Когомологии

В математике , особенно в теории гомологии и алгебраической топологии , когомологии — это общий термин для обозначения последовательности абелевых групп , обычно связанных с топологическим пространством , часто определяемым из коцепного комплекса . Когомологии можно рассматривать как метод присвоения пространству более богатых алгебраических инвариантов, чем гомологии. Некоторые версии когомологий возникают в результате дуализации конструкции гомологии. Другими словами, коцепи — это функции группы цепей в теории гомологии.

С момента своего появления в топологии эта идея стала доминирующим методом в математике второй половины двадцатого века. Начиная с первоначальной идеи гомологии как метода построения алгебраических инвариантов топологических пространств, область применения теорий гомологии и когомологий распространилась по всей геометрии и алгебре . Терминология имеет тенденцию скрывать тот факт, что когомологии, контравариантная теория, во многих приложениях более естественны, чем гомологии. На базовом уровне это связано с функциями и обратными моделями в геометрических ситуациях: с учетом пространств X и Y и некоторой функции F на Y для любого отображения f : X → Y композиция с f порождает функцию F. ∘ ж на X. Наиболее важные теории когомологии имеют продукт — чашечное произведение , которое придает им кольцевую структуру. Из-за этой особенности когомологии обычно являются более сильным инвариантом, чем гомологии.

Сингулярные когомологии

Сингулярные когомологии — мощный инвариант топологии, связывающий градуированное коммутативное кольцо с любым топологическим пространством. Каждое непрерывное отображение f : X → Y определяет гомоморфизм кольца когомологий Y в кольцо когомологий X ; это накладывает строгие ограничения на возможные отображения от X до Y. В отличие от более тонких инвариантов, таких как гомотопические группы , кольцо когомологий имеет тенденцию быть вычислимым на практике для интересующих пространств.

Для топологического пространства X определение сингулярных когомологий начинается с комплекса сингулярных цепей : ^[1]

\cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to } }\ C_{i-1}\to \cdots

Посингулярные гомологииC _iсвободная абелева группаiXiX_iiC _ii

Теперь зафиксируем абелеву группу A и заменим каждую группу C _i ее двойственной группой и ее двойственным гомоморфизмом. $C_{i}^{*}:=\mathrm {Hom} (C_{i},A),$ $\partial _{i}$

d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.

Это приводит к «переворачиванию всех стрелок» исходного комплекса, в результате чего остается коцепный комплекс.

\cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1} }{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots

Для целого числа i i- я группа ^{когомологий} X с коэффициентами из A определяется как ker( d i ₎ /im( d _i₋₁ ) и обозначается H ⁱ ( X , A ). Группа H ⁱ ( X , A ) равна нулю для i отрицательного. Элементы называются сингулярными i- коцепями с коэффициентами из A. (Эквивалентно, i- коцепь на X может быть отождествлена с функцией из множества особых i -симплексов от X до A. ) Элементы ker( d ) и im( d ) называются коциклами и кограницами соответственно, а элементы ker( d )/im( d ) = H ⁱ ( X , A ) называются классами когомологий (поскольку они являются классами эквивалентности коциклов). $C_{i}^{*}$

В дальнейшем группа коэффициентов А иногда не пишется. Обычно A считают коммутативным кольцом R ; тогда группы когомологий являются R - модулями . Стандартный выбор — кольцо целых чисел Z.

Некоторые формальные свойства когомологий представляют собой лишь второстепенные варианты свойств гомологии:

Непрерывное отображение определяет гомоморфизм прямого хода на гомологиях и гомоморфизм обратного хода на когомологиях. Это превращает когомологии в контравариантный функтор из топологических пространств в абелевы группы (или R -модули). $f:X\to Y$ $f_ {*}: H_ {i} (X) \ to H_ {i} (Y)$ $f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)$
Два гомотопических отображения из X в Y индуцируют один и тот же гомоморфизм в когомологиях (так же, как и в гомологиях).
Последовательность Майера -Виеториса является важным вычислительным инструментом в когомологиях, как и в гомологиях. Заметим, что граничный гомоморфизм увеличивает (а не уменьшает) степень когомологий. То есть, если пространство X представляет собой объединение открытых подмножеств U и V , то существует длинная точная последовательность : $\cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots$
Для любого подпространства Y пространства X существуют группы относительных когомологий . Они связаны с обычными группами когомологий длинной точной последовательностью: $H^{i}(X,Y;A)$ $\cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y )\к \cdots$
Теорема об универсальных коэффициентах описывает когомологии в терминах гомологии, используя группы Ext . А именно, существует короткая точная последовательность $0\to \operatorname {Ext} _ {\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z}),A)\to H ^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z}),A)\to 0.$ Связанное с этим утверждение состоит в том, что для поля F это в точности пространство , двойственное к векторному пространству . $H^{i}(X,F)$ $H_{i}(X,F)$
Если X — топологическое многообразие или комплекс CW , то группы когомологий равны нулю для i, большего , чем размерность X. ^[2] Если X — компактное многообразие (возможно, с краем) или комплекс CW с конечным числом ячеек в каждом измерении, а R — коммутативное нетерово кольцо , то R -модуль H ⁱ ( X , R ) конечно порожден. для каждого я . ^[3] $H^{i}(X,A)$

С другой стороны, когомологии имеют решающую структуру, которой нет у гомологии: для любого топологического пространства X и коммутативного кольца R существует билинейное отображение , называемое чашечным произведением :

H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),

uvuvuvпрямую сумму

H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)

градуированное кольцокольцомX.градуированно-коммутативен^[4]

uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).

Для любого непрерывного отображения обратный образ является гомоморфизмом градуированных R - алгебр . Отсюда следует, что если два пространства гомотопически эквивалентны , то их кольца когомологий изоморфны. $f\colon X\to Y,$ $f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)$

Вот некоторые геометрические интерпретации изделия из чашки. В дальнейшем под многообразиями будем понимать безграничное, если не оговорено иное. Замкнутое многообразие означает компактное многообразие (без края), тогда как замкнутое подмногообразие N многообразия M означает подмногообразие, которое является замкнутым подмножеством M , не обязательно компактным (хотя N автоматически компактно, если M таково).

Пусть X — замкнутое ориентированное многообразие размерности n . Тогда двойственность Пуанкаре дает изоморфизм H ⁱ X ≅ H _{n - i} X . В результате замкнутое ориентированное подмногообразие S коразмерности i в X определяет класс когомологий в H ⁱ X , называемый [ S ]. В этих терминах произведение чашки описывает пересечение подмногообразий. А именно, если S и T — подмногообразия коразмерности i и j , пересекающиеся трансверсально , то $[S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),$ где пересечение S ∩ T является подмногообразием коразмерности i + j с ориентацией, определяемой ориентациями S , T и X . В случае гладких многообразий , если S и T не пересекаются трансверсально, эту формулу все равно можно использовать для вычисления чашечного произведения [ S ][ T ], возмущая S или T , чтобы сделать пересечение трансверсальным.
В более общем смысле, не предполагая, что X имеет ориентацию, замкнутое подмногообразие X с ориентацией на его нормальном расслоении определяет класс когомологий на X . Если X — некомпактное многообразие, то замкнутое подмногообразие (не обязательно компактное) определяет класс когомологий на X. В обоих случаях произведение чашки снова можно описать через пересечения подмногообразий.
Заметим, что Том построил класс целочисленных когомологий степени 7 на гладком 14-многообразии, который не является классом какого-либо гладкого подмногообразия. ^[5] С другой стороны, он показал, что каждый класс целочисленных когомологий положительной степени на гладком многообразии имеет положительное кратное, которое является классом гладкого подмногообразия. ^[6] Кроме того, каждый класс целочисленных когомологий на многообразии может быть представлен «псевдомногообразием», то есть симплициальным комплексом, который является многообразием вне замкнутого подмножества коразмерности не менее 2.
Для гладкого многообразия X теорема де Рама гласит , что сингулярные когомологии X с вещественными коэффициентами изоморфны когомологиям де Рама X , определенным с помощью дифференциальных форм . Чашечное изделие соответствует произведению дифференциальных форм. Эта интерпретация имеет то преимущество, что произведение на дифференциальных формах градуировано-коммутативно, тогда как произведение на сингулярных коцепях градуировано-коммутативно только с точностью до гомотопии цепи . Фактически невозможно изменить определение сингулярных коцепей с целыми коэффициентами или in для простого числа p , чтобы сделать произведение градуированно-коммутативным на носу. Нарушение градуированной коммутативности на уровне коцепи приводит к операциям Стинрода над когомологиями mod p . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /p$

Очень неформально, для любого топологического пространства X элементы можно рассматривать как представленные подпространствами коразмерности X , которые могут свободно перемещаться по X. Например, один из способов определить элемент — задать непрерывное отображение f из X в многообразие M и замкнутое подмногообразие N коразмерности i в M с ориентацией на нормальном расслоении. Неформально считается, что полученный класс лежит в подпространстве X ; это оправдано тем, что класс ограничивается нулем в когомологиях открытого подмножества. Класс когомологий может свободно перемещаться по X в том смысле, что N можно заменить любой непрерывной деформацией N внутри M . $H^{i}(X)$ $H^{i}(X)$ $f^{*}([N])\in H^{i}(X)$ $f^{-1}(N)$ $f^{*}([N])$ $X-f^{-1}(N).$ $f^{*}([N])$

Примеры

В дальнейшем когомологии берутся с коэффициентами целых чисел Z , если не оговорено противное.

Кольцо когомологий точки — это кольцо Z степени 0. В силу гомотопической инвариантности это также кольцо когомологий любого стягиваемого пространства , например евклидова пространства Rn ^.
Первая группа когомологий двумерного тора имеет базис, заданный классами двух показанных окружностей.
Для положительного целого числа n кольцо когомологий сферы — это Z [ x ]/( x ² ) ( факторкольцо кольца полиномов по данному идеалу ), с x в степени n . В терминах двойственности Пуанкаре, как указано выше, x — это класс точки на сфере. $S^{n}$
Кольцо когомологий тора — это внешняя алгебра над Z на n образующих степени 1. ^[7] Например, пусть P обозначает точку в окружности , а Q — точку ( P , P ) в 2-мерном торе . Тогда когомологии ( S ¹ ) ² имеют базис в виде свободного Z -модуля вида: элемент 1 степени 0, x := [ P × S ¹ ] и y := [ S ¹ × P ] степени 1 и xy = [ Q ] в степени 2. (Здесь неявно зафиксированы ориентации тора и двух окружностей.) Обратите внимание, что yx = − xy = −[ Q ] в силу градуированной коммутативности. $(S^{1})^{n}$ $S^{1}$ $(S^{1})^{2}$
В более общем смысле, пусть R — коммутативное кольцо, а X и Y — любые топологические пространства такие, что H ^* ( X , R ) — конечно порожденный свободный R -модуль в каждой степени. (Никаких предположений относительно Y не требуется .) Тогда формула Кюннета дает, что кольцо когомологий пространства X × Y является тензорным произведением R -алгебр : ^[8] $H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).$
Кольцо когомологий вещественного проективного пространства RP ⁿ с коэффициентами Z /2 — это Z /2[ x ]/( x ^{n +1} ), где x имеет степень 1. ^[9] Здесь x — класс гиперплоскости RP n ^{−1 .} в РП ^н ; это имеет смысл, хотя RP ^j не ориентируемо для четного и положительного j , поскольку двойственность Пуанкаре с коэффициентами Z /2 работает для произвольных многообразий.
С целочисленными коэффициентами ответ немного сложнее. Z -когомологии RP ²^a имеют элемент y степени 2 такой, что вся когомология представляет собой прямую сумму копии Z , натянутой на элемент 1 степени 0 , вместе с копиями Z /2, натянутой на элементы y ⁱ для i =1,..., a . Z -когомологии RP ²^a⁺¹ одинаковы вместе с дополнительной копией Z в степени 2 a +1. ^[10]
Кольцо когомологий комплексного проективного пространства CP ⁿ — это Z [ x ]/( x ^{n +1} ), где x имеет степень 2. ^[9] Здесь x — класс гиперплоскости CP ^{n −1} в CP ⁿ . В более общем смысле x ^j — это класс линейного подпространства CP ^{n − j} в CP ⁿ .
Кольцо когомологий замкнутой ориентированной поверхности X рода g ≥ 0 имеет базис в виде свободного Z -модуля вида: элемент 1 степени 0, A 1 _, ..., A _g и B ₁ ,... , B _g в степени 1 и класс P точки в степени 2. Произведение определяется следующим образом: A _i A _j = B _i B _j = 0 для всех i и j , A _i B _j = 0, если i ≠ j , и A _i B _i знак равно P для всех i . ^[11] Из градуированной коммутативности следует, что $B$ $i$ $A$ $i$ $= -$ $P$ .
В любом топологическом пространстве градуированная коммутативность кольца когомологий означает, что 2 x ² = 0 для всех классов когомологий нечетной степени x . Отсюда следует, что для кольца R, содержащего 1/2, все элементы нечетной степени кольца H ^* ( X , R ) имеют квадратный ноль. С другой стороны, элементы нечетной степени не обязательно должны иметь квадратный ноль, если R равен Z /2 или Z , как это видно на примере RP ² (с коэффициентами Z /2) или RP ⁴ × RP ² (с коэффициентами Z ). .

Диагональ

Произведение чашки на когомологиях можно рассматривать как происходящее из диагонального отображения Δ: X → X × X , x ↦ ( x , x ). А именно, для любых пространств X и Y с классами когомологий u ∈ H ⁱ ( X , R ) и v ∈ H ^j ( Y , R ) существует класс когомологий внешнего произведения (или векторного произведения ) u × v ∈ H ^{i + j} ( Икс × Y , р ). Чашечное произведение классов u ∈ H ⁱ ( X , R ) и v ∈ H ^j ( X , R ) можно определить как обратный образ внешнего произведения по диагонали: ^[12]

uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).

Альтернативно, внешний продукт может быть определен как продукт в форме чашки. Для пространств X и Y запишите f : X × Y → X и g : X × Y → Y для двух проекций. Тогда внешнее произведение классов u ∈ H ⁱ ( X , R ) и v ∈ H ^j ( Y , R ) равно:

u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).

Двойственность Пуанкаре

Другая интерпретация двойственности Пуанкаре состоит в том, что кольцо когомологий замкнутого ориентированного многообразия самодвойственно в сильном смысле. А именно, пусть X — замкнутое связное ориентированное многообразие размерности n и F — поле. Тогда Hn ( ^X , F ) изоморфно F , и произведение

H^{i}(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F

является идеальной парой для каждого целого числа i . ^[13] В частности, векторные пространства H ⁱ ( X , F ) и H ^{n − i} ( X , F ) имеют одинаковую (конечную) размерность. Аналогично, произведение целых когомологий по модулю кручения со значениями в H ⁿ ( X , Z ) ≅ Z является идеальным спариванием над Z .

Классы характеристик

Ориентированное вещественное векторное расслоение E ранга r над топологическим пространством X определяет класс когомологий на X — класс Эйлера χ( E ) ∈ H ^r ( X , Z ). Неформально класс Эйлера — это класс нулевого множества общего сечения E . Эту интерпретацию можно сделать более явной, когда E — гладкое векторное расслоение над гладким многообразием X , поскольку тогда общее гладкое сечение X исчезает на подмногообразии коразмерности r в X.

Существует несколько других типов характеристических классов для векторных расслоений, которые принимают значения в когомологиях, включая классы Черна , классы Стифеля-Уитни и классы Понтрягина .

Пространства Эйленберга – Маклейна

Для каждой абелевой группы A и натурального числа j существует пространство , j -я гомотопическая группа которого изоморфна A , а остальные гомотопические группы равны нулю. Такое пространство называется пространством Эйленберга–Маклейна . Это пространство обладает тем замечательным свойством, что оно является классифицирующим пространством для когомологий: существует естественный элемент u из , и каждый класс когомологий степени j в каждом пространстве X является возвратом u с помощью некоторого непрерывного отображения . Точнее, возвращение класса u дает биекцию $K(A,j)$ $H^{j}(K(A,j),A)$ $X\to K(A,j)$

[X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)

для любого пространства X с гомотопическим типом комплекса CW. ^[14] Здесь обозначено множество гомотопических классов непрерывных отображений из X в Y . $[X,Y]$

Например, пространство (определенное с точностью до гомотопической эквивалентности) можно считать окружностью . Итак, в приведенном выше описании говорится, что каждый элемент извлекается из класса u точки с помощью некоторой карты . $K(\mathbb {Z} ,1)$ $S^{1}$ $H^{1}(X,\mathbb {Z} )$ $S^{1}$ $X\to S^{1}$

Существует родственное описание первых когомологий с коэффициентами в любой абелевой группе A , скажем , для CW-комплекса X. А именно, находится во взаимно однозначном соответствии с множеством классов изоморфизма пространств Галуа, накрывающих X с группой A , также называемых главными A -расслоениями над X. Для связного X следует, что изоморфно , где – фундаментальная группа X . Например, классифицирует двойные накрытия X с элементом, соответствующим тривиальному двойному покрытию, непересекающемуся объединению двух копий X. $H^{1}(X,A)$ $H^{1}(X,A)$ $\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)$ $\pi _{1}(X)$ $H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)$ $0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)$

Крышка продукта

Для любого топологического пространства X верхнее произведение представляет собой билинейное отображение.

\cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)

для любых целых чисел i и j и любого коммутативного кольца R . Полученная карта

H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)

превращает сингулярные гомологии X в модуль над кольцом сингулярных когомологий X .

Для i = j произведение шапки дает естественный гомоморфизм

H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),

который является изоморфизмом для поля R.

Например, пусть X — ориентированное многообразие, не обязательно компактное. Тогда замкнутое ориентированное подмногообразие Y коразмерности i в X (не обязательно компактное) определяет элемент H ⁱ ( X , R ), а компактное ориентированное j -мерное подмногообразие Z в X определяет элемент H _j ( X , R ) . Произведение шапки [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H _{j − i} ( X , R ) можно вычислить, возмутив Y и Z , чтобы заставить их пересекаться трансверсально, а затем взяв класс их пересечения, который представляет собой компактное ориентированное подмногообразие размерности j - я .

Замкнутое ориентированное многообразие X размерности n имеет фундаментальный класс [ X ] в H _n ( X , R ). Изоморфизм двойственности Пуанкаре

H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)

Краткая история сингулярных когомологий

Хотя когомология имеет фундаментальное значение для современной алгебраической топологии, ее важность не была замечена в течение примерно 40 лет после развития гомологии. Концепция двойственной клеточной структуры , которую Анри Пуанкаре использовал в доказательстве своей теоремы двойственности Пуанкаре, содержала начало идеи когомологий, но это было замечено только позже.

Существовали различные предшественники когомологий. ^[15] В середине 1920-х годов Дж. В. Александер и Соломон Лефшец основали теорию пересечений циклов на многообразиях. На замкнутом ориентированном n -мерном многообразии M i - цикл и j- цикл с непустым пересечением, если они находятся в общем положении , будут иметь в качестве пересечения ( i + j − n )-цикл. Это приводит к умножению классов гомологии.

H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),

который (ретроспективно) можно отождествить с произведением чашки на когомологиях M .

К 1930 году Александер определил первое понятие коцепи, рассматривая i -коцепь в пространстве X как функцию в малых окрестностях диагонали в X ^{i +1} .

В 1931 году Жорж де Рам связал гомологии и дифференциальные формы, доказав теорему де Рама . Этот результат можно сформулировать проще в терминах когомологий.

В 1934 году Лев Понтрягин доказал теорему двойственности Понтрягина ; результат о топологических группах . Это (в довольно особых случаях) обеспечило интерпретацию двойственности Пуанкаре и двойственности Александера в терминах групповых характеров .

На конференции 1935 года в Москве Андрей Колмогоров и Александр представили когомологии и попытались построить структуру произведения когомологий.

В 1936 году Норман Стинрод построил когомологии Чеха путем дуализации гомологий Чеха.

С 1936 по 1938 год Хасслер Уитни и Эдуард Чех разработали произведение чашки (преобразование когомологий в градуированное кольцо) и произведение крышки и поняли, что двойственность Пуанкаре может быть сформулирована в терминах произведения крышки. Их теория по-прежнему ограничивалась конечными клеточными комплексами.

В 1944 году Сэмюэл Эйленберг преодолел технические ограничения и дал современное определение сингулярных гомологии и когомологии.

В 1945 году Эйленберг и Стинрод сформулировали аксиомы, определяющие теорию гомологии или когомологий, обсуждаемые ниже. В своей книге 1952 года « Основы алгебраической топологии» они доказали, что существующие теории гомологии и когомологии действительно удовлетворяют своим аксиомам.

В 1946 году Жан Лере определил когомологии пучков.

В 1948 году Эдвин Спэньер , основываясь на работе Александра и Колмогорова, разработал когомологии Александра-Спанье .

Когомологии пучков

Пучковые когомологии — это богатое обобщение сингулярных когомологий, позволяющее использовать более общие «коэффициенты», чем просто абелева группа. Для каждого пучка абелевых групп E в топологическом пространстве X существуют группы когомологий H ⁱ ( X , E ) для целых чисел i . В частности, в случае постоянного пучка на X , ассоциированного с абелевой группой A , полученные группы H ⁱ ( X , A ) совпадают с сингулярными когомологиями для X — многообразия или CW-комплекса (хотя и не для произвольных пространств X ). Начиная с 1950-х годов когомологии пучков стали центральной частью алгебраической геометрии и комплексного анализа , отчасти из-за важности пучка регулярных функций или пучка голоморфных функций .

Гротендик изящно определил и охарактеризовал когомологии пучков на языке гомологической алгебры . Существенным моментом является фиксирование пространства X и представление пучковых когомологий как функтора из абелевой категории пучков на X в абелевы группы. Начните с функтора, переводящего пучок E на X в его абелеву группу глобальных сечений над X , E ( X ). Этот функтор точен слева , но не обязательно точен справа. Гротендик определил группы пучковых когомологий как правые производные функторы левого точного функтора E ↦ E ( X ). ^[16]

Это определение предполагает различные обобщения. Например, можно определить когомологии топологического пространства X с коэффициентами в любом комплексе пучков, ранее называвшиеся гиперкогомологиями (но теперь обычно просто «когомологиями»). С этой точки зрения когомологии пучков становятся последовательностью функторов из производной категории пучков на X в абелевы группы.

В широком смысле слова «когомологии» часто используются для правых производных функторов левого точного функтора на абелевой категории, тогда как «гомологии» используются для левых производных функторов правого точного функтора. Например, для кольца R группы Tor Tor _i^R ( M , N ) образуют «теорию гомологий» по каждой переменной, левые производные функторы тензорного произведения M ⊗ _RN R -модулей . Аналогично, группы Ext Ext ⁱ_R ( M , N ) можно рассматривать как «теорию когомологий» по каждой переменной, правые производные функторы функтора Hom Hom _R ( M , N ).

Когомологии пучка можно отождествить с типом группы Ext. А именно, для пучка E в топологическом пространстве X H ⁱ ( X , E ) изоморфен Ext ⁱ ( Z _X , E ), где Z _X обозначает постоянный пучок, связанный с целыми числами Z , а Ext берется в абелева категория пучков на X .

Когомологии сортов

Существует множество машин, построенных для вычисления когомологий алгебраических многообразий. Простейшим случаем является определение когомологий для гладких проективных многообразий над полем характеристики . Инструменты теории Ходжа, называемые структурами Ходжа, помогают вычислять когомологии этих типов многообразий (с добавлением более уточненной информации). В простейшем случае когомологии гладкой гиперповерхности можно определить только по степени многочлена. $0$ $\mathbb {P} ^{n}$

При рассмотрении многообразий над конечным полем или полем характеристики требуются более мощные инструменты, поскольку классические определения гомологии/когомологии не работают. Это связано с тем, что многообразия над конечными полями будут представлять собой только конечный набор точек. Гротендику пришла в голову идея топологии Гротендика и использовал пучковых когомологий над этальной топологией , чтобы определить теорию когомологий для многообразий над конечным полем. Используя этальную топологию многообразия над полем характеристики, можно построить -адические когомологии для . Это определяется как $p$ $p$ $\ell$ $\ell \neq p$

H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }

Если у нас есть схема конечного типа

X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}}\right)

тогда существует равенство размерностей когомологий Бетти и -адических когомологий всякий раз, когда многообразие гладко над обоими полями. В дополнение к этим теориям когомологий существуют другие теории когомологий, называемые теориями когомологий Вейля, которые ведут себя аналогично сингулярным когомологиям. Существует предполагаемая теория мотивов, лежащая в основе всех теорий когомологий Вейля. $X(\mathbb {C} )$ $\ell$ $X(\mathbb {F} _{q})$

Еще одним полезным вычислительным инструментом является последовательность раздутия. Учитывая подсхему коразмерностей , существует декартов квадрат. $\geq 2$ $Z\subset X$

{\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}

Отсюда возникает связанная длинная точная последовательность

\cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\to \cdots

Если подмногообразие гладкое, то все соединительные морфизмы тривиальны, следовательно, $Z$

H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)

Аксиомы и теории обобщенных когомологий

Существуют различные способы определения когомологий для топологических пространств (например, сингулярные когомологии, когомологии Чеха , когомологии Александра-Спанье или когомологии пучков ). (Здесь пучковые когомологии рассматриваются только с коэффициентами в постоянном пучке.) Эти теории дают разные ответы для некоторых пространств, но существует большой класс пространств, в отношении которых все они согласны. Это легче всего понять аксиоматически: существует список свойств, известных как аксиомы Эйленберга-Стинрода , и любые две конструкции, которые разделяют эти свойства, будут согласовываться, по крайней мере, на всех комплексах CW. ^[17] Существуют версии аксиом как для теории гомологии, так и для теории когомологий. Некоторые теории можно рассматривать как инструменты для вычисления сингулярных когомологий для специальных топологических пространств, таких как симплициальные когомологии для симплициальных комплексов , клеточные когомологии для комплексов CW и когомологии де Рама для гладких многообразий.

Одной из аксиом Эйленберга-Стинрода для теории когомологий является аксиома размерности : если P — одна точка, то H ⁱ ( P ) = 0 для всех i ≠ 0. Примерно в 1960 году Джордж Уайтхед заметил, что полезно полностью опустить аксиому размерности: это дает понятие обобщенной теории гомологий или обобщенной теории когомологий, определенное ниже. Существуют обобщенные теории когомологий, такие как K-теория или комплексный кобордизм, которые дают богатую информацию о топологическом пространстве, недоступную напрямую из сингулярных когомологий. (В этом контексте сингулярные когомологии часто называют «обычными когомологиями».)

По определению, обобщенная теория гомологий — это последовательность функторов h _i (для целых чисел i ) из категории CW- пар ( X , A ) (поэтому X — CW-комплекс, а A — подкомплекс) в категорию абелевых групп. вместе с естественным преобразованием $\partial i : h i (X, A) \to h i -1 (A)$ , называемым граничным гомоморфизмом (здесь h _{i −1} ( A ) является сокращением для h _{i −1} ( A , ∅) ). Аксиомы:

Гомотопия : Если гомотопен , то индуцированные гомоморфизмы на гомологиях одинаковы. $f:(X,A)\to (Y,B)$ $g:(X,A)\to (Y,B)$
Точность : каждая пара ( X , A ) порождает длинную точную последовательность гомологии посредством включений $f : A \to X$ и $g : (X,\emptyset) \to (X, A)$ : $\cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .$
Вырезание : если X является объединением подкомплексов A и B , то включение f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) индуцирует изоморфизм $h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)$ для каждого я .
Аддитивность : Если ( X , A ) является несвязным объединением множества пар ( _Xα , _Aα ) _, то включения ( Xα , Aα ) → ( _X , A ) индуцируют изоморфизм из прямой суммы : $\bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)$ для каждого я .

Аксиомы обобщенной теории когомологий получаются, грубо говоря, перестановкой стрелок. Более подробно, обобщенная теория когомологий представляет собой последовательность контравариантных функторов h ⁱ (для целых чисел i ) из категории CW-пар в категорию абелевых групп вместе с естественным преобразованием $d : h i (A) \to h i +1 (X, A)$ называется граничным гомоморфизмом (обозначая h ⁱ ( A ) вместо h ⁱ ( A , ∅)). Аксиомы:

Гомотопия : Гомотопические отображения индуцируют один и тот же гомоморфизм в когомологиях.
Точность : каждая пара ( X , A ) порождает длинную точную последовательность когомологий посредством включений f : A → X и g : ( X ,∅) → ( X , A ): $\cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .$
Вырезание : если X является объединением подкомплексов A и B , то включение f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) индуцирует изоморфизм $h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)$ для каждого я .
Аддитивность : Если ( X , A ) является несвязным объединением множества пар ( _Xα , _Aα ) _, то включения ( Xα , Aα ) → ( _X , A ) индуцируют изоморфизм группы произведений : $h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })$ для каждого я .

Спектр определяет как обобщенную теорию гомологии, так и обобщенную теорию когомологий . Фундаментальный результат Брауна, Уайтхеда и Адамса гласит, что каждая обобщенная теория гомологий возникает из спектра, и аналогичным образом каждая обобщенная теория когомологий исходит из спектра. ^[18] Это обобщает представимость обычных когомологий пространствами Эйленберга–Маклейна.

Тонкий момент заключается в том, что функтор из стабильной гомотопической категории (гомотопической категории спектров) в обобщенные теории гомологии на CW-парах не является эквивалентностью, хотя и дает биекцию на классах изоморфизма; существуют ненулевые отображения в стабильной гомотопической категории (называемые фантомными отображениями ), которые индуцируют нулевое отображение между теориями гомологии на CW-парах. Аналогично, функтор из стабильной гомотопической категории в теории обобщенных когомологий на CW-парах не является эквивалентностью. ^[19] Именно стабильная гомотопическая категория, а не другие категории, обладает хорошими свойствами, такими как триангулированность .

Если кто-то предпочитает, чтобы теории гомологии или когомологии были определены на всех топологических пространствах, а не на комплексах CW, один из стандартных подходов состоит в том, чтобы включить аксиому о том, что каждая слабая гомотопическая эквивалентность индуцирует изоморфизм гомологий или когомологий. (Это верно для сингулярных гомологий или сингулярных когомологий, но не для пучковых когомологий, например.) Поскольку каждое пространство допускает слабую гомотопическую эквивалентность из комплекса CW, эта аксиома сводит теории гомологии или когомологии на всех пространствах к соответствующей теории на CW комплексы. ^[20]

Некоторые примеры теорий обобщенных когомологий:

Стабильные когомотопические группы. Чаще всего используется соответствующая теория гомологии: стабильные гомотопические группы. $\pi _{S}^{*}(X).$ $\pi _{*}^{S}(X).$
Различные разновидности групп кобордизмов , основанные на изучении пространства путем рассмотрения всех его отображений на многообразия: неориентированный кобордизм, ориентированный кобордизм, сложный кобордизм и так далее. Комплексный кобордизм оказался особенно мощным в теории гомотопий. Это тесно связано с формальными группами через теорему Дэниела Квиллена . $MO^{*}(X)$ $MSO^{*}(X),$ $MU^{*}(X),$
Различные варианты топологической K-теории , основанные на изучении пространства путем рассмотрения всех векторных расслоений над ним: (действительная периодическая K-теория), (действительная связная K-теория), (комплексная периодическая K-теория), (комплексная связка K -теория) и так далее. $KO^{*}(X)$ $ko^{*}(X)$ $K^{*}(X)$ $ku^{*}(X)$
Когомологии Брауна-Петерсона , K-теория Моравы , E-теория Моравы и другие теории, построенные на основе комплексных кобордизмов.
Различные варианты эллиптических когомологий .

Многие из этих теорий несут более богатую информацию, чем обычные когомологии, но их труднее вычислить.

Теория когомологий E называется мультипликативной, если для каждого пространства X она имеет структуру градуированного кольца . На языке спектров существует несколько более точных понятий кольцевого спектра , например, _{кольцевого} спектра E∞ , где произведение коммутативно и ассоциативно в сильном смысле. $E^{*}(X)$

Другие теории когомологии

Теории когомологий в более широком смысле (инварианты других алгебраических или геометрических структур, а не топологических пространств) включают:

Смотрите также

теория комплексно-ориентированных когомологий

Цитаты

^ Хэтчер 2001, с. 108.
^ Хэтчер (2001), Теорема 3.5; Дольд (1972), Предложение VIII.3.3 и следствие VIII.3.4.
^ Дольд 1972, предложения IV.8.12 и V.4.11.
^ Хэтчер 2001, Теорема 3.11.
^ Том 1954, стр. 62–63.
^ Том 1954, Теорема II.29.
^ Хэтчер 2001, пример 3.16.
^ Хэтчер 2001, Теорема 3.15.
^ ab Хэтчер 2001, Теорема 3.19.
^ Хэтчер 2001, с. 222.
^ Хэтчер 2001, пример 3.7.
^ Хэтчер 2001, с. 186.
^ Хэтчер 2001, Предложение 3.38.
^ Май 1999 г., с. 177.
^ Дьедонне 1989, Раздел IV.3.
^ Хартсхорн 1977, Раздел III.2.
^ Май 1999 г., с. 95.
^ Свитцер 1975, с. 117, 331, Теорема 9.27; Следствие 14.36; Замечания.
^ «Действительно ли спектры — это то же самое, что теории когомологий?». MathOverflow .
^ Свитцер 1975, 7.68.