Теория Ходжа

Математическая теория многообразий

В математике теория Ходжа , названная в честь В.В.Д. Ходжа , представляет собой метод изучения групп когомологий гладкого многообразия M с использованием уравнений в частных производных . Ключевое наблюдение состоит в том, что для римановой метрики на M каждый класс когомологий имеет канонического представителя , дифференциальную форму , которая обращается в нуль под действием оператора Лапласа метрики. Такие формы называются гармоническими .

Теория была разработана Ходжем в 1930-х годах для изучения алгебраической геометрии и основывалась на работах Жоржа де Рама о когомологиях де Рама . Он имеет основные применения в двух случаях: римановых многообразиях и кэлеровых многообразиях . Основная мотивация Ходжа — изучение сложных проективных многообразий — связана с последним случаем. Теория Ходжа стала важным инструментом в алгебраической геометрии, особенно благодаря ее связи с изучением алгебраических циклов .

Хотя теория Ходжа по своей сути зависит от действительных и комплексных чисел , ее можно применять к вопросам теории чисел . В арифметических ситуациях инструменты p -адической теории Ходжа дали альтернативные доказательства или результаты, аналогичные классической теории Ходжа.

История

В 1920-х годах область алгебраической топологии еще зарождалась. В нем еще не было развито понятие когомологий , а взаимодействие между дифференциальными формами и топологией было плохо изучено. В 1928 году Эли Картан опубликовал заметку « Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos» , в которой он предположил — но не доказал — что дифференциальные формы и топология должны быть связаны. Прочитав ее, Жорж де Рам, тогда еще студент, был вдохновлен. В своей диссертации 1931 года он доказал результат, который теперь называется теоремой де Рама . По теореме Стокса интегрирование дифференциальных форм по сингулярным цепям индуцирует для любого компактного гладкого многообразия M билинейное спаривание

${\displaystyle H_{k}(M;\mathbf {R} )\times H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} )\to \mathbf {R} .}$

Как первоначально утверждалось, ^[1] теорема де Рама утверждает, что это идеальное спаривание , и что, следовательно, каждый из терминов в левой части является двойственным друг другу в векторном пространстве. На современном языке теорему де Рама чаще формулируют как утверждение о том, что сингулярные когомологии с действительными коэффициентами изоморфны когомологиям де Рама:

${\displaystyle H_{\text{sing}}^{k}(M;\mathbf {R} )\cong H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} ).}$

Тогда исходное утверждение Де Рама является следствием того факта, что над вещественными числами сингулярные когомологии двойственны сингулярным гомологиям.

Отдельно в статье Соломона Лефшеца 1927 года топологические методы использовались для доказательства теорем Римана . ^[2] Говоря современным языком, если ω ₁ и ω ₂ являются голоморфными дифференциалами на алгебраической кривой C , то их клиновое произведение обязательно равно нулю, поскольку C имеет только одно комплексное измерение; следовательно, чашечное произведение их классов когомологий равно нулю, и когда это было ясно указано, это дало Лефшецу новое доказательство соотношений Римана . Кроме того, если ω — ненулевой голоморфный дифференциал, то это форма положительного объема, из которой Лефшец смог перевывести неравенства Римана. В 1929 году WVD Ходж узнал о статье Лефшеца. Он сразу заметил, что аналогичные принципы применимы и к алгебраическим поверхностям. Точнее, если ω — ненулевая голоморфная форма на алгебраической поверхности, то она положительна, поэтому чашечное произведение и должно быть ненулевым. Отсюда следует, что сама ω должна представлять ненулевой класс когомологий, поэтому все ее периоды не могут быть равны нулю. Это решило вопрос Севери. ^[3] ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$

Ходж считал, что эти методы должны быть применимы и к многомерным многообразиям. Его коллега Питер Фрейзер рекомендовал ему диссертацию де Рама. Читая диссертацию де Рама, Ходж понял, что действительная и мнимая части голоморфной 1-формы на римановой поверхности в некотором смысле двойственны друг другу. Он подозревал, что подобная двойственность должна существовать и в более высоких измерениях; эта двойственность теперь известна как звездный оператор Ходжа . Далее он предположил, что каждый класс когомологий должен иметь выдающегося представителя, обладающего свойством, что и он, и его двойственный класс исчезают под действием внешнего оператора производной; теперь они называются гармоническими формами. Этой проблеме Ходж посвятил большую часть 1930-х годов. Его самая ранняя опубликованная попытка доказательства появилась в 1933 году, но он считал ее «крайне грубой». Герман Вейль , один из самых блестящих математиков той эпохи, оказался не в состоянии определить, правильно ли доказательство Ходжа или нет. В 1936 году Ходж опубликовал новое доказательство. Хотя Ходж считал новое доказательство гораздо более совершенным, Боненблюст обнаружил серьезный недостаток. Независимо Герман Вейль и Кунихико Кодайра изменили доказательство Ходжа, чтобы исправить ошибку. Это установило искомый Ходжем изоморфизм между гармоническими формами и классами когомологий.

Оглядываясь назад, становится ясно, что технические трудности, связанные с теоремой существования, на самом деле не требовали каких-либо существенных новых идей, а лишь тщательного расширения классических методов. Настоящая новинка, которая стала главным вкладом Ходжа, заключалась в концепции гармонических интегралов и их значении для алгебраической геометрии. Этот триумф концепции над техникой напоминает аналогичный эпизод в творчестве великого предшественника Ходжа Бернхарда Римана.

- М. Ф. Атья , Уильям Валланс Дуглас Ходж, 17 июня 1903 г. - 7 июля 1975 г., Биографические мемуары членов Королевского общества , том. 22, 1976, стр. 169–192.

Теория Ходжа для реальных многообразий

Когомологии Де Рама

Теория Ходжа ссылается на комплекс де Рама . Пусть M — гладкое многообразие . Для неотрицательного целого числа k пусть Ω ^k ( M ) будет вещественным векторным пространством гладких дифференциальных форм степени k на M . Комплекс де Рама — это последовательность дифференциальных операторов

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\xrightarrow {d_{0}} \Omega ^{1}(M)\xrightarrow {d_{1}} \cdots \xrightarrow {d_{n-1}} \Omega ^{n}(M)\xrightarrow {d_{n}} 0,}$

где dk обозначает внешнюю производную на ^Ωk ₍ M ) . Это коцепной комплекс в том смысле, что d _{k +1} ∘ d _k = 0 (также пишется d ² = 0 ). Теорема Де Рама гласит, что сингулярные когомологии M с действительными коэффициентами вычисляются с помощью комплекса де Рама:

${\displaystyle H^{k}(M,\mathbf {R} )\cong {\frac {\ker d_{k}}{\operatorname {im} d_{k-1}}}.}$

Операторы в теории Ходжа

Выберите риманову метрику g на M и напомните, что:

${\displaystyle \Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge \nolimits ^{k}T^{*}(M)\right).}$

Метрика дает внутренний продукт на каждом слое путем расширения (см. матрицу Грама ) внутреннего продукта, индуцированного g от каждого кокасательного слоя, до его внешнего продукта : . Внутренний продукт затем определяется как интеграл поточечного внутреннего продукта данной пары k -форм над M относительно формы объема, связанной с g . Явно, учитывая некоторые из имеющихся у нас ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))}$ ${\displaystyle T_{p}^{*}(M)}$ ${\displaystyle k^{th}}$ ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \omega ,\tau \in \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle (\omega ,\tau )\mapsto \langle \omega ,\tau \rangle :=\int _{M}\langle \omega (p),\tau (p)\rangle _{p}\sigma .}$

Естественно, указанное выше скалярное произведение индуцирует норму, если эта норма конечна на некоторой фиксированной k -форме:

${\displaystyle \langle \omega ,\omega \rangle =\|\omega \|^{2}<\infty ,}$

тогда подынтегральная функция представляет собой вещественнозначную, интегрируемую с квадратом функцию на M , вычисляемую в данной точке через ее поточечные нормы,

${\displaystyle \|\omega (p)\|_{p}:M\to \mathbf {R} \in L^{2}(M).}$

Рассмотрим сопряженный оператор d относительно этих скалярных произведений :

${\displaystyle \delta :\Omega ^{k+1}(M)\to \Omega ^{k}(M).}$

Тогда лапласиан на формах определяется формулой

${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d.}$

Это линейный дифференциальный оператор второго порядка, обобщающий лапласиан для функций ^на Rn . По определению форма на M является гармонической , если ее лапласиан равен нулю:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.}$

Лапласиан впервые появился в математической физике . В частности, уравнения Максвелла говорят, что электромагнитное поле в вакууме, то есть при отсутствии каких-либо зарядов, представлено 2-формой F такой, что Δ F = 0 в пространстве-времени, рассматриваемом как пространство Минковского размерности 4.

Любая гармоническая форма α на замкнутом римановом многообразии замкнута , т. е. dα = 0 . В результате имеется каноническое отображение . Теорема Ходжа утверждает, что это изоморфизм векторных пространств. ^[4] Другими словами, каждый действительный класс когомологий на M имеет уникального гармонического представителя. ^{Конкретно} , гармонический представитель — это единственная замкнутая форма минимальной нормы L2 , которая представляет данный класс когомологий. Теорема Ходжа была доказана с использованием теории эллиптических уравнений в частных производных, а первоначальные аргументы Ходжа были завершены Кодайрой и другими в 1940-х годах. ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\to H^{k}(M,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \varphi }$

Например, из теоремы Ходжа следует, что группы когомологий с вещественными коэффициентами замкнутого многообразия конечномерны . (Правда, есть и другие способы доказать это.) Действительно, операторы ∆ эллиптические, и ядро ​​эллиптического оператора на замкнутом многообразии всегда является конечномерным векторным пространством. Другое следствие теоремы Ходжа состоит в том, что риманова метрика на замкнутом многообразии M определяет вещественнозначный скалярный продукт на целых когомологиях M по модулю кручения . Отсюда, например, следует, что образ группы изометрий M в общей линейной группе GL ( H ^∗ ( M , Z )) конечен (поскольку группа изометрий решетки конечна ).

Вариантом теоремы Ходжа является разложение Ходжа . Это говорит о том, что существует единственное разложение любой дифференциальной формы ω на замкнутом римановом многообразии в сумму трех частей в виде

${\displaystyle \omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma ,}$

в котором γ является гармоническим: Δ γ = 0 . ^[5] С точки зрения метрики L ² на дифференциальных формах это дает разложение в ортогональную прямую сумму :

${\displaystyle \Omega ^{k}(M)\cong \operatorname {im} d_{k-1}\oplus \operatorname {im} \delta _{k+1}\oplus {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M).}$

Разложение Ходжа является обобщением разложения Гельмгольца для комплекса де Рама.

Теория Ходжа эллиптических комплексов

Атья и Ботт определили эллиптические комплексы как обобщение комплекса де Рама. Теорема Ходжа распространяется на этот случай следующим образом. Пусть – векторные расслоения , снабженные метрикой, на замкнутом гладком многообразии M с формой объема  dV . Предположим, что ${\displaystyle E_{0},E_{1},\ldots ,E_{N}}$

${\displaystyle L_{i}:\Gamma (E_{i})\to \Gamma (E_{i+1})}$

являются линейными дифференциальными операторами , действующими на сечениях C ∞ этих векторных расслоений, и что индуцированная последовательность

${\displaystyle 0\to \Gamma (E_{0})\to \Gamma (E_{1})\to \cdots \to \Gamma (E_{N})\to 0}$

представляет собой эллиптический комплекс. Введем прямые суммы:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}^{\bullet }&=\bigoplus \nolimits _{i}\Gamma (E_{i})\\L&=\bigoplus \nolimits _{i}L_{i}:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {E}}^{\bullet }\end{aligned}}}$

и пусть L ^∗ — сопряженный к L . Определим эллиптический оператор ∆ = LL ^∗ + L ^∗ L . Как и в случае де Рама, это дает векторное пространство гармонических сечений

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{e\in {\mathcal {E}}^{\bullet }\mid \Delta e=0\}.}$

Пусть – ортогональный проектор, а G – оператор Грина для ∆. Тогда теорема Ходжа утверждает следующее: ^[6] ${\displaystyle H:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {H}}}$

1. H и G четко определены.
2. Id = Ч + Δ G = Ч + G Δ
3. LG = GL , L ^* G = GL ^*
4. Когомологии комплекса канонически изоморфны пространству гармонических сечений в том смысле, что каждый класс когомологий имеет единственного гармонического представителя. ${\displaystyle H(E_{j})\cong {\mathcal {H}}(E_{j})}$

В этой ситуации также имеет место разложение Ходжа, обобщающее приведенное выше утверждение для комплекса де Рама.

Теория Ходжа для комплексных проективных многообразий

Пусть X — гладкое комплексное проективное многообразие, т. е. X — замкнутое комплексное подмногообразие некоторого комплексного проективного пространства CP ^N . По теореме Чоу комплексные проективные многообразия автоматически являются алгебраическими : они определяются обращением в нуль однородных полиномиальных уравнений на CP ^N. Стандартная риманова метрика на CP ^N индуцирует риманову метрику на X , которая имеет сильную совместимость с комплексной структурой, что делает X кэлеровым многообразием .

Для комплексного многообразия X и натурального числа r каждая C ∞ r -форма на X (с комплексными коэффициентами) может быть записана однозначно как сумма форм типа ( p , q ) с p + q = r , то есть форм, которые локально может быть записано как конечная сумма членов, причем каждый член принимает вид

${\displaystyle f\,dz_{1}\wedge \cdots \wedge dz_{p}\wedge d{\overline {w_{1}}}\wedge \cdots \wedge d{\overline {w_{q}}}}$

с функцией f a C ^{∞ и} голоморфными _{функциями} z _s и w . На кэлеровом многообразии компоненты ( p , q ) гармонической формы снова гармоничны. Следовательно, для любого компактного кэлерова многообразия X теорема Ходжа дает разложение когомологий X с комплексными коэффициентами в прямую сумму комплексных векторных пространств: ^[7]

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X).}$

Фактически это разложение не зависит от выбора кэлеровой метрики (но для общего компактного комплексного многообразия аналогичного разложения не существует). С другой стороны, разложение Ходжа действительно зависит от структуры X как комплексного многообразия, тогда как группа H ^r ( X , C ) зависит только от основного топологического пространства X.

Взятие клиновых произведений этих гармонических представителей соответствует произведению чашки в когомологиях, поэтому произведение чашки с комплексными коэффициентами совместимо с разложением Ходжа:

${\displaystyle \smile \colon H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).}$

Кусок H ^{p , q} ( X ) разложения Ходжа можно отождествить с группой когерентных пучков когомологий , которая зависит только от X как комплексного многообразия (а не от выбора кэлеровой метрики): ^[8]

${\displaystyle H^{p,q}(X)\cong H^{q}(X,\Omega ^{p}),}$

где Ω ^p обозначает пучок голоморфных p -форм на X . Например, Hp ^{, 0} ( X ) — пространство голоморфных ^p - форм на X. (Если X проективно, из теоремы Серра GAGA следует, что голоморфная p -форма на всем X фактически является алгебраической.)

С другой стороны, интеграл можно записать как верхнее произведение класса гомологии Z и класса когомологий, представленного . В соответствии с двойственностью Пуанкаре класс гомологии Z двойственен классу когомологий, который мы назовем [ Z ], и произведение шапки можно вычислить, взяв чашечное произведение [ Z ] и α и закрыв его фундаментальным классом X . ${\displaystyle \alpha }$

Поскольку [ Z ] — класс когомологий, он имеет разложение Ходжа. Согласно вычислениям, которые мы провели выше, если мы объединим этот класс с любым классом типа , мы получим ноль. Потому что мы заключаем, что [ Z ] должно лежать в . ${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$ ${\displaystyle H^{2n}(X,\mathbb {C} )=H^{n,n}(X)}$ ${\displaystyle H^{n-k,n-k}(X)}$

Число Ходжа hp ^{, q} ( ^X ) означает размерность комплексного векторного ^{пространства} Hp ^{. q} ( ​​Икс ). Это важные инварианты гладкого комплексного проективного многообразия; они не меняются, когда комплексная структура X непрерывно меняется, и все же они, вообще говоря, не являются топологическими инвариантами. Среди свойств чисел Ходжа — симметрия Ходжа h ^{p , q} = h ^{q , p} (поскольку H ^{p , q} ( X ) является комплексно-сопряженным числом H q ^{, p (} X ) ) и h ^{p , q} = h ^{n - p , n − q} (по двойственности Серра ).

Числа Ходжа гладкого комплексного проективного многообразия (или компактного кэлерова многообразия) можно перечислить в ромбе Ходжа (показано в случае комплексной размерности 2):

Например, каждая гладкая проективная кривая рода g имеет ромб Ходжа .

Другой пример: каждая поверхность K3 имеет ромб Ходжа.

Числа Бетти X представляют собой сумму чисел Ходжа в данной строке . Основное применение теории Ходжа состоит в том, что нечетные числа Бетти b _{2 a +1} гладкого комплексного проективного многообразия (или компактного кэлерова многообразия) четны в силу симметрии Ходжа. Это неверно для компактных комплексных многообразий вообще, как показано на примере ^{поверхности} Хопфа , которая диффеоморфна S1 × S3 и, следовательно ^, имеет b1 = ₁ .

«Пакет Кэлера» представляет собой мощный набор ограничений на когомологии гладких комплексных проективных многообразий (или компактных кэлеровых многообразий), основанный на теории Ходжа. Результаты включают в себя теорему Лефшеца о гиперплоскости , жесткую теорему Лефшеца и билинейные отношения Ходжа-Римана . ^[9] Многие из этих результатов следуют из фундаментальных технических инструментов, которые могут быть доказаны для компактных кэлеровых многообразий с использованием теории Ходжа, включая тождества Кэлера и -лемму . ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Теория Ходжа и ее расширения, такие как неабелева теория Ходжа, также дают сильные ограничения на возможные фундаментальные группы компактных кэлеровых многообразий.

Алгебраические циклы и гипотеза Ходжа

Пусть X — гладкое комплексное проективное многообразие. Комплексное подмногообразие Y в X коразмерности p определяет элемент группы когомологий . Более того, полученный класс обладает особым свойством: его образ в комплексных когомологиях лежит в средней части разложения Ходжа . Гипотеза Ходжа предсказывает обратное: каждый элемент, образ которого в комплексных когомологиях лежит в подпространстве, должен иметь положительное целое кратное, которое представляет собой -линейную комбинацию классов комплексных подмногообразий X . (Такая линейная комбинация называется алгебраическим циклом на X. ) ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$ ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Важным моментом является то, что разложение Ходжа — это разложение когомологий с комплексными коэффициентами, которое обычно не получается из разложения когомологий с целыми (или рациональными) коэффициентами. В результате пересечение

${\displaystyle (H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$

может быть намного меньше, чем кручение всей группы , даже если число Ходжа велико. Короче говоря, гипотеза Ходжа предсказывает, что возможные «формы» комплексных подмногообразий X ( как описывается когомологиями) определяются структурой Ходжа X (комбинацией целых когомологий с разложением Ходжа комплексных когомологий). ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/}$ ${\displaystyle h^{p,p}}$

Теорема Лефшеца (1,1) утверждает, что гипотеза Ходжа верна при p = 1 (даже в целом, то есть без необходимости использования положительного целого кратного в формулировке).

Структура Ходжа многообразия X описывает интегралы от алгебраических дифференциальных форм на X по классам гомологии в X . В этом смысле теория Ходжа связана с основной проблемой исчисления : вообще не существует «формулы» для интеграла алгебраической функции . В частности, трансцендентными числами могут быть определенные интегралы от алгебраических функций, известные как периоды . Сложность гипотезы Ходжа отражает непонимание таких интегралов в целом.

Пример: Для гладкой комплексной проективной поверхности K3 X группа H ² ( X , Z ) изоморфна Z ²² , а H ^1,1 ( X ) изоморфна C ²⁰ . Их пересечение может иметь ранг от 1 до 20; этот ранг называется числом Пикара X . Пространство модулей всех проективных поверхностей K3 имеет счетное множество компонент, каждая из которых имеет комплексную размерность 19. Подпространство поверхностей K3 с числом Пикара a имеет размерность 20− a . ^[10] (Таким образом, для большинства проективных поверхностей K3 пересечение H ² ( X , Z ) с H ^1,1 ( X ) изоморфно Z , но для «специальных» поверхностей K3 пересечение может быть больше.)

Этот пример предполагает несколько различных ролей, которые теория Ходжа играет в сложной алгебраической геометрии. Во-первых, теория Ходжа дает ограничения на то, какие топологические пространства могут иметь структуру гладкого комплексного проективного многообразия. Во-вторых, теория Ходжа дает информацию о пространстве модулей гладких комплексных проективных многообразий заданного топологического типа. Наилучший случай — когда справедлива теорема Торелли , означающая, что многообразие определяется с точностью до изоморфизма своей структурой Ходжа. Наконец, теория Ходжа дает информацию о группе Чоу алгебраических циклов на данном многообразии. Гипотеза Ходжа касается образа отображения цикла из групп Чоу в обычные когомологии, но теория Ходжа также дает информацию о ядре отображения цикла, например, с использованием промежуточных якобианов , построенных на основе структуры Ходжа.

Обобщения

Смешанная теория Ходжа , разработанная Пьером Делинем , распространяет теорию Ходжа на все комплексные алгебраические многообразия, не обязательно гладкие или компактные. А именно, когомологии любого комплексного алгебраического многообразия имеют более общий тип разложения — смешанную структуру Ходжа .

Другое обобщение теории Ходжа на сингулярные многообразия обеспечивается гомологиями пересечений . А именно, Морихико Сайто показал, что гомологии пересечений любого комплексного проективного многообразия (не обязательно гладкого) имеют чистую структуру Ходжа, как и в гладком случае. Фактически, весь пакет Кэлера распространяется на гомологию пересечений.

Фундаментальный аспект комплексной геометрии состоит в том, что существуют непрерывные семейства неизоморфных комплексных многообразий (которые все диффеоморфны как вещественные многообразия). Идея Филлипа Гриффитса о вариации структуры Ходжа описывает, как структура Ходжа гладкого комплексного проективного многообразия X меняется при изменении X. В геометрических терминах это равносильно изучению отображения периодов , связанного с семейством многообразий. Теория модулей Ходжа Сайто является обобщением. Грубо говоря, смешанный модуль Ходжа на многообразии X — это пучок смешанных структур Ходжа над X , возникающий из семейства многообразий, которые не обязательно должны быть гладкими или компактными.

Смотрите также

• Потенциальная теория
• Двойственность Серра
• Разложение Гельмгольца
• Теорема о локальном инвариантном цикле
• теория Аракелова
• Теория Ходжа-Аракелова
• Лемма о ддбаре — ключевое следствие теории Ходжа для компактных кэлеровых многообразий.

Примечания

1. Чаттерджи, Сришти; Оянгурен, Мануэль (2010), Взгляд на эпоху де Рама (PDF) , рабочий документ, EPFL
2. Лефшец, Соломон (1927). «Соответствия между алгебраическими кривыми». Анна. математики. (2) . 28 (1): 342–354.
3. Майкл Атья , Уильям Валланс Дуглас Ходж, 17 июня 1903 г. - 7 июля 1975 г. , Биогр. Память Fellows R. Soc., 1976, вып. 22, стр. 169–192.
4. Уорнер (1983), Теорема 6.11.
5. Уорнер (1983), Теорема 6.8.
6. Уэллс (2008), Теорема IV.5.2.
7. Хайбрехтс (2005), Следствие 3.2.12.
8. Хайбрехтс (2005), Следствие 2.6.21.
9. Хайбрехтс (2005), разделы 3.3 и 5.2; Гриффитс и Харрис (1994), разделы 0.7 и 1.2; Вуазен (2007), т. 1, гл. 6 и т. 2, гл. 1.
10. Гриффитс и Харрис (1994), с. 594.

Рекомендации

• Арапура, Дону, Вычисление некоторых чисел Ходжа (PDF)
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994) [1978]. Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Уайли Интерсайенс. ISBN 0-471-05059-8. МР  0507725.
• Ходж, WVD (1941), Теория и приложения гармонических интегралов , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35881-1, МР  0003947
• Хайбрехтс, Дэниел (2005), Сложная геометрия: введение , Springer , ISBN 3-540-21290-6, МР  2093043
• Вуазен, Клэр (2007) [2002], Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия (2 тома) , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511615344, ISBN 978-0-521-71801-1, МР  : 1967689
• Уорнер, Франк (1983) [1971], Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Springer , ISBN 0-387-90894-3, МР  0722297
• Уэллс-младший, Раймонд О. (2008) [1973], Дифференциальный анализ сложных многообразий , Тексты для аспирантов по математике, том. 65 (3-е изд.), Springer , doi : 10.1007/978-0-387-73892-5, hdl : 10338.dmlcz/141778 , ISBN 978-0-387-73891-8, МР  2359489