа в каждой точке тривиальна, т.е. состоит только из единичного элемента . Аналогично, является односвязным тогда и только тогда, когда для всех точек множество морфизмов в фундаментальном группоиде имеет только один элемент. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)}$ ${\displaystyle X}$

В комплексном анализе : открытое подмножество односвязно тогда и только тогда, когда оба и его дополнение в сфере Римана связаны. Множество комплексных чисел с мнимой частью строго больше нуля и меньше единицы дает пример неограниченного, связного, открытого подмножества плоскости, дополнение которой несвязно. Тем не менее оно односвязно. Ослабление требования быть связным приводит к исследованию открытых подмножеств плоскости со связным расширенным дополнением. Например, (не обязательно связное) открытое множество имеет связное расширенное дополнение именно тогда, когда каждая из его связных компонент односвязна. ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Неформальное обсуждение

Неформально, объект в нашем пространстве односвязен, если он состоит из одной части и не имеет никаких «дырок», проходящих через него насквозь. Например, ни пончик, ни кофейная чашка (с ручкой) не являются односвязными, но полый резиновый мяч односвязен. В двух измерениях круг не является односвязным, а диск и линия являются таковыми. Пространства, которые связаны, но не являются односвязными, называются неодносвязными или многосвязными .

Сфера односвязна, поскольку каждую петлю можно стянуть (на поверхности) в точку .

Определение исключает только отверстия в форме ручки . Сфера (или, что то же самое, резиновый мяч с полым центром) является односвязной, поскольку любая петля на поверхности сферы может сжиматься в точку, даже если она имеет «дырку» в полом центре. Более сильное условие, что объект не имеет отверстий любого размера, называется сжимаемостью .

Примеры

Тор не является односвязной поверхностью. Ни одна из двух цветных петель, показанных здесь, не может быть стянута в точку, не покидая поверхность. Сплошной тор также не является односвязным, поскольку фиолетовая петля не может стянуться в точку, не покидая тело.

• Евклидова плоскость односвязна, но минус начало координат — нет. Если тогда и минус начало координат односвязны. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle n>2,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Аналогично: n -мерная сфера односвязна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2.}$
• Каждое выпуклое подмножество односвязно . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Тор , (эллиптический) цилиндр , лента Мёбиуса , проективная плоскость и бутылка Клейна не являются просто связанными.
• Каждое топологическое векторное пространство односвязно; сюда входят как банаховы, так и гильбертовы пространства .
• Ведь специальная ортогональная группа не является односвязной, а специальная унитарная группа является односвязной. ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$
• Одноточечная компактификация не является односвязной (хотя и односвязна). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Длинная линия односвязна, но ее компактификация, расширенная длинная линия, таковой не является (поскольку она даже не является путевой связностью). ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{*}}$

Характеристики

Поверхность (двумерное топологическое многообразие ) односвязна тогда и только тогда, когда она связна и ее род (число ручек поверхности) равен 0.

Универсальное покрытие любого (подходящего) пространства — это односвязное пространство, которое отображается в посредством покрывающего отображения . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Если и гомотопически эквивалентны и односвязны , то также ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Образ односвязного множества под непрерывной функцией не обязательно должен быть односвязным. Возьмем, к примеру, комплексную плоскость под экспоненциальным отображением: образ — это , который не является односвязным. ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\},}$

Понятие простой связности важно в комплексном анализе по следующим причинам:

• Интегральная теорема Коши утверждает , что если — односвязное открытое подмножество комплексной плоскости и — голоморфная функция , то имеет первообразную по и значение каждого интеграла по с подынтегральным выражением зависит только от конечных точек и пути и может быть вычислено как Таким образом, интеграл не зависит от конкретного пути, соединяющего и ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle F(v)-F(u).}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v,}$
• Теорема Римана об отображении утверждает, что любое непустое открытое односвязное подмножество (за исключением самого себя) конформно эквивалентно единичному кругу . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Понятие простой связности также является важнейшим условием в гипотезе Пуанкаре .

Смотрите также

• Ретракт деформации  – непрерывное, сохраняющее положение отображение из топологического пространства в подпространство.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Локально односвязное пространство
• n-связное пространство
• Уникогерентное пространство

Ссылки

1. "n-связное пространство в nLab". ncatlab.org . Получено 2017-09-17 .
2. Рональд, Браун (июнь 2006). Топология и группоиды . Академический поиск завершен. Северный Чарльстон: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC  712629429.

• Спаниер, Эдвин (декабрь 1994 г.). Алгебраическая топология . Спрингер. ISBN 0-387-94426-5.
• Конвей, Джон (1986). Функции одной комплексной переменной I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
• Бурбаки, Николя (2005). Группы Ли и алгебры Ли . Спрингер. ISBN 3-540-43405-4.
• Гамелен, Теодор (январь 2001 г.). Комплексный анализ . Springer. ISBN 0-387-95069-9.
• Джоши, Капли (август 1983). Введение в общую топологию . New Age Publishers. ISBN 0-85226-444-5.