Эволюция времени

Изменение состояния с течением времени, особенно в физике

Временная эволюция — это изменение состояния, вызванное течением времени , применимое к системам с внутренним состоянием (также называемым системами с сохранением состояния ). В этой формулировке время не обязательно должно быть непрерывным параметром, но может быть дискретным или даже конечным. В классической физике временная эволюция совокупности твердых тел регулируется принципами классической механики . В своей наиболее элементарной форме эти принципы выражают связь между силами, действующими на тела, и их ускорением, заданным законами движения Ньютона . Эти принципы могут быть эквивалентно выражены более абстрактно с помощью гамильтоновой механики или механики Лагранжа .

Концепция эволюции во времени может быть применима и к другим системам с сохранением состояния. Например, работу машины Тьюринга можно рассматривать как эволюцию во времени состояния управления машины вместе с состоянием ленты (или, возможно, нескольких лент), включая положение головки чтения-записи машины (или головок). В этом случае время рассматривается как дискретные шаги.

Системы с сохранением состояния часто имеют двойные описания в терминах состояний или в терминах наблюдаемых значений. В таких системах эволюция времени может также относиться к изменению наблюдаемых значений. Это особенно актуально в квантовой механике , где картина Шредингера и картина Гейзенберга являются (в основном) ^{[ необходимо уточнение ]} эквивалентными описаниями эволюции времени.

Операторы эволюции времени

Рассмотрим систему с пространством состояний X, для которой эволюция является детерминированной и обратимой . Для конкретности предположим также, что время является параметром, который пробегает множество действительных чисел R. Тогда эволюция времени задается семейством биективных преобразований состояний

${\displaystyle (\operatorname {F} _{t,s}\colon X\rightarrow X)_{s,t\in \mathbb {R} }}$.

F _{t , s} ( x ) — это состояние системы в момент времени t , состояние которой в момент времени s равно x . Имеет место следующее тождество

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).}$

Чтобы увидеть, почему это так, предположим, что x ∈ X — это состояние в момент времени s . Тогда по определению F, F _{t , s} ( x ) — это состояние системы в момент времени t и, следовательно, применяя определение еще раз, F _{u , t} (F _{t , s} ( x )) — это состояние в момент времени u . Но это также F _{u , s} ( x ).

В некоторых контекстах математической физики отображения F _{t , s} называются операторами распространения или просто пропагаторами . В классической механике пропагаторы являются функциями, которые действуют на фазовом пространстве физической системы. В квантовой механике пропагаторы обычно являются унитарными операторами на гильбертовом пространстве . Пропагаторы могут быть выражены как упорядоченные по времени экспоненты интегрированного гамильтониана. Асимптотические свойства временной эволюции задаются матрицей рассеяния . ^[1]

Пространство состояний с выделенным пропагатором также называется динамической системой .

Сказать, что эволюция во времени однородна, означает, что

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}=\operatorname {F} _{u-t,0}}$для всех . ${\displaystyle u,t\in \mathbb {R} }$

В случае однородной системы отображения G _t = F _{t ,0} образуют однопараметрическую группу преобразований X , то есть

${\displaystyle \operatorname {G} _{t+s}=\operatorname {G} _{t}\operatorname {G} _{s}.}$

Для необратимых систем операторы распространения F _{t , s} определяются всякий раз, когда t ≥ s, и удовлетворяют тождеству распространения

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x)}$для любого . ${\displaystyle u\geq t\geq s}$

В однородном случае пропагаторы являются экспонентами гамильтониана.

В квантовой механике

В картине Шредингера оператор Гамильтона генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если — состояние системы в момент времени , то ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}$

Это уравнение Шредингера . При заданном состоянии в некоторый начальный момент времени ( ), если не зависит от времени, то унитарный оператор эволюции во времени является экспоненциальным оператором, как показано в уравнении ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U(t)}$

${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =U(t)\left|\psi (0)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$

Смотрите также

• Стрела времени
• Симметрия временного переноса
• Гамильтонова система
• Пропагатор
• Оператор эволюции времени
• Гамильтониан (теория управления)

Ссылки

1. Лекция 1 | Квантовые запутанности, часть 1 (Стэнфорд) (видео). Стэнфорд, Калифорния: Стэнфорд. 2 октября 2006 г. Получено 5 сентября 2020 г. – через YouTube.

Общие ссылки

• Аманн, Х.; Арендт, В.; Нойбрандер, Ф.; Никез, С.; фон Белов, Дж. (2008), Аманн, Герберт; Арендт, Вольфганг; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Фрэнк М; Никез, Серж; фон Белов, Иоахим (ред.), Функциональный анализ и эволюционные уравнения: Том Гюнтера Люмера, Базель: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-3-7643-7794-6, ISBN 978-3-7643-7793-9, МР  2402015.
• Джером, Дж. В.; Полицци, Э. (2014), «Дискретизация зависящих от времени квантовых систем: распространение оператора эволюции в реальном времени», Applicable Analysis , 93 (12): 2574–2597, arXiv : 1309.3587 , doi : 10.1080/00036811.2013.878863, S2CID  17905545.
• Lanford, OE (1975), «Временная эволюция больших классических систем», в Moser J. (ред.), Dynamical Systems, Theory and Applications , Lecture Notes in Physics, т. 38, Berlin, Heidelberg: Springer, стр. 1–111, doi :10.1007/3-540-07171-7_1, ISBN 978-3-540-37505-0.
• Lanford, OE; Lebowitz, JL (1975), «Временная эволюция и эргодические свойства гармонических систем», в Moser J. (ред.), Dynamical Systems, Theory and Applications , Lecture Notes in Physics, т. 38, Berlin, Heidelberg: Springer, стр. 144–177, doi :10.1007/3-540-07171-7_3, ISBN 978-3-540-37505-0.

• Люмер, Гюнтер (1994), «Уравнения эволюции. Решения для нерегулярных эволюционных задач с помощью обобщенных решений и обобщенных начальных значений. Приложения к моделям периодических толчков», Annales Universitatis Saraviensis , Series Mathematicae, 5 (1), MR  1286099.