В математике бутылка Клейна ( / ˈk l aɪ n / ) является примером неориентируемой поверхности ; то есть, неформально, односторонняя поверхность, по которой, если путешествовать по ней, можно было бы проследить обратно до исходной точки, перевернув путешественника вверх тормашками. Более формально, бутылка Клейна — это двумерное многообразие , на котором нельзя определить вектор нормали в каждой точке, который непрерывно меняется на всем многообразии. Другие родственные неориентируемые поверхности включают ленту Мёбиуса и действительную проективную плоскость . Лента Мёбиуса представляет собой поверхность с границей , а бутылка Клейна не имеет границы. Для сравнения: сфера — это ориентируемая поверхность без границы.
Бутылка Клейна была впервые описана в 1882 году математиком Феликсом Кляйном . [1]
Следующий квадрат представляет собой фундаментальный многоугольник бутылки Клейна. Идея состоит в том, чтобы «склеить» соответствующие красные и синие края совпадающими стрелками, как показано на рисунках ниже. Обратите внимание, что это «абстрактное» склеивание в том смысле, что попытка реализовать это в трех измерениях приводит к самопересекающейся бутылке Клейна. [2]
Чтобы построить бутылку Клейна, склейте вместе красные стрелки квадрата (левая и правая стороны), в результате чего получится цилиндр. Чтобы склеить концы цилиндра так, чтобы стрелки на кружках совпадали, нужно пропустить один конец через боковую часть цилиндра. Это создает кривую самопересечения; Таким образом, это погружение бутылки Клейна в трехмерное пространство .
Такое погружение полезно для визуализации многих свойств бутылки Клейна. Например, у бутылки Клейна нет границы , где поверхность резко останавливается, и она неориентируема , что отражается в односторонности погружения.
Распространенная физическая модель бутылки Клейна представляет собой аналогичную конструкцию. В Музее науки в Лондоне выставлена коллекция бутылок Клейна из выдутого вручную стекла, демонстрирующая множество вариаций на эту топологическую тему. Бутылки датированы 1995 годом и были изготовлены для музея Аланом Беннеттом. [3]
Собственно бутылка Клейна не самопересекающаяся. Тем не менее, есть способ представить бутылку Клейна как четырехмерную. Добавив к трехмерному пространству четвертое измерение, можно устранить самопересечение. Аккуратно вытолкните кусок трубки, содержащий пересечение четвертого измерения, из исходного трехмерного пространства. Полезная аналогия — рассмотреть самопересекающуюся кривую на плоскости; самопересечения можно устранить, подняв одну нить с плоскости. [4]
Предположим для пояснения, что мы принимаем время в качестве четвертого измерения. Рассмотрим, как можно построить фигуру в пространстве xyzt . Сопровождающая иллюстрация («Эволюция времени...») показывает одну полезную эволюцию фигуры. При t = 0 стена прорастает из бутона где-то рядом с точкой «пересечения». После того, как фигура некоторое время подрастает, самая ранняя часть стены начинает отступать, исчезая, как Чеширский кот , но оставляя после себя постоянно расширяющуюся улыбку. К тому времени, когда фронт роста достигает того места, где была почка, уже нечего пересекать, и рост завершается без нарушения существующей структуры. Четырехфигурная фигура, как она определена, не может существовать в трехмерном пространстве, но ее легко понять в четырехмерном пространстве. [4]
Более формально, бутылка Клейна — это фактор-пространство , описываемое как квадрат [0,1] × [0,1] со сторонами, идентифицируемыми соотношениями (0, y ) ~ (1, y ) для 0 ⩽ y ⩽ 1 и ( Икс , 0) ~ (1 - Икс , 1) для 0 ≤ Икс ≤ 1 .
Как и лента Мёбиуса , бутылка Клейна представляет собой двумерное неориентируемое многообразие . В отличие от ленты Мёбиуса, это замкнутое многообразие, то есть компактное многообразие без края. Ленту Мёбиуса можно встроить в трёхмерное евклидово пространство R3 , а бутылку Клейна — нет. Однако его можно встроить в R 4 . [4]
Возможно продолжение этой последовательности, например, создание 3-многообразия, которое не может быть вложено в R 4 , но может находиться в R 5 ; в этом случае соединение двух концов сферида друг с другом таким же образом, как два конца цилиндра для бутылки Клейна, создает фигуру, называемую «сферической бутылкой Клейна», которая не может быть полностью вложена в R. 4 . [5]
Бутылку Клейна можно рассматривать как расслоение над кругом S 1 со слоем S 1 следующим образом: квадрат (по модулю отношения эквивалентности, определяющего ребро) сверху принимается за E , общее пространство, а базовое пространство B задается единичным интервалом в y по модулю 1~0 . Тогда проекция π: E → B определяется формулой π([ x , y ]) = [ y ] .
Бутылку Клейна можно построить (в четырехмерном пространстве, поскольку в трехмерном пространстве это невозможно сделать, не позволяя поверхности пересекаться) путем соединения краев двух лент Мёбиуса, как описано в следующем лимерике Лео Мозера : 6]
Математик по имени Кляйн
считал, что лента Мёбиуса божественна.
Он сказал: «Если склеить
края по два,
то получится странная бутылка, как у меня».
Первоначальное построение бутылки Клейна путем идентификации противоположных краев квадрата показывает, что бутылке Клейна можно придать сложную структуру CW с одной 0-ячейкой P , двумя 1-ячейками C 1 , C 2 и одной 2-ячейкой D . Поэтому его эйлерова характеристика равна 1 − 2 + 1 = 0 . Граничный гомоморфизм задается формулами ∂ D = 2 C 1 и ∂ C 1 = ∂ C 2 = 0 , в результате чего группы гомологий бутылки Клейна K будут H 0 ( K , Z ) = Z , H 1 ( K , Z ) знак равно Z ×( Z /2 Z ) и ЧАС п ( K , Z ) знак равно 0 для n > 1 .
Существует карта покрытия 2-1 от тора до бутылки Клейна, потому что две копии фундаментальной области бутылки Клейна, одна из которых помещена рядом с зеркальным изображением другой, дают фундаментальную область тора. Универсальным покрытием как тора, так и бутылки Клейна является плоскость R2 .
Фундаментальная группа бутылки Клейна может быть определена как группа преобразований колоды универсального покрытия и имеет представление ⟨ a , b | аб знак равно б -1 а ⟩ . Отсюда следует, что он изоморфен , единственному нетривиальному полупрямому произведению аддитивной группы целых чисел с самим собой.
Шести цветов достаточно, чтобы раскрасить любую карту на поверхности бутылки Клейна; это единственное исключение из гипотезы Хивуда , обобщения теоремы о четырех цветах , для которой потребуется семь цветов.
Бутылка Клейна гомеоморфна связной сумме двух проективных плоскостей . [7] Он также гомеоморфен сфере плюс две перемычки .
Бутылка Клейна, встроенная в евклидово пространство, является односторонней. Однако существуют и другие топологические трехмерные пространства, и в некоторых неориентируемых примерах бутылку Клейна можно вложить так, что она станет двусторонней, хотя из-за природы пространства она останется неориентируемой. [2]
В результате разделения бутылки Клейна пополам вдоль ее плоскости симметрии получаются две ленты Мёбиуса в зеркальном отображении , т. е. одна с полуповоротом влево, а другая с полуповоротом вправо (одна из них изображена справа). . Помните, что изображенного на фотографии перекрестка на самом деле нет. [8]
Одно из описаний типов просто-замкнутых кривых, которые могут появиться на поверхности бутылки Клейна, дается с помощью первой группы гомологий бутылки Клейна, рассчитанной с целыми коэффициентами. Эта группа изоморфна Z × Z 2 . С точностью до изменения ориентации единственными классами гомологии, содержащими простозамкнутые кривые, являются следующие: (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (0,1). С точностью до изменения ориентации простой замкнутой кривой, если она лежит внутри одной из двух перемычек, составляющих бутылку Клейна, то она находится в классе гомологии (1,0) или (1,1); если он разрезает бутылку Клейна на две ленты Мёбиуса, то он находится в классе гомологии (2,0); если он разрезает бутылку Клейна на кольцо, то он находится в классе гомологии (0,1); а если ограничивает диск, то он принадлежит классу гомологий (0,0). [4]
Чтобы сделать погружение бутылки Клейна в виде «восьмерки» или «бублика» , можно начать с ленты Мёбиуса и свернуть ее, чтобы довести край до средней линии; поскольку край только один, то там он встретится, пройдя через среднюю линию. Он имеет особенно простую параметризацию в виде тора «восьмерки» с полуповоротом: [4]
для 0 ⩽ θ < 2π, 0 ⩽ v < 2π и r > 2.
В этом погружении круг самопересечения (где sin( v ) равен нулю) представляет собой геометрический круг в плоскости xy . Положительная константа r — это радиус этого круга. Параметр θ задает угол в плоскости xy , а также поворот фигуры 8, а v определяет положение вокруг поперечного сечения в форме восьмерки. При указанной выше параметризации поперечное сечение представляет собой кривую Лиссажу 2:1 .
Непересекающуюся 4-D параметризацию можно смоделировать по образцу плоского тора :
где R и P — константы, определяющие соотношение сторон, θ и v аналогичны определенным выше. v определяет положение вокруг восьмерки, а также положение в плоскости xy. θ также определяет угол поворота восьмерки и положение вокруг плоскости zw. ε — любая маленькая константа, а ε sin v — небольшой выступ в пространстве zw , зависящий от v , чтобы избежать самопересечения. V - образный выступ приводит к тому, что самопересекающаяся двумерная/плоская фигура-8 расширяется в трехмерную стилизованную форму «картофельных чипсов» или форму седла в пространстве xyw и xyz, если смотреть с ребра. Когда ε=0, самопересечение представляет собой окружность в плоскости zw <0, 0, cos θ , sin θ >. [4]
Сжатый тор — это, пожалуй, самая простая параметризация бутылки Клейна как в трех, так и в четырех измерениях. Это тор, который в трех измерениях сплющивается и проходит сквозь себя с одной стороны. К сожалению, в трех измерениях эта параметризация имеет две точки защемления , что делает ее нежелательной для некоторых приложений. В четырех измерениях амплитуда z превращается в амплитуду w , и здесь нет самопересечений или точек защемления. [4]
Можно рассматривать это как трубку или цилиндр, который вращается, как в торе, но его круглое поперечное сечение переворачивается в четырех измерениях, представляя свою «заднюю сторону» при повторном соединении, точно так же, как поперечное сечение ленты Мёбиуса вращается перед повторным соединением. Его трехмерная ортогональная проекция представляет собой защемленный тор, показанный выше. Так же, как лента Мёбиуса является подмножеством полнотора, трубка Мёбиуса представляет собой подмножество тороидально замкнутого сферинда (твёрдосферитора).
Параметризация самого трехмерного погружения бутылки гораздо сложнее.
для 0 ⩽ u < π и 0 ⩽ v < 2π. [4]
Регулярные трехмерные погружения бутылки Клейна делятся на три регулярных гомотопических класса. [9] Эти трое представлены:
Традиционное погружение в бутылку Клейна является ахиральным . Погружение в форме восьмерки является хиральным. (Вышеупомянутое погружение защемленного тора не является регулярным, поскольку оно имеет точки защемления, поэтому оно не имеет отношения к этому разделу.)
Если традиционную бутылку Клейна разрезать в плоскости симметрии, она распадается на две ленты Мёбиуса противоположной киральности. Бутылку Клейна в форме восьмерки можно разрезать на две ленты Мёбиуса одинаковой киральности , и ее нельзя регулярно деформировать до ее зеркального отображения. [4]
Окраска традиционной бутылки Клейна в два цвета может вызвать у нее хиральность, разделив ее гомотопический класс на две части. [ нужна цитата ]
Обобщение бутылки Клейна на высший род дано в статье о фундаментальном многоугольнике . [10]
В другом порядке идей, построении 3-многообразий , известно, что твердая бутылка Клейна гомеоморфна декартову произведению ленты Мёбиуса и замкнутого интервала. Твердая бутылка Клейна — это неориентируемая версия полнотора , эквивалентная
Поверхность Клейна — это, как и римановы поверхности , поверхность с атласом, позволяющим составлять карты переходов с использованием комплексного сопряжения . Можно получить так называемую диааналитическую структуру пространства, имеющую только одну сторону. [11]
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)=-&{\frac {2}{15}}\cos u\left(3\cos {v}-30\sin {u}+90\ cos ^{4}{u}\sin {u}\right.-\\&\left.60\cos ^{6}{u}\sin {u}+5\cos {u}\cos {v} \sin {u}\right)\\[3pt]y(u,v)=-&{\frac {1}{15}}\sin u\left(3\cos {v}-3\cos ^{ 2}{u}\cos {v}-48\cos ^{4}{u}\cos {v}+48\cos ^{6}{u}\cos {v}\right.-\\&60\ sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}-5\cos ^{3}{u}\cos {v}\sin {u}-\\&\left.80 \cos ^{5}{u}\cos {v}\sin {u}+80\cos ^{7}{u}\cos {v}\sin {u}\right)\\[3pt]z( u,v)=&{\frac {2}{15}}\left(3+5\cos {u}\sin {u}\right)\sin {v}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5d921d40ba9c619980533c34235fd121d6e557)
