Пропагатор

Функция в квантовой теории поля, показывающая амплитуды вероятности движущихся частиц

В квантовой механике и квантовой теории поля пропагатор — это функция, которая определяет амплитуду вероятности перемещения частицы из одного места в другое за заданный период времени или перемещения с определенной энергией и импульсом. В диаграммах Фейнмана , которые служат для вычисления скорости столкновений в квантовой теории поля , виртуальные частицы вносят свой пропагатор в скорость события рассеяния , описываемого соответствующей диаграммой. Пропагаторы также можно рассматривать как обратные волновому оператору , соответствующему частице, и поэтому их часто называют (причинными) функциями Грина (называют « причинными », чтобы отличить их от эллиптической лапласовской функции Грина). ^{[1] [2]}

Нерелятивистские пропагаторы

В нерелятивистской квантовой механике пропагатор определяет амплитуду вероятности перемещения частицы из одной пространственной точки (x') в один момент времени (t') в другую пространственную точку (x) в более поздний момент времени (t).

Рассмотрим систему с гамильтонианом H. Функция Грина G ( фундаментальное решение ) для уравнения Шредингера — это функция

${\displaystyle G(x,t;x',t')={\frac {1}{i\hbar }}\Theta (t-t')K(x,t;x',t')}$

удовлетворяющий

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-H_{x}\right)G(x,t;x',t')=\delta (x-x')\delta (t-t'),}$

где H _x обозначает гамильтониан, записанный в координатах x , δ ( x ) обозначает дельта-функцию Дирака , Θ( t ) — ступенчатая функция Хевисайда , а K ( x , t  ; x′ , t′ ) — ядро ​​приведенного выше дифференциального оператора Шредингера в больших скобках. Термин пропагатор иногда используется в этом контексте для обозначения G , а иногда для K . В этой статье этот термин будет использоваться для обозначения K (см. принцип Дюамеля ).

Этот пропагатор можно также записать как амплитуду перехода

${\displaystyle K(x,t;x',t')={\big \langle }x{\big |}{\hat {U}}(t,t'){\big |}x'{\big \rangle },}$

где Û ( t , t′ ) — унитарный оператор эволюции во времени для системы, переводящей состояния в момент времени t′ в состояния в момент времени t . Обратите внимание на начальное условие, налагаемое . ${\displaystyle \lim _{t\to t'}K(x,t;x',t')=\delta (x-x')}$

Квантово-механический пропагатор также можно найти с помощью интеграла по траектории :

${\displaystyle K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t'}^{t}L({\dot {q}},q,t)\,dt\right]D[q(t)],}$

где граничные условия интеграла по траектории включают q ( t ) = x , q ( t′ ) = x′ . Здесь L обозначает лагранжиан системы. Пути, которые суммируются, движутся только вперед во времени и интегрируются с дифференциалом, следующим за путем во времени. ${\displaystyle D[q(t)]}$

В нерелятивистской квантовой механике пропагатор позволяет найти волновую функцию системы, если задана начальная волновая функция и временной интервал. Новая волновая функция задается уравнением

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')\,dx'.}$

Если K ( x , t ; x ′, t ′) зависит только от разности x − x′ , то это свертка исходной волновой функции и пропагатора.

Простейшие примеры: пропагатор свободной частицы и гармонический осциллятор.

Для системы, инвариантной во времени, пропагатор зависит только от разницы во времени t − t ′ , поэтому его можно переписать как $${\displaystyle K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t').}$$

Пропагатор одномерной свободной частицы , получаемый, например, из интеграла по траектории , равен тогда

${\displaystyle K(x,x';t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }dk\,e^{ik(x-x')}e^{-{\frac {i\hbar k^{2}t}{2m}}}=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {m(x-x')^{2}}{2i\hbar t}}}.}$

Аналогично, пропагатор одномерного квантового гармонического осциллятора представляет собой ядро ​​Мелера , ^{[3] [4]}

${\displaystyle K(x,x';t)=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega t}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {m\omega {\big (}(x^{2}+x'^{2})\cos \omega t-2xx'{\big )}}{2i\hbar \sin \omega t}}\right).}$

Последнее может быть получено из предыдущего результата для свободных частиц с использованием тождества группы Ли SU(1,1) Ван Кортрика ^[5] , действительного для операторов и удовлетворяющего соотношению Гейзенберга . $${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left(-{\frac {it}{\hbar }}\left({\frac {1}{2m}}{\mathsf {p}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\mathsf {x}}^{2}\right)\right)\\&=\exp \left(-{\frac {im\omega }{2\hbar }}{\mathsf {x}}^{2}\tan {\frac {\omega t}{2}}\right)\exp \left(-{\frac {i}{2m\omega \hbar }}{\mathsf {p}}^{2}\sin(\omega t)\right)\exp \left(-{\frac {im\omega }{2\hbar }}{\mathsf {x}}^{2}\tan {\frac {\omega t}{2}}\right),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\mathsf {x}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {p}}}$ ${\displaystyle [{\mathsf {x}},{\mathsf {p}}]=i\hbar }$

Для N -мерного случая пропагатор можно просто получить из произведения $${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {x}}';t)=\prod _{q=1}^{N}K(x_{q},x_{q}';t).}$$

Релятивистские пропагаторы

В релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля пропагаторы являются лоренц-инвариантными . Они дают амплитуду для частицы , перемещающейся между двумя пространственно-временными событиями.

Скалярный пропагатор

В квантовой теории поля теория свободного (или невзаимодействующего) скалярного поля является полезным и простым примером, который служит для иллюстрации концепций, необходимых для более сложных теорий. Она описывает частицы со спином -0. Существует ряд возможных пропагаторов для теории свободного скалярного поля. Теперь мы опишем наиболее распространенные из них.

Позиция пространства

Пропагаторы позиционного пространства являются функциями Грина для уравнения Клейна–Гордона . Это означает, что они являются функциями G ( x , y ) , удовлетворяющими , где $${\displaystyle \left(\square _{x}+m^{2}\right)G(x,y)=-\delta (x-y),}$$

• x, y — две точки в пространстве-времени Минковского ,
• ${\displaystyle \square _{x}={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}$— оператор Даламбера, действующий на координаты x ,
• δ ( x − y ) — дельта-функция Дирака .

(Как это обычно бывает в расчетах релятивистской квантовой теории поля, мы используем единицы, в которых скорость света c и приведенная постоянная Планка ħ приняты равными единице.)

Мы ограничим внимание 4-мерным пространством-временем Минковского . Мы можем выполнить преобразование Фурье уравнения для пропагатора, получив $${\displaystyle \left(-p^{2}+m^{2}\right)G(p)=-1.}$$

Это уравнение можно инвертировать в смысле распределений , отметив, что уравнение xf ( x ) = 1 имеет решение (см. теорему Сохоцкого–Племеля ) с ε, подразумевающим предел к нулю. Ниже мы обсудим правильный выбор знака, вытекающий из требований причинности. $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}={\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$

Решение есть

${\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}\pm i\varepsilon }},}$

где — 4-векторное внутреннее произведение. $${\displaystyle p(x-y):=p_{0}(x^{0}-y^{0})-{\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})}$$

Различные варианты деформации контура интегрирования в приведенном выше выражении приводят к различным формам пропагатора. Выбор контура обычно формулируется в терминах интеграла . ${\displaystyle p_{0}}$

Тогда подынтегральное выражение имеет два полюса, поэтому разные варианты того, как их избежать, приводят к разным пропагаторам. $${\displaystyle p_{0}=\pm {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}},}$$

Причинные пропагандисты

Замедленный пропагатор

Контур, идущий по часовой стрелке через оба полюса, дает причинно-запаздывающий пропагатор . Он равен нулю, если xy является пространственноподобным или y находится в будущем от x , поэтому он равен нулю, если x ⁰< y ⁰ .

Этот выбор контура эквивалентен вычислению предела , $${\displaystyle G_{\text{ret}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (x^{0}-y^{0})}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (x^{0}-y^{0})\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}.}$$

Здесь есть функция шага Хевисайда , есть собственное время от x до y , и есть функция Бесселя первого рода . Пропагатор не равен нулю только если , т.е. y причинно предшествует x , что для пространства-времени Минковского означает $${\displaystyle \Theta (x):={\begin{cases}1&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \tau _{xy}:={\sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}}}}$$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle y\prec x}$

${\displaystyle y^{0}\leq x^{0}}$и ${\displaystyle \tau _{xy}^{2}\geq 0~.}$

Это выражение можно связать с вакуумным средним значением коммутатора оператора свободного скалярного поля, где — коммутатор . $${\displaystyle G_{\text{ret}}(x,y)=-i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (x^{0}-y^{0})}$$ $${\displaystyle \left[\Phi (x),\Phi (y)\right]:=\Phi (x)\Phi (y)-\Phi (y)\Phi (x)}$$

Расширенный пропагатор

Контур, идущий против часовой стрелки под обоими полюсами, дает каузальный опережающий пропагатор . Он равен нулю, если xy является пространственноподобным или если y находится в прошлом x , поэтому он равен нулю, если x ⁰> y ⁰ .

Такой выбор контура эквивалентен вычислению предела ^[6] $${\displaystyle G_{\text{adv}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (y^{0}-x^{0})}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (y^{0}-x^{0})\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}.}$$

Это выражение можно также выразить через вакуумное ожидание коммутатора свободного скалярного поля. В этом случае $${\displaystyle G_{\text{adv}}(x,y)=i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (y^{0}-x^{0})~.}$$

пропагатор Фейнмана

Контур, проходящий под левым полюсом и над правым полюсом, дает пропагатор Фейнмана , введенный Ричардом Фейнманом в 1948 году ^{. [7]}

Такой выбор контура эквивалентен вычислению предела ^[8] $${\displaystyle G_{F}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\begin{cases}-{\frac {1}{4\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+{\frac {m}{8\pi \tau _{xy}}}H_{1}^{(1)}(m\tau _{xy})&\tau _{xy}^{2}\geq 0\\-{\frac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-\tau _{xy}^{2}}}}}K_{1}(m{\sqrt {-\tau _{xy}^{2}}})&\tau _{xy}^{2}<0.\end{cases}}}$$

Здесь H ₁ ⁽¹⁾ — функция Ганкеля , а K ₁ — модифицированная функция Бесселя .

Это выражение можно вывести непосредственно из теории поля как вакуумное математическое ожидание упорядоченного по времени произведения свободного скалярного поля, то есть произведения, всегда берущегося таким образом, что упорядоченность по времени точек пространства-времени одинакова, $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{F}(x-y)&=-i\langle 0|T(\Phi (x)\Phi (y))|0\rangle \\[4pt]&=-i\left\langle 0|\left[\Theta (x^{0}-y^{0})\Phi (x)\Phi (y)+\Theta (y^{0}-x^{0})\Phi (y)\Phi (x)\right]|0\right\rangle .\end{aligned}}}$$

Это выражение является инвариантным относительно Лоренца , пока операторы поля коммутируют друг с другом, когда точки x и y разделены пространственноподобным интервалом.

Обычный вывод заключается во вставке полного набора одночастичных импульсных состояний между полями с нормировкой, ковариантной Лоренца, а затем в демонстрации того, что функции Θ , обеспечивающие причинно-следственное упорядочение во времени, могут быть получены с помощью контурного интеграла вдоль оси энергии, если подынтегральное выражение такое же, как указано выше (отсюда и бесконечно малая мнимая часть), чтобы сместить полюс с действительной линии.

Пропагатор также можно вывести с помощью формулировки интеграла по траектории квантовой теории.

пропагатор Дирака

Введен Полем Дираком в 1938 году. ^{[9] [10]}

Пропагатор импульсного пространства

Преобразование Фурье пропагаторов позиционного пространства можно рассматривать как пропагаторы в импульсном пространстве . Они принимают гораздо более простую форму, чем пропагаторы позиционного пространства.

Они часто записываются с явным термином ε , хотя это понимается как напоминание о том, какой контур интегрирования является подходящим (см. выше). Этот термин ε включен для включения граничных условий и причинности (см. ниже).

Для 4-импульса p причинный и фейнмановский пропагаторы в импульсном пространстве имеют вид:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{ret}}(p)={\frac {1}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{adv}}(p)={\frac {1}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Для целей расчетов диаграммы Фейнмана обычно удобно записывать их с дополнительным общим множителем i (условия могут различаться).

Быстрее света?

Пропагатор Фейнмана обладает некоторыми свойствами, которые на первый взгляд кажутся непонятными. В частности, в отличие от коммутатора, пропагатор не равен нулю вне светового конуса , хотя он быстро спадает для пространственноподобных интервалов. Интерпретируемое как амплитуда движения частицы, это означает, что виртуальная частица движется быстрее света. Не сразу очевидно, как это можно примирить с причинностью: можем ли мы использовать виртуальные частицы, движущиеся быстрее света, для отправки сообщений со скоростью, превышающей скорость света?

Ответ — нет: в то время как в классической механике интервалы, по которым могут перемещаться частицы и причинные эффекты, одинаковы, в квантовой теории поля это уже не так, где именно коммутаторы определяют, какие операторы могут влиять друг на друга.

Так что же представляет собой пространственноподобная часть пропагатора? В КТП вакуум является активным участником, а числа частиц и значения полей связаны принципом неопределенности ; значения полей неопределенны даже для числа частиц, равного нулю . Существует ненулевая амплитуда вероятности обнаружения значительной флуктуации вакуумного значения поля Φ( x ) , если измерять его локально (или, точнее, если измерять оператор, полученный путем усреднения поля по небольшой области). Более того, динамика полей имеет тенденцию в некоторой степени благоприятствовать пространственно коррелированным флуктуациям. Ненулевое упорядоченное по времени произведение для пространственноподобных разделенных полей затем просто измеряет амплитуду для нелокальной корреляции в этих вакуумных флуктуациях, аналогично корреляции ЭПР . Действительно, пропагатор часто называют двухточечной корреляционной функцией для свободного поля .

Поскольку, согласно постулатам квантовой теории поля, все наблюдаемые операторы коммутируют друг с другом на пространственном расстоянии, сообщения могут передаваться через эти корреляции не более, чем через любые другие корреляции ЭПР; корреляции находятся в случайных величинах.

Что касается виртуальных частиц, пропагатор на пространственноподобном расстоянии можно рассматривать как средство вычисления амплитуды для создания виртуальной пары частица- античастица , которая в конечном итоге исчезает в вакууме, или для обнаружения виртуальной пары, появляющейся из вакуума. На языке Фейнмана такие процессы создания и уничтожения эквивалентны виртуальной частице, блуждающей вперед и назад во времени, что может вывести ее за пределы светового конуса. Однако никакая передача сигналов назад во времени не допускается.

Объяснение с использованием пределов

Это можно сделать более понятным, записав пропагатор в следующей форме для безмассовой частицы: $${\displaystyle G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {\varepsilon }{(x-y)^{2}+i\varepsilon ^{2}}}.}$$

Это обычное определение, но нормализованное с коэффициентом . Тогда правило заключается в том, что предел берется только в конце расчета. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$

Видно, что и Следовательно, это означает, что одна безмассовая частица всегда будет оставаться на световом конусе. Также показано, что полная вероятность для фотона в любой момент времени должна быть нормализована обратной величиной следующего фактора: Мы видим, что части за пределами светового конуса обычно равны нулю в пределе и важны только в диаграммах Фейнмана. $${\displaystyle G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {1}{\varepsilon }}\quad {\text{if}}~~~(x-y)^{2}=0,}$$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}G_{F}^{\varepsilon }(x,y)=0\quad {\text{if}}~~~(x-y)^{2}\neq 0.}$$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\int |G_{F}^{\varepsilon }(0,x)|^{2}\,dx^{3}=\lim _{\varepsilon \to 0}\int {\frac {\varepsilon ^{2}}{(\mathbf {x} ^{2}-t^{2})^{2}+\varepsilon ^{4}}}\,dx^{3}=2\pi ^{2}|t|.}$$

Пропагаторы в диаграммах Фейнмана

Наиболее распространенное использование пропагатора — это вычисление амплитуд вероятности для взаимодействий частиц с использованием диаграмм Фейнмана . Эти вычисления обычно выполняются в импульсном пространстве. В общем случае амплитуда получает множитель пропагатора для каждой внутренней линии , то есть каждой линии, которая не представляет входящую или выходящую частицу в начальном или конечном состоянии. Она также получит множитель, пропорциональный и аналогичный по форме члену взаимодействия в лагранжиане теории для каждой внутренней вершины, где встречаются линии. Эти предписания известны как правила Фейнмана .

Внутренние линии соответствуют виртуальным частицам. Поскольку пропагатор не исчезает для комбинаций энергии и импульса, запрещенных классическими уравнениями движения, мы говорим, что виртуальным частицам разрешено находиться вне оболочки . Фактически, поскольку пропагатор получается путем инвертирования волнового уравнения, в общем случае он будет иметь сингулярности на оболочке.

Энергия, переносимая частицей в пропагаторе, может быть даже отрицательной . Это можно интерпретировать просто как случай, в котором вместо частицы, движущейся в одном направлении, ее античастица движется в другом направлении и, следовательно, несет противоположный поток положительной энергии. Пропагатор охватывает обе возможности. Это означает, что нужно быть осторожным со знаками минус в случае фермионов , чьи пропагаторы даже не являются функциями энергии и импульса (см. ниже).

Виртуальные частицы сохраняют энергию и импульс. Однако, поскольку они могут быть вне оболочки, везде, где диаграмма содержит замкнутый контур , энергии и импульсы виртуальных частиц, участвующих в контуре, будут частично неограниченными, поскольку изменение количества для одной частицы в контуре может быть уравновешено равным и противоположным изменением в другом. Поэтому каждый контур в диаграмме Фейнмана требует интеграла по континууму возможных энергий и импульсов. В общем случае эти интегралы произведений пропагаторов могут расходиться, ситуация, которая должна быть обработана процессом перенормировки .

Другие теории

Вращаться1 ⁄ 2

Если частица обладает спином, то ее пропагатор в общем случае несколько сложнее, поскольку он будет включать индексы спина или поляризации частицы. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет пропагатор для частицы со спином 1 ⁄ 2, задается как ^[11]

${\displaystyle (i\not \nabla '-m)S_{F}(x',x)=I_{4}\delta ^{4}(x'-x),}$

где I ₄ — единичная матрица в четырех измерениях, и с использованием нотации Фейнмана с косой чертой . Это уравнение Дирака для источника дельта-функции в пространстве-времени. Используя представление импульса, уравнение становится $${\displaystyle S_{F}(x',x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}{\tilde {S}}_{F}(p),}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(i\not \nabla '-m)\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}(\not p-m){\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}I_{4}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&I_{4}\delta ^{4}(x'-x),\end{aligned}}}$

где в правой части используется интегральное представление четырехмерной дельта-функции. Таким образом,

${\displaystyle (\not p-mI_{4}){\tilde {S}}_{F}(p)=I_{4}.}$

Умножая слева на (исключая единичные матрицы из записи) и используя свойства гамма-матриц , $${\displaystyle (\not p+m)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\not p\not p&={\tfrac {1}{2}}(\not p\not p+\not p\not p)\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{\mu }p^{\mu }\gamma _{\nu }p^{\nu }+\gamma _{\nu }p^{\nu }\gamma _{\mu }p^{\mu })\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })p^{\mu }p^{\nu }\\[6pt]&=g_{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=p^{2},\end{aligned}}}$$

Установлено , что пропагатор импульсного пространства, используемый в диаграммах Фейнмана для поля Дирака , представляющего электрон в квантовой электродинамике, имеет вид

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={\frac {(\not p+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\frac {(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Iε внизу — это предписание, как обращаться с полюсами в комплексной плоскости p _0. Оно автоматически дает контур Фейнмана интегрирования , сдвигая полюса соответствующим образом. Иногда его записывают

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\varepsilon }={1 \over \not p-m+i\varepsilon }}$

для краткости. Следует помнить, что это выражение — просто сокращенная запись для ( γ _μ p ^μ − m ) ⁻¹ . В противном случае «один над матрицей» бессмысленно. В пространстве позиций имеем $${\displaystyle S_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}{\frac {\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}=\left({\frac {\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu }}{|x-y|^{5}}}+{\frac {m}{|x-y|^{3}}}\right)J_{1}(m|x-y|).}$$

Это связано с пропагатором Фейнмана

${\displaystyle S_{F}(x-y)=(i\not \partial +m)G_{F}(x-y)}$

где . ${\displaystyle \not \partial :=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$

Вращение 1

Пропагатор для калибровочного бозона в калибровочной теории зависит от выбора соглашения для фиксации калибровки. Для калибровки, используемой Фейнманом и Штюкельбергом , пропагатор для фотона равен

${\displaystyle {-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\varepsilon }.}$

Общая форма с параметром калибровки λ , с точностью до общего знака и множителя , имеет вид ${\displaystyle i}$

${\displaystyle -i{\frac {g^{\mu \nu }+\left(1-{\frac {1}{\lambda }}\right){\frac {p^{\mu }p^{\nu }}{p^{2}}}}{p^{2}+i\varepsilon }}.}$

Пропагатор для массивного векторного поля может быть получен из лагранжиана Штюкельберга. Общая форма с калибровочным параметром λ , с точностью до общего знака и множителя , читается как ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}+{\frac {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}{k^{2}-{\frac {m^{2}}{\lambda }}+i\varepsilon }}.}$

С помощью этих общих форм можно получить пропагаторы в унитарной калибровке для λ = 0 , пропагатор в калибровке Фейнмана или 'т Хоофта для λ = 1 и в калибровке Ландау или Лоренца для λ = ∞ . Существуют также другие обозначения, в которых параметр калибровки является обратным λ , обычно обозначаемым ξ (см. Калибровки R ξ ). Название пропагатора, однако, относится к его окончательной форме и не обязательно к значению параметра калибровки.

Унитарная колея:

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Калибровка Фейнмана (т'Хоофта):

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Калибр Ландау (Лоренца):

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Гравитонный пропагатор

Пропагатор гравитона для пространства Минковского в общей теории относительности равен ^[12] где — число измерений пространства-времени, — поперечный и бесследовый оператор проекции спина 2 , а — скалярный мультиплет спина 0. Пропагатор гравитона для (Анти)де Ситтера равен где — постоянная Хаббла . Обратите внимание, что при переходе к пределу и пропагатор AdS сводится к пропагатору Минковского. ^[13] $${\displaystyle G_{\alpha \beta ~\mu \nu }={\frac {{\mathcal {P}}_{\alpha \beta ~\mu \nu }^{2}}{k^{2}}}-{\frac {{\mathcal {P}}_{s}^{0}{}_{\alpha \beta ~\mu \nu }}{2k^{2}}}={\frac {g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu }+g_{\beta \mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {2}{D-2}}g_{\mu \nu }g_{\alpha \beta }}{k^{2}}},}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{s}^{0}}$ $${\displaystyle G={\frac {{\mathcal {P}}^{2}}{2H^{2}-\Box }}+{\frac {{\mathcal {P}}_{s}^{0}}{2(\Box +4H^{2})}},}$$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\to 0}$ ${\displaystyle \Box \to -k^{2}}$

Связанные сингулярные функции

Скалярные пропагаторы являются функциями Грина для уравнения Клейна–Гордона. Существуют связанные с ними сингулярные функции, которые важны в квантовой теории поля . Мы следуем обозначениям Бьёркена и Дрелла. ^[14] См. также Боголюбова и Ширкова (Приложение A). ^[15] Эти функции проще всего определить в терминах вакуумного среднего значения произведений полевых операторов.

Решения уравнения Клейна–Гордона

Функция Паули–Жордана

Коммутатор двух скалярных полевых операторов определяет функцию Паули – Жордана следующим образом ^{[16] [14]} ${\displaystyle \Delta (x-y)}$

${\displaystyle \langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle =i\,\Delta (x-y)}$

с

${\displaystyle \,\Delta (x-y)=G_{\text{ret}}(x-y)-G_{\text{adv}}(x-y)}$

Это удовлетворяет

${\displaystyle \Delta (x-y)=-\Delta (y-x)}$

и равен нулю, если . ${\displaystyle (x-y)^{2}<0}$

Положительные и отрицательные части частоты (обрезанные пропагаторы)

Мы можем определить положительные и отрицательные частотные части , иногда называемые пропагаторами разреза, релятивистски инвариантным способом. ${\displaystyle \Delta (x-y)}$

Это позволяет нам определить положительную частотную часть:

${\displaystyle \Delta _{+}(x-y)=\langle 0|\Phi (x)\Phi (y)|0\rangle ,}$

и отрицательная частотная часть:

${\displaystyle \Delta _{-}(x-y)=\langle 0|\Phi (y)\Phi (x)|0\rangle .}$

Они удовлетворяют ^[14]

${\displaystyle \,i\Delta =\Delta _{+}-\Delta _{-}}$

и

${\displaystyle (\Box _{x}+m^{2})\Delta _{\pm }(x-y)=0.}$

Вспомогательная функция

Антикоммутатор двух скалярных полевых операторов определяет функцию как ${\displaystyle \Delta _{1}(x-y)}$

${\displaystyle \langle 0|\left\{\Phi (x),\Phi (y)\right\}|0\rangle =\Delta _{1}(x-y)}$

с

${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{+}(x-y)+\Delta _{-}(x-y).}$

Это удовлетворяет ${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{1}(y-x).}$

Функции Грина для уравнения Клейна–Гордона

Определенные выше запаздывающий, опережающий и фейнмановский пропагаторы являются функциями Грина для уравнения Клейна–Гордона.

Они связаны с сингулярными функциями соотношением ^[14]

${\displaystyle G_{\text{ret}}(x-y)=\Delta (x-y)\Theta (x^{0}-y^{0})}$

${\displaystyle G_{\text{adv}}(x-y)=-\Delta (x-y)\Theta (y^{0}-x^{0})}$

${\displaystyle 2G_{F}(x-y)=-i\,\Delta _{1}(x-y)+\varepsilon (x^{0}-y^{0})\,\Delta (x-y)}$

где находится знак . ${\displaystyle \varepsilon (x^{0}-y^{0})}$ ${\displaystyle x^{0}-y^{0}}$

Смотрите также

• Исходное поле
• Формула снижения LSZ

Примечания

1. Математика уравнений в частных производных и волновое уравнение, стр. 32., Майкл П. Ламурё, Университет Калгари, Летняя школа по сейсмической визуализации, 7–11 августа 2006 г., Калгари.
2. Гл.: 9 Функции Грина, стр. 6., Дж. Пикок, АНАЛИЗ ФУРЬЕ КУРС ЛЕКЦИЙ: ЛЕКЦИЯ 15.
3. EU Condon, «Погружение преобразования Фурье в непрерывную группу функциональных преобразований», Proc. Natl. Acad. Sci. USA 23 , (1937) 158–164.
4. Вольфганг Паули , Волновая механика: Том 5 лекций Паули по физике (Dover Books on Physics, 2000) ISBN  0486414620. Раздел 44.
5. Колсруд, М. (1956). Точные квантовые динамические решения для систем типа осцилляторов, Physical Review 104 (4), 1186.
6. Шарф, Гюнтер (13 ноября 2012 г.). Конечная квантовая электродинамика, каузальный подход . Springer. стр. 89. ISBN 978-3-642-63345-4.
7. Фейнман, РП (2005), «Пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике», Тезис Фейнмана — Новый подход к квантовой теории , WORLD SCIENTIFIC, стр. 71–109, Bibcode : 2005ftna.book...71F, doi : 10.1142/9789812567635_0002, ISBN 978-981-256-366-8, получено 2022-08-17
8. Хуан, Керсон (1998). Квантовая теория поля: от операторов к интегралам по траекториям . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 30. ISBN 0-471-14120-8.
9. "Классическая теория излучения электронов". Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки . 167 (929): 148–169. 1938-08-05. doi :10.1098/rspa.1938.0124. ISSN  0080-4630. S2CID  122020006.
10. "Пропагатор Дирака в nLab". ncatlab.org . Получено 2023-11-08 .
11. Грейнер и Рейнхардт 2008, Гл.2
12. Квантовая теория гравитации library.uu.nl
13. «Пропагаторы гравитона и калибровочного бозона в AdSd+1» (PDF) .
14. Бьёркен, Джеймс Д.; Дрелл, Сидней Дэвид (1964). "Приложение C". Релятивистская квантовая механика . Международная серия по чистой и прикладной физике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill . ISBN 9780070054936.
15. Боголюбов, Н .; Ширков, Д.В. (1959). "Приложение А". Введение в теорию квантованных полей . Wiley-Interscience . ISBN 0-470-08613-0.
16. Паули, Вольфганг; Джордан, Паскуаль (1928). «Zur Quantenelektrodynamic ladungsfreier Felder». Zeitschrift für Physik . 47 (3–4): 151–173. Бибкод : 1928ZPhy...47..151J. дои : 10.1007/BF02055793. S2CID  120536476.

Ссылки

• Бьёркен, Дж.; Дрелл , С. (1965). Релятивистские квантовые поля . Нью-Йорк: McGraw-Hill . ISBN 0-07-005494-0.(Приложение С.)
• Боголюбов, Н .; Ширков, Д.В. (1959). Введение в теорию квантованных полей . Wiley-Interscience . ISBN 0-470-08613-0.(Особенно стр. 136–156 и Приложение А)
• DeWitt-Morette, C. ; DeWitt, B. (ред.). Относительность, группы и топология . Глазго: Blackie and Son . ISBN 0-444-86858-5.(раздел Динамическая теория групп и полей, особенно стр. 615–624)
• Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (2008). Квантовая электродинамика (4-е изд.). Springer Verlag . ISBN 9783540875604.
• Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (1996). Квантование поля . Springer Verlag. ISBN 9783540591795.
• Гриффитс, DJ (1987). Введение в элементарные частицы . Нью-Йорк: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-60386-4.
• Гриффитс, DJ (2004). Введение в квантовую механику . Верхняя Сэддл-Ривер: Prentice Hall . ISBN 0-131-11892-7.
• Холливелл, Дж. Дж.; Орвиц, М. (1993), «Происхождение законов композиции релятивистской квантовой механики и квантовой космологии из суммирования по историям», Physical Review D , 48 (2): 748–768, arXiv : gr-qc/9211004 , Bibcode : 1993PhRvD..48..748H, doi : 10.1103/PhysRevD.48.748, PMID  10016304, S2CID  16381314
• Хуан, Керсон (1998). Квантовая теория поля: от операторов к интегралам по траекториям . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-14120-8.
• Itzykson, C. ; Zuber, JB. (1980). Квантовая теория поля . Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-032071-3.
• Покорский, С. (1987). Теории калибровочного поля . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-36846-4. (В конце имеются полезные приложения с правилами построения диаграмм Фейнмана, включая пропагаторы.)
• Шульман, Л.С. (1981). Методы и применение интеграции путей . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-76450-7.
• Шарф, Г. (1995). Конечная квантовая электродинамика, причинный подход. Springer. ISBN 978-3-642-63345-4 . 

Внешние ссылки

• Три метода вычисления пропагатора Фейнмана