оператор Даламбера

Дифференциальный оператор второго порядка

В специальной теории относительности , электромагнетизме и волновой теории оператор Даламбера (обозначается квадратом: ), также называемый даламберианом , волновым оператором , оператором квадрата или иногда оператором кабла ^[1] ( ср . символ набла ) — это оператор Лапласа пространства Минковского . Оператор назван в честь французского математика и физика Жана Лерона Д'Аламбера . ${\displaystyle \Box }$

В пространстве Минковского в стандартных координатах ( t , x , y , z ) оно имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box &=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\Delta ~~.\end{aligned}}}$

Здесь — трехмерный Лапласиан , а η ^μν — обратная метрика Минковского с ${\displaystyle \nabla ^{2}:=\Delta }$

${\displaystyle \eta _{00}=1}$, , для . ${\displaystyle \eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=-1}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle \mu \neq \nu }$

Обратите внимание, что индексы суммирования μ и ν находятся в диапазоне от 0 до 3: см. обозначения Эйнштейна .

(Некоторые авторы в качестве альтернативы используют отрицательную метрическую сигнатуру ( − + + +) , с .) ${\displaystyle \eta _{00}=-1,\;\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=1}$

Преобразования Лоренца оставляют метрику Минковского инвариантной, поэтому даламбертиан дает скаляр Лоренца . Приведенные выше выражения для координат остаются справедливыми для стандартных координат в любой инерциальной системе отсчета.

Символ коробки и альтернативные обозначения

Существует множество обозначений для даламбертиана. Наиболее распространенными являются символ ящика ( Unicode : U+2610 ☐ BALLOT BOX ), четыре стороны которого представляют четыре измерения пространства-времени, и символ ящика-квадрата , который подчеркивает скалярное свойство через квадратный член (во многом подобно лапласиану ) . В соответствии с треугольной нотацией для лапласиана , иногда используется. ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Box ^{2}}$ ${\displaystyle \Delta _{M}}$

Другой способ записи даламбертиана в плоских стандартных координатах — . Эта нотация широко используется в квантовой теории поля , где частные производные обычно индексируются, поэтому отсутствие индекса у квадрата частной производной сигнализирует о наличии даламбертиана. ${\displaystyle \partial ^{2}}$

Иногда символ коробки используется для представления четырехмерной ковариантной производной Леви-Чивиты . Затем символ используется для представления пространственных производных, но это зависит от координатной карты . ${\displaystyle \nabla }$

Приложения

Волновое уравнение для малых колебаний имеет вид

${\displaystyle \Box _{c}u\left(x,t\right)\equiv u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0~,}$

где u ( x , t ) — смещение.

Волновое уравнение для электромагнитного поля в вакууме имеет вид

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0}$

где A ^μ — электромагнитный четырехпотенциал в калибровке Лоренца .

Уравнение Клейна–Гордона имеет вид

${\displaystyle \left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi =0~.}$

Функция Грина

Функция Грина , , для даламбертиана определяется уравнением ${\displaystyle G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$

${\displaystyle \Box G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)=\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$

где — многомерная дельта-функция Дирака , а — две точки в пространстве Минковского. ${\displaystyle \delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}'}$

Специальное решение дает запаздывающая функция Грина , которая соответствует распространению сигнала только вперед во времени ^[2]

${\displaystyle G\left({\vec {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi r}}\Theta (t)\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}$

где — ступенчатая функция Хевисайда . ${\displaystyle \Theta }$

Смотрите также

• Четырехградиентный
• Формула Даламбера
• Уравнение Клейна–Гордона
• Релятивистская теплопроводность
• исчисление Риччи
• Волновое уравнение

Ссылки

1. Бартельманн, Матиас; Фейербахер, Бьёрн; Крюгер, Тимм; Люст, Дитер; Ребхан, Антон; Випф, Андреас (2015). Theoretische Physik (изд. августа 2015 г.). Берлин, Гейдельберг. ISBN 978-3-642-54618-1. OCLC  899608232.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. S. Siklos. "Причинная функция Грина для волнового уравнения" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 30 ноября 2016 года . Получено 2 января 2013 года .

Внешние ссылки

• «Оператор Даламбера», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Пуанкаре, Анри (1906). Перевод: О динамике электрона (июль)  – через Wikisource ., первоначально напечатанный в Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo .
• Вайсштейн, Эрик В. "Д'Аламбериан". MathWorld .