оператор Лапласа

Дифференциальный оператор

В математике оператор Лапласа или лапласиан — это дифференциальный оператор , заданный дивергенцией градиента скалярной функции на евклидовом пространстве . Обычно он обозначается символами , (где — оператор набла ), или . В декартовой системе координат лапласиан задается суммой вторых частных производных функции по каждой независимой переменной . В других системах координат , таких как цилиндрические и сферические координаты , лапласиан также имеет полезную форму. Неформально, лапласиан Δ f  ( p ) функции f в точке p измеряет, насколько среднее значение f по малым сферам или шарам с центром в точке p отклоняется от f  ( p ) . ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \Delta }$

Оператор Лапласа назван в честь французского математика Пьера-Симона де Лапласа (1749–1827), который впервые применил оператор к изучению небесной механики : лапласиан гравитационного потенциала , обусловленного заданным распределением плотности массы, является постоянным кратным этого распределения плотности. Решения уравнения Лапласа Δ f = 0 называются гармоническими функциями и представляют возможные гравитационные потенциалы в областях вакуума .

Лапласиан встречается во многих дифференциальных уравнениях, описывающих физические явления. Уравнение Пуассона описывает электрический и гравитационный потенциалы ; уравнение диффузии описывает поток тепла и жидкости ; волновое уравнение описывает распространение волн ; а уравнение Шредингера описывает волновую функцию в квантовой механике . В обработке изображений и компьютерном зрении оператор Лапласа использовался для различных задач, таких как обнаружение пятен и краев . Лапласиан является простейшим эллиптическим оператором и лежит в основе теории Ходжа , а также результатов когомологий де Рама .

Определение

Оператор Лапласа — это дифференциальный оператор второго порядка в n -мерном евклидовом пространстве , определяемый как дивергенция ( ) градиента ( ). Таким образом, если — дважды дифференцируемая действительная функция , то лапласиан — это действительная функция, определяемая как: ${\displaystyle \nabla \cdot }$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

где последние обозначения вытекают из формальной записи: Таким образом, лапласиан функции f представляет собой сумму всех несмешанных вторых частных производных в декартовых координатах x _i : $${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).}$$

Как дифференциальный оператор второго порядка, оператор Лапласа отображает функции C k в функции C ^{k −2} для k ≥ 2. Это линейный оператор Δ : C ^k ( R ⁿ ) → C ^{k −2} ( R ⁿ ) или, в более общем смысле, оператор Δ : C ^k (Ω) → C ^{k −2} (Ω) для любого открытого множества Ω ⊆ R ⁿ .

Мотивация

Диффузия

В физической теории диффузии оператор Лапласа естественным образом возникает при математическом описании равновесия . ^[1] В частности, если u — плотность в равновесии некоторой величины, такой как химическая концентрация, то чистый поток u через границу ∂ V (также называемую S ) любой гладкой области V равен нулю, при условии, что внутри V нет источника или стока : где n — внешняя единица, нормальная к границе V . По теореме о расходимости , $${\displaystyle \int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,}$$ $${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}$$

Поскольку это справедливо для всех гладких областей V , можно показать, что это подразумевает: Левая часть этого уравнения — оператор Лапласа, а все уравнение Δ u = 0 известно как уравнение Лапласа . Решения уравнения Лапласа, т. е. функции, лапласиан которых тождественно равен нулю, таким образом, представляют возможные равновесные плотности при диффузии. $${\displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.}$$

Сам оператор Лапласа имеет физическую интерпретацию для неравновесной диффузии как степени, в которой точка представляет собой источник или сток химической концентрации, в смысле, уточненном уравнением диффузии . Эта интерпретация Лапласа также объясняется следующим фактом о средних значениях.

Средние значения

Если задана дважды непрерывно дифференцируемая функция и точка , то среднее значение по шару с радиусом в центре равно: ^[2] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0}$$

Аналогично, среднее значение по сфере (границе шара) с радиусом в центре равно: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0.}$$

Плотность, связанная с потенциалом

Если φ обозначает электростатический потенциал, связанный с распределением заряда q , то само распределение заряда задается отрицательным значением лапласиана φ : где ε ₀ — электрическая постоянная . $${\displaystyle q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,}$$

Это следствие закона Гаусса . Действительно, если V — любая гладкая область с границей ∂ V , то по закону Гаусса поток электростатического поля E через границу пропорционален заключенному в ней заряду: где первое равенство обусловлено теоремой о расходимости . Поскольку электростатическое поле — это (отрицательный) градиент потенциала, это дает: $${\displaystyle \int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$ $${\displaystyle -\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$

Поскольку это справедливо для всех регионов V , мы должны иметь $${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q}$$

Тот же подход подразумевает, что отрицание Лапласа гравитационного потенциала является распределением массы . Часто распределение заряда (или массы) задано, а связанный с ним потенциал неизвестен. Нахождение потенциальной функции при соответствующих граничных условиях эквивалентно решению уравнения Пуассона .

Минимизация энергии

Другой мотивацией появления Лапласа в физике является то, что решения Δ f = 0 в области U являются функциями, которые делают функционал энергии Дирихле стационарным : $${\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx.}$$

Чтобы увидеть это, предположим, что f  : U → R — функция, а u  : U → R — функция, которая обращается в нуль на границе U. Тогда: $${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx}$$

где последнее равенство следует из первого тождества Грина . Это вычисление показывает, что если Δ f = 0 , то E стационарно вокруг f . Наоборот, если E стационарно вокруг f , то Δ f = 0 по фундаментальной лемме вариационного исчисления .

Координатные выражения

Два измерения

Оператор Лапласа в двух измерениях задается выражением:

В декартовых координатах , где x и y — стандартные декартовы координаты плоскости xy . $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$$

В полярных координатах , где r представляет собой радиальное расстояние, а θ — угол. $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}}$$

Три измерения

В трехмерном пространстве принято работать с лапласианом в различных системах координат.

В декартовых координатах , $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

В цилиндрических координатах , где представляет собой радиальное расстояние, φ — азимутальный угол, а z — высоту. $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}$$ ${\displaystyle \rho }$

В сферических координатах : или путем раскрытия первого и второго члена эти выражения записываются так, где φ представляет азимутальный угол , а θ — зенитный угол или кошироту . $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\left(\cos \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}+\sin \theta {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$

В общих криволинейных координатах ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ): $${\displaystyle \Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),}$$

где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам , g ^mn — обратный метрический тензор , а Γ ^l _mn — символы Кристоффеля для выбранных координат.

Нразмеры

В произвольных криволинейных координатах в N измерениях ( ξ ¹ , ..., ξ ^N ) мы можем записать лапласиан через обратный метрический тензор , : из формулы Фосса- Вейля ^[3] для дивергенции . ${\displaystyle g^{ij}}$ $${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\left({\sqrt {\det g}}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\right),}$$

В сферических координатах в N измерениях с параметризацией x = rθ ∈ RN ^, где r представляет собой положительный действительный радиус, а θ — элемент единичной сферы S ^{N −1} , где Δ _{S ^{N −1}} — оператор Лапласа–Бельтрами на ( N − 1) -сфере, известный как сферический лапласиан. Два радиальных производных члена можно эквивалентно переписать как: $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right).}$$

Как следствие, сферический лапласиан функции, определенной на S ^{N −1} ⊂ RN ^, можно вычислить как обычный лапласиан функции, расширенной на RN ^∖ {0} так, чтобы он был постоянным вдоль лучей, т.е. однородным степени нуль.

Евклидова инвариантность

Лапласиан инвариантен относительно всех евклидовых преобразований : вращений и переносов . Например, в двух измерениях это означает, что: для всех θ , a и b . В произвольных измерениях, когда ρ является вращением, и аналогично: когда τ является переносом. (В более общем смысле, это остается верным, когда ρ является ортогональным преобразованием, таким как отражение .) $${\displaystyle \Delta (f(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b))=(\Delta f)(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b)}$$ $${\displaystyle \Delta (f\circ \rho )=(\Delta f)\circ \rho }$$ $${\displaystyle \Delta (f\circ \tau )=(\Delta f)\circ \tau }$$

Фактически, алгебра всех скалярных линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, коммутирующих со всеми евклидовыми преобразованиями, представляет собой алгебру полиномов, порожденную оператором Лапласа.

Спектральная теория

Спектр оператора Лапласа состоит из всех собственных значений λ , для которых существует соответствующая собственная функция f с: $${\displaystyle -\Delta f=\lambda f.}$$

Это известно как уравнение Гельмгольца .

Если Ω — ограниченная область в R ⁿ , то собственные функции лапласиана являются ортонормированным базисом для гильбертова пространства L ² (Ω) . Этот результат по существу следует из спектральной теоремы о компактных самосопряженных операторах , примененной к обратному оператору лапласиана (который является компактным по неравенству Пуанкаре и теореме Реллиха–Кондрахова ). ^[4] Можно также показать, что собственные функции являются бесконечно дифференцируемыми функциями. ^[5] В более общем случае эти результаты справедливы для оператора Лапласа–Бельтрами на любом компактном римановом многообразии с границей или, в действительности, для задачи Дирихле на собственные значения любого эллиптического оператора с гладкими коэффициентами на ограниченной области. Когда Ω — n -сфера , собственными функциями лапласиана являются сферические гармоники .

Векторный Лапласиан

Векторный оператор Лапласа , также обозначаемый как , является дифференциальным оператором, определенным над векторным полем . ^[6] Векторный лапласиан похож на скалярный лапласиан; в то время как скалярный лапласиан применяется к скалярному полю и возвращает скалярную величину, векторный лапласиан применяется к векторному полю , возвращая векторную величину. При вычислении в ортонормальных декартовых координатах возвращаемое векторное поле равно векторному полю скалярного лапласиана, примененного к каждому компоненту вектора. ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Векторный лапласиан векторного поля определяется как Это определение можно рассматривать как разложение Гельмгольца векторного лапласиана. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}$$

В декартовых координатах это сводится к гораздо более простой форме, где , , и являются компонентами векторного поля , а слева от каждой компоненты векторного поля находится (скалярный) оператор Лапласа. Можно видеть, что это частный случай формулы Лагранжа; см. Вектор тройного произведения . $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z}),}$$ ${\displaystyle A_{x}}$ ${\displaystyle A_{y}}$ ${\displaystyle A_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Выражения векторного Лапласа в других системах координат см. в разделе Del в цилиндрических и сферических координатах .

Обобщение

Лапласиан любого тензорного поля (тензор включает скаляр и вектор) определяется как дивергенция градиента тензора: ${\displaystyle \mathbf {T} }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} .}$$

Для особого случая, когда — скаляр (тензор нулевой степени), лапласиан принимает знакомую форму. ${\displaystyle \mathbf {T} }$

Если — вектор (тензор первой степени), градиент — ковариантная производная , которая приводит к тензору второй степени, а дивергенция этого — снова вектор. Формула для векторного лапласиана выше может быть использована, чтобы избежать тензорной математики, и может быть показано, что она эквивалентна дивергенции матрицы Якоби , показанной ниже для градиента вектора: ${\displaystyle \mathbf {T} }$ $${\displaystyle \nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z})={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}},{\text{ where }}T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{u}}{\partial v}}.}$$

И, таким же образом, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор 2-й степени), которое вычисляется как вектор, можно рассматривать как произведение матриц: это тождество является результатом, зависящим от координат, и не является общим. $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}.}$$

Использование в физике

Примером использования векторного лапласиана являются уравнения Навье-Стокса для ньютоновского несжимаемого потока : где член с векторным лапласианом поля скорости представляет вязкие напряжения в жидкости. $${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right),}$$ ${\displaystyle \mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)}$

Другим примером является волновое уравнение для электрического поля, которое можно вывести из уравнений Максвелла при отсутствии зарядов и токов: $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0.}$$

Это уравнение можно также записать как: где — даламбертиан , используемый в уравнении Клейна–Гордона . $${\displaystyle \Box \,\mathbf {E} =0,}$$ $${\displaystyle \Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2},}$$

Обобщения

Версия Лапласа может быть определена везде, где функционал энергии Дирихле имеет смысл, что является теорией форм Дирихле . Для пространств с дополнительной структурой можно дать более явные описания Лапласа, как показано ниже.

Оператор Лапласа-Бельтрами

Лапласиан также может быть обобщен до эллиптического оператора, называемого оператором Лапласа–Бельтрами, определенного на римановом многообразии . Оператор Лапласа–Бельтрами, примененный к функции, является следом ( tr ) гессиана функции : где след берется относительно обратного метрического тензора . Оператор Лапласа–Бельтрами также может быть обобщен до оператора (также называемого оператором Лапласа–Бельтрами), который действует на тензорные поля , по аналогичной формуле. $${\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}}$$

Другое обобщение оператора Лапласа, доступное на псевдоримановых многообразиях, использует внешнюю производную , в терминах которой «лапласиан геометра» выражается как $${\displaystyle \Delta f=\delta df.}$$

Здесь δ — кодифференциал , который также может быть выражен через звезду Ходжа и внешнюю производную. Этот оператор отличается по знаку от «лапласиана аналитика», определенного выше. В более общем смысле, лапласиан «Ходжа» определяется на дифференциальных формах α как $${\displaystyle \Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .}$$

Это известно как оператор Лапласа–де Рама , который связан с оператором Лапласа–Бельтрами тождеством Вайтценбека .

Д'Аламберян

Лапласиан можно обобщить некоторыми способами на неевклидовы пространства, где он может быть эллиптическим , гиперболическим или ультрагиперболическим .

В пространстве Минковского оператор Лапласа –Бельтрами становится оператором Даламбера или даламбертианом: ${\displaystyle \Box }$ $${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$

Это обобщение оператора Лапласа в том смысле, что это дифференциальный оператор, который инвариантен относительно группы изометрий базового пространства, и он сводится к оператору Лапласа, если ограничен не зависящими от времени функциями. Общий знак метрики здесь выбран таким образом, что пространственные части оператора допускают отрицательный знак, что является обычным соглашением в физике частиц высоких энергий . Оператор Даламбера также известен как волновой оператор, поскольку он является дифференциальным оператором, появляющимся в волновых уравнениях , и он также является частью уравнения Клейна–Гордона , которое сводится к волновому уравнению в безмассовом случае.

Дополнительный фактор c в метрике необходим в физике, если пространство и время измеряются в разных единицах; аналогичный фактор потребовался бы, если бы, например, направление x измерялось в метрах, а направление y — в сантиметрах. Действительно, физики-теоретики обычно работают в таких единицах, что c = 1 , чтобы упростить уравнение.

Оператор Даламбера обобщается до гиперболического оператора на псевдоримановых многообразиях .

Смотрите также

• Оператор Лапласа–Бельтрами , обобщение на подмногообразия в евклидовом пространстве, римановом и псевдоримановом многообразии.
• Лапласиан в дифференциальной геометрии .
• Дискретный оператор Лапласа является конечно-разностным аналогом непрерывного лапласиана, определенным на графах и сетках.
• Лапласиан — это распространенный оператор в обработке изображений и компьютерном зрении (см. Лапласиан Гаусса , детектор пятен и масштабное пространство ).
• Список формул римановой геометрии содержит выражения для лапласиана через символы Кристоффеля.
• Лемма Вейля (уравнение Лапласа) .
• Теорема Ирншоу , показывающая, что устойчивый статический гравитационный, электростатический или магнитный подвес невозможен.
• Дель в цилиндрических и сферических координатах .
• Другими ситуациями, в которых определяется лапласиан, являются: анализ фракталов , исчисление временной шкалы и дискретное внешнее исчисление .

Примечания

1. Эванс 1998, §2.2
2. Овалл, Джеффри С. (2016-03-01). «Лапласиан и средние и экстремальные значения» (PDF) . The American Mathematical Monthly . 123 (3): 287–291. doi :10.4169/amer.math.monthly.123.3.287. S2CID  124943537.
3. Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Grinfeld, Pavel (16 апреля 2014 г.). "Формула Фосса-Вейля". YouTube . Получено 9 января 2018 г. .
4. Гилбарг и Трудингер 2001, Теорема 8.6
5. Гилбарг и Трудингер 2001, Следствие 8.11
6. MathWorld. «Векторный Лапласиан».

Ссылки

• Эванс, Л. (1998), Уравнения с частными производными , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0772-9
• Лекции Фейнмана по физике, том II, гл. 12: Электростатические аналоги
• Гилбарг, Д.; Трудингер, Н. (2001), Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка , Springer, ISBN 978-3-540-41160-4.
• Шей, Х. М. (1996), Div, Grad, Curl и все такое , WW Norton, ISBN 978-0-393-96997-9.

Дальнейшее чтение

• Лапласиан - Ричард Фицпатрик 2006

Внешние ссылки

• «Оператор Лапласа», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Лапласиан». MathWorld .
• Вывод Лапласа в полярных координатах
• Уравнения Лапласа на фрактальных кубах и эффект Казимира