Ассоциативная алгебра

В математике ассоциативная алгебра A над коммутативным кольцом (часто полем ) K — это кольцо A вместе с кольцевым гомоморфизмом из K в центр A. Таким образом, это алгебраическая структура со сложением, умножением и скалярным умножением (умножением на образ кольцевого гомоморфизма элемента из K ). Операции сложения и умножения вместе дают A структуру кольца ; операции сложения и скалярного умножения вместе дают A структуру модуля или векторного пространства над K. В этой статье мы также будем использовать термин K -алгебра для обозначения ассоциативной алгебры над K. Стандартный первый пример K - алгебры — это кольцо квадратных матриц над коммутативным кольцом K с обычным матричным умножением .

Коммутативная алгебра — ассоциативная алгебра, для которой умножение коммутативно , или, что то же самое, ассоциативная алгебра, которая также является коммутативным кольцом .

В этой статье предполагается, что ассоциативные алгебры имеют мультипликативное тождество, обозначаемое 1; иногда для ясности их называют унитальными ассоциативными алгебрами . В некоторых областях математики это предположение не делается, и мы будем называть такие структуры неунитальными ассоциативными алгебрами. Мы также будем предполагать, что все кольца унитальные, и все гомоморфизмы колец унитальные.

Каждое кольцо представляет собой ассоциативную алгебру над своим центром и целыми числами.

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо (так что R может быть полем). Ассоциативная R -алгебра A (или, проще говоря, R -алгебра A ) — это кольцо A , которое также является R -модулем таким образом, что два сложения (сложение кольца и сложение модуля) являются одной и той же операцией, а скалярное умножение удовлетворяет

r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)

для всех r в R и x , y в алгебре. (Это определение подразумевает, что алгебра, будучи кольцом, является унитальной , поскольку кольца должны иметь мультипликативную идентичность .)

Эквивалентно, ассоциативная алгебра A является кольцом вместе с кольцевым гомоморфизмом из R в центр A. Если f — такой гомоморфизм, скалярное умножение равно ( r , x ) ↦ f ( r ) x (здесь умножение — это кольцевое умножение); если скалярное умножение задано, кольцевой гомоморфизм задается как r ↦ r ⋅ 1 _A . (См. также § Из кольцевых гомоморфизмов ниже).

Каждое кольцо является ассоциативной Z -алгеброй, где Z обозначает кольцо целых чисел .

АКоммутативная алгебра — ассоциативная алгебра, которая также являетсякоммутативным кольцом.

Как моноидный объект в категории модулей

Определение эквивалентно утверждению, что унитальная ассоциативная R -алгебра является моноидным объектом в R -Mod ( моноидальной категории R -модулей ). По определению, кольцо является моноидным объектом в категории абелевых групп ; таким образом, понятие ассоциативной алгебры получается заменой категории абелевых групп на категорию модулей .

Развивая эту идею дальше, некоторые авторы ввели «обобщенное кольцо» как моноидный объект в некоторой другой категории, которая ведет себя как категория модулей. Действительно, эта переинтерпретация позволяет избежать явной ссылки на элементы алгебры A. Например, ассоциативность может быть выражена следующим образом. По универсальному свойству тензорного произведения модулей , умножение ( R -билинейная карта) соответствует единственной R -линейной карте

m:A\otimes _{R}A\to A

Ассоциативность тогда относится к идентичности:

m\circ ({\operatorname {id} }\otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).

Из кольцевых гомоморфизмов

Ассоциативная алгебра представляет собой кольцевой гомоморфизм , образ которого лежит в центре . Действительно, начиная с кольца A и кольцевого гомоморфизма η : R → A , образ которого лежит в центре A , мы можем сделать A R -алгеброй , определив

r\cdot x=\eta (r)x

для всех r ∈ R и x ∈ A. Если A является R -алгеброй, то при x = 1 та же формула, в свою очередь, определяет кольцевой гомоморфизм η : R → A , образ которого лежит в центре.

Если кольцо коммутативно, то он равен своему центру, так что коммутативную R -алгебру можно определить просто как коммутативное кольцо A вместе с коммутативным кольцевым гомоморфизмом η : R → A .

Кольцевой гомоморфизм η, появляющийся выше, часто называется структурным отображением . В коммутативном случае можно рассмотреть категорию, объектами которой являются кольцевые гомоморфизмы R → A для фиксированного R , т. е. коммутативные R -алгебры, и чьи морфизмы являются кольцевыми гомоморфизмами A → A ′ , которые находятся под R ; т. е. R → A → A ′ есть R → A ′ (т. е. категория кослайса категории коммутативных колец под R .) Функтор простого спектра Spec затем определяет антиэквивалентность этой категории категории аффинных схем над Spec R .

Как ослабить предположение коммутативности — предмет некоммутативной алгебраической геометрии и, в последнее время, производной алгебраической геометрии . См. также: Кольцо общих матриц .

Гомоморфизмы алгебры

Гомоморфизм между двумя R -алгебрами является R -линейным гомоморфизмом колец . Явно, φ : A ₁ → A ₂ является ассоциативным гомоморфизмом алгебр , если

{\begin{aligned}\varphi (r\cdot x)&=r\cdot \varphi (x)\\\varphi (x+y)&=\varphi (x)+\varphi (y)\\\varphi (xy)&=\varphi (x)\varphi (y)\\\varphi (1)&=1\end{aligned}}

Класс всех R -алгебр вместе с гомоморфизмами алгебр между ними образуют категорию , иногда обозначаемую R -Alg .

Подкатегорию коммутативных R - алгебр можно охарактеризовать как категорию кослайса R / CRing, где CRing — категория коммутативных колец .

Примеры

Самый простой пример — само кольцо; это алгебра над своим центром или любым подкольцом, лежащим в центре. В частности, любое коммутативное кольцо является алгеброй над любым из своих подколец. Другие примеры имеются в изобилии как из алгебры, так и из других областей математики.

Алгебра

Любое кольцо A можно рассматривать как Z -алгебру. Единственный гомоморфизм колец из Z в A определяется тем, что он должен переводить 1 в единицу в A. Таким образом, кольца и Z -алгебры являются эквивалентными понятиями, точно так же, как эквивалентны абелевы группы и Z -модули.
Любое кольцо характеристики n является ( Z / n Z )-алгеброй аналогичным образом.
Для данного R -модуля M кольцо эндоморфизмов M , обозначаемое End _R ( M ), является R -алгеброй, определяемой следующим образом: ( r · φ )( x ) = r · φ ( x ) .
Любое кольцо матриц с коэффициентами в коммутативном кольце R образует R -алгебру относительно сложения и умножения матриц. Это совпадает с предыдущим примером, когда M является конечно-порожденным, свободным R -модулем.
- В частности, квадратные матрицы размера n на n с элементами из поля K образуют ассоциативную алгебру над K.
Комплексные числа образуют двумерную коммутативную алгебру над действительными числами .
Кватернионы образуют 4-мерную ассоциативную алгебру над действительными числами (но не алгебру над комплексными числами , поскольку комплексные числа не находятся в центре кватернионов).
Каждое кольцо многочленов R [ x ₁ , ..., x _n ] является коммутативной R -алгеброй. Фактически, это свободная коммутативная R -алгебра на множестве { x ₁ , ..., x _n } .
Свободная R -алгебра на множестве E представляет собой алгебру «многочленов» с коэффициентами в R и некоммутирующими переменными , взятыми из множества E.
Тензорная алгебра R -модуля естественным образом является ассоциативной R -алгеброй. То же самое верно для факторов, таких как внешние и симметричные алгебры . Категорически говоря, функтор , который отображает R -модуль в его тензорную алгебру, является левым сопряженным к функтору, который отображает R -алгебру в ее базовый R -модуль (забывая о мультипликативной структуре).
Если задан модуль M над коммутативным кольцом R , то прямая сумма модулей R ⊕ M имеет структуру R -алгебры, если считать, что M состоит из бесконечно малых элементов; т. е. умножение задается как ( a + x )( b + y ) = ab + ay + bx . Это понятие иногда называют алгеброй дуальных чисел .
Квазисвободная алгебра , введенная Кунцем и Квилленом, является своего рода обобщением свободной алгебры и полупростой алгебры над алгебраически замкнутым полем.

Теория представления

Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли — это ассоциативная алгебра, которую можно использовать для изучения данной алгебры Ли.
Если G — группа, а R — коммутативное кольцо, множество всех функций из G в R с конечным носителем образует R -алгебру со сверткой в качестве умножения. Она называется групповой алгеброй G. Конструкция является отправной точкой для применения к изучению (дискретных) групп .
Если G — алгебраическая группа (например, полупростая комплексная группа Ли ), то координатное кольцо группы G — это алгебра Хопфа A , соответствующая G. Многие структуры группы G переводятся в структуры группы A.
Колчанная алгебра (или алгебра путей) ориентированного графа — это свободная ассоциативная алгебра над полем, порожденным путями в графе.

Анализ

Для любого банахова пространства X непрерывные линейные операторы A : X → X образуют ассоциативную алгебру (использующую композицию операторов в качестве умножения) ; это банахова алгебра .
Для любого топологического пространства X непрерывные действительные или комплексные функции на X образуют действительную или комплексную ассоциативную алгебру; здесь функции складываются и умножаются поточечно.
Множество семимартингалов, определенных на отфильтрованном вероятностном пространстве (Ω, F , ( F _t ) _{t ≥0} , P), образует кольцо при стохастическом интегрировании . ^{[ требуется ссылка ]}
Алгебра Вейля
Алгебра Адзумая

Геометрия и комбинаторика

Алгебры Клиффорда , которые полезны в геометрии и физике .
Алгебры инцидентности локально конечных частично упорядоченных множеств являются ассоциативными алгебрами, рассматриваемыми в комбинаторике .
Алгебра разбиения и ее подалгебры, включая алгебру Брауэра и алгебру Темперли-Либа .
Дифференциальная градуированная алгебра — это ассоциативная алгебра вместе с градуировкой и дифференциалом. Например, алгебра де Рама , где состоит из дифференциальных p -форм на многообразии M , является дифференциальной градуированной алгеброй. ${\textstyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{n}\Omega ^{p}(M)}$ ${\textstyle \Omega ^{p}(M)}$

Математическая физика

Алгебра Пуассона — это коммутативная ассоциативная алгебра над полем вместе со структурой алгебры Ли , такой что скобка Ли {,} удовлетворяет правилу Лейбница; то есть, { fg , h } = f { g , h } + g { f , h } .
Для данной алгебры Пуассона рассмотрим векторное пространство формальных степенных рядов над . Если имеет структуру ассоциативной алгебры с умножением, такую, что для , ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}[\![u]\!]$ ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}[\![u]\!]$ $*$ $f,g\in {\mathfrak {a}}$
$f*g=fg-{\frac {1}{2}}\{f,g\}u+\cdots ,$

то называется деформационным квантованием .

{\mathfrak {a}}[\![u]\!]

{\mathfrak {a}}

Квантованная обёртывающая алгебра . Двойственная к такой алгебре алгебра оказывается ассоциативной (см. § Двойственная к ассоциативной алгебре) и, говоря философски, является (квантованным) координатным кольцом квантовой группы .
алгебра Герстенхабера

Конструкции

Подалгебры: Подалгебра R -алгебры A — это подмножество A , которое является одновременно подкольцом и подмодулем A. То есть оно должно быть замкнуто относительно сложения, кольцевого умножения, скалярного умножения и должно содержать единичный элемент A.
Факторные алгебры: Пусть A — R -алгебра. Любой кольцевой теоретико- идеал I в A автоматически является R -модулем, поскольку r · x = ( r 1 _A ) x . Это дает факторкольцу A / I структуру R -модуля и, по сути, R -алгебры. Отсюда следует, что любой кольцевой гомоморфный образ A также является R -алгеброй.
Прямые продукты: Прямое произведение семейства R -алгебр — это кольцевое теоретико- прямое произведение . Это становится R -алгеброй с очевидным скалярным умножением.
Бесплатные продукты: Можно образовать свободное произведение R -алгебр способом, аналогичным свободному произведению групп. Свободное произведение является копроизведением в категории R -алгебр.
Тензорные продукты: Тензорное произведение двух R -алгебр также является R -алгеброй естественным образом. См. тензорное произведение алгебр для получения более подробной информации. Если задано коммутативное кольцо R и любое кольцо A, то тензорному произведению R ⊗ _Z A можно придать структуру R -алгебры, определив r · ( s ⊗ a ) = ( rs ⊗ a ) . Функтор, который переводит A в R ⊗ _Z A, является левым сопряженным к функтору, который переводит R -алгебру в ее базовое кольцо (забывая о структуре модуля). См. также: Изменение колец .
Свободная алгебра: Свободная алгебра — это алгебра, порожденная символами. Если наложить коммутативность, т. е. взять фактор по коммутаторам, то получится полиномиальная алгебра.

Двойственная ассоциативной алгебре

Пусть A — ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом R. Поскольку A — это, в частности, модуль, мы можем взять дуальный модуль A ^* для A . Априори дуальный модуль A ^* не обязательно должен иметь структуру ассоциативной алгебры. Однако A может иметь дополнительную структуру (а именно, структуру алгебры Хопфа), так что дуальный модуль также будет ассоциативной алгеброй.

Например, возьмем A как кольцо непрерывных функций на компактной группе G. Тогда A не только является ассоциативной алгеброй, но также имеет ко-умножение Δ( f )( g , h ) = f ( gh ) и коединицу ε ( f ) = f (1) . ^[1] «Ко-» относится к тому факту, что они удовлетворяют двойственности обычного умножения и единицы в аксиоме алгебры. Следовательно, двойственная A ^* является ассоциативной алгеброй. Ко-умножение и коединица также важны для формирования тензорного произведения представлений ассоциативных алгебр (см. § Представления ниже).

Обертывающая алгебра

Для ассоциативной алгебры A над коммутативным кольцом R обертывающая алгебра A e ^{алгебры} A — это алгебра A ⊗ _R A ^op или A ^op ⊗ _R A , в зависимости от авторов. ^[2]

Обратите внимание, что бимодуль над A — это в точности левый модуль над A ^e .

Разделимая алгебра

Пусть A — алгебра над коммутативным кольцом R . Тогда алгебра A является правым ^[a] -модулем над A ^e := A ^op ⊗ _R A с действием x ⋅ ( a ⊗ b ) = axb . Тогда, по определению, A называется отделимой, если отображение умножения A ⊗ _R A → A : x ⊗ y ↦ xy расщепляется как A ^e -линейное отображение, ^[3] где A ⊗ A является A ^e -модулем по ( x ⊗ y ) ⋅ ( a ⊗ b ) = ax ⊗ yb . Эквивалентно, ^[b]A отделима, если она является проективным модулем над A ^e ; таким образом, A ^e -проективная размерность A , иногда называемая биразмерностью A , измеряет отсутствие отделимости.

Конечномерная алгебра

Пусть A — конечномерная алгебра над полем k . Тогда A — артиново кольцо .

Коммутативный случай

Так как A артиново, то если оно коммутативно, то оно является конечным произведением артиновых локальных колец, чьи поля вычетов являются алгебрами над базовым полем k . Теперь, редуцированное артиново локальное кольцо является полем, и поэтому следующие условия эквивалентны ^[4]

$A$ является отделимым.
$A\otimes {\overline {k}}$ редуцируется, где — некоторое алгебраическое замыкание k . ${\overline {k}}$
$A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ для некоторого n .
$\dim _{k}A$ — число гомоморфизмов -алгебры . $k$ $A\to {\overline {k}}$

Пусть , проконечная группа конечных расширений Галуа для k . Тогда есть антиэквивалентность категории конечномерных отделимых k -алгебр категории конечных множеств с непрерывными -действиями. ^[5] $\Gamma =\operatorname {Gal} (k_{s}/k)=\varprojlim \operatorname {Gal} (k'/k)$ $A\mapsto X_{A}=\{k{\text{-algebra homomorphisms }}A\to k_{s}\}$ $\Gamma$

Некоммутативный случай

Так как простое артиново кольцо является (полным) матричным кольцом над телом, то если A является простой алгеброй, то A является (полной) матричной алгеброй над алгеброй с делением D над k ; т. е. A = M _n ( D ) . В более общем случае, если A является полупростой алгеброй, то она является конечным произведением матричных алгебр (над различными k -алгебрами с делением), факт, известный как теорема Артина–Веддерберна .

Тот факт, что A является артиновым, упрощает понятие радикала Джекобсона; для артинова кольца радикал Джекобсона кольца A является пересечением всех (двусторонних) максимальных идеалов (в отличие от этого, в общем случае, радикал Джекобсона является пересечением всех левых максимальных идеалов или пересечением всех правых максимальных идеалов).

Основная теорема Веддерберна гласит : ^[6] для конечномерной алгебры A с нильпотентным идеалом I , если проективная размерность A / I как модуля над обертывающей алгеброй ( A / I ) ^e не превышает единицы, то естественная сюръекция p : A → A / I расщепляется; т.е. A содержит подалгебру B такую, что p | _B : B ~→ A / I — изоморфизм. Если взять I за радикал Джекобсона, то теорема, в частности, утверждает, что радикал Джекобсона дополняется полупростой алгеброй. Теорема является аналогом теоремы Леви для алгебр Ли .

Решетки и порядки

Пусть R — нётерова область целостности с полем дробей K (например, это могут быть Z , Q ). Решетка L в конечномерном K -векторном пространстве V — это конечно порожденный R -подмодуль V , охватывающий V ; другими словами, L ⊗ _R K = V .

Пусть A _K — конечномерная K -алгебра. Порядок в A _K — это R -подалгебра, которая является решеткой. В общем случае порядков гораздо меньше, чем решеток; например, ⁠1/2⁠ Z — это решетка в Q , но не порядок (так как это не алгебра). ^[7]

Максимальный заказ — это заказ, который является максимальным среди всех заказов.

Связанные концепции

Коалгебры

Ассоциативная алгебра над K задается K -векторным пространством A, снабженным билинейным отображением A × A → A, имеющим два входа (мультипликатор и множимое) и один выход (произведение), а также морфизмом K → A, идентифицирующим скалярные кратные мультипликативного тождества. Если билинейное отображение A × A → A переинтерпретировать как линейное отображение (т. е. морфизм в категории K -векторных пространств) A ⊗ A → A (по универсальному свойству тензорного произведения ), то мы можем рассматривать ассоциативную алгебру над K как K -векторное пространство A, снабженное двумя морфизмами (одним вида A ⊗ A → A и одним вида K → A ), удовлетворяющими определенным условиям, которые сводятся к аксиомам алгебры. Эти два морфизма можно дуализировать с помощью категориальной двойственности , поменяв местами все стрелки в коммутативных диаграммах , описывающих аксиомы алгебры ; это определяет структуру коалгебры .

Существует также абстрактное понятие F -коалгебры , где F — функтор . Это смутно связано с понятием коалгебры, обсуждавшимся выше.

Представления

Представление алгебры A — это гомоморфизм алгебры ρ : A → End( V ) из A в алгебру эндоморфизмов некоторого векторного пространства (или модуля) V . Свойство ρ быть гомоморфизмом алгебры означает, что ρ сохраняет мультипликативную операцию (то есть ρ ( xy ) = ρ ( x ) ρ ( y ) для всех x и y в A ), и что ρ переводит единицу A в единицу End( V ) (то есть в тождественный эндоморфизм V ).

Если A и B — две алгебры, а ρ : A → End( V ) и τ : B → End( W ) — два представления, то существует (каноническое) представление A ⊗ B → End( V ⊗ W ) тензорного произведения алгебры A ⊗ B на векторном пространстве V ⊗ W . Однако не существует естественного способа определить тензорное произведение двух представлений одной ассоциативной алгебры таким образом, чтобы результат по-прежнему был представлением той же самой алгебры (а не ее тензорного произведения с собой), без наложения дополнительных условий. Здесь под тензорным произведением представлений подразумевается обычное значение: результатом должно быть линейное представление той же самой алгебры на векторном пространстве произведения. Наложение такой дополнительной структуры обычно приводит к идее алгебры Хопфа или алгебры Ли , как показано ниже.

Мотивация для алгебры Хопфа

Рассмотрим, например, два представления σ : A → End( V ) и τ : A → End( W ) . Можно попытаться сформировать представление тензорного произведения ρ : x ↦ σ ( x ) ⊗ τ ( x ) в соответствии с тем, как оно действует на векторное пространство произведения, так что

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).

Однако такая карта не будет линейной, поскольку придется

\rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)

для k ∈ K. Можно спасти эту попытку и восстановить линейность, наложив дополнительную структуру, определив гомоморфизм алгебры Δ : A → A ⊗ A и определив представление тензорного произведения как

\rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta .

Такой гомоморфизм Δ называется коумножением , если он удовлетворяет некоторым аксиомам. Полученная структура называется биалгеброй . Чтобы соответствовать определениям ассоциативной алгебры, коалгебра должна быть коассоциативной, а если алгебра унитальная, то и коалгебра должна быть коунитальной. Алгебра Хопфа — это биалгебра с дополнительной частью структуры (так называемым антиподом), которая позволяет не только определить тензорное произведение двух представлений, но и модуль Hom двух представлений (опять же, аналогично тому, как это делается в теории представлений групп).

Мотивация алгебры Ли

Можно попытаться быть более умным в определении тензорного произведения. Рассмотрим, например,

x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)

так что действие на пространстве тензорного произведения задается выражением

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

Это отображение явно линейно по x , и поэтому не имеет проблемы предыдущего определения. Однако оно не сохраняет умножение:

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

Но, в общем, это не равно

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

Это показывает, что это определение тензорного произведения слишком наивно; очевидным решением является определение его таким образом, чтобы оно было антисимметричным, так что средние два члена сокращаются. Это приводит к концепции алгебры Ли .

Неунитальные алгебры

Некоторые авторы используют термин «ассоциативная алгебра» для обозначения структур, которые не обязательно имеют мультипликативную идентичность, и, следовательно, рассматривают гомоморфизмы, которые не обязательно являются унитарными.

Одним из примеров неунитальной ассоциативной алгебры является множество всех функций f : R → R , предел которых при x, стремящемся к бесконечности, равен нулю.

Другим примером является векторное пространство непрерывных периодических функций вместе с произведением свертки .

Смотрите также

Примечания

^ Примечание редакции: как выясняется, в интересных случаях A ^e представляет собой полное матричное кольцо, и более общепринято позволять матрицам действовать справа.
^ Чтобы увидеть эквивалентность, обратите внимание, что сечение A ⊗ _R A → A можно использовать для построения сечения сюръекции.

Цитаты

^ Тжин 1992, Пример 1
^ Вейл 2009, Определение 3.1
^ Кон 2003, § 4.7
^ Уотерхаус 1979, § 6.2
^ Уотерхаус 1979, § 6.3
^ Кон 2003, Теорема 4.7.5
^ Артин 1999, Гл. IV, § 1

Ссылки

Артин, Майкл (1999). "Некоммутативные кольца" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
Бурбаки, Н. (1989). Алгебра И. Спрингер. ISBN 3-540-64243-9.
Cohn, PM (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (2-е изд.). Springer. ISBN 1852336676. Збл 1006.00001.
Якобсон, Натан (1956), Структура колец, Colloquium Publications, т. 37, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1037-8
Джеймс Берни Шоу (1907) «Синопсис линейной ассоциативной алгебры», ссылка из « Исторических математических монографий Корнелльского университета» .
Росс Стрит (1998) Квантовые группы: введение в современную алгебру , обзор безиндексной нотации.
Tjin, T. (10 октября 1992 г.). «Введение в квантованные группы и алгебры Ли». International Journal of Modern Physics A . 07 (25): 6175–6213. arXiv : hep-th/9111043 . Bibcode :1992IJMPA...7.6175T. doi :10.1142/S0217751X92002805. ISSN 0217-751X. S2CID 119087306.
Вейл, Р. (2009). «Заметки о квазисвободных алгебрах» (PDF) .
Уотерхаус, Уильям (1979), Введение в схемы аффинных групп , Graduate Texts in Mathematics, т. 66, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-6217-6, ISBN 978-0-387-90421-4, МР 0547117