Центр (теория колец)

Подкольцо, состоящее из элементов x

В алгебре центром кольца R является подкольцо , состоящее из элементов x таких, что xy = yx для всех элементов y в R. Это коммутативное кольцо и обозначается Z( R ); «Z» означает немецкое слово Zentrum , что означает «центр».

Если R — кольцо, то R — ассоциативная алгебра над своим центром. И наоборот, если R — ассоциативная алгебра над коммутативным подкольцом S , то S — подкольцо центра R , а если S оказывается центром R , то алгебра R называется центральной алгеброй .

Примеры

• Центром коммутативного кольца R является само кольцо R.
• Центром тела является поле .
• Центр (полного) матричного кольца с элементами коммутативного кольца R состоит из R -скалярных кратных единичной матрицы . ^[1]
• Пусть F — полевое расширение поля k , а R — алгебра над k . Тогда Z( R ⊗ _k F ) = Z( R ) ⊗ _k F .
• Центр универсальной обертывающей алгебры Ли играет важную роль в теории представлений алгебр Ли . Например, элемент Казимира — это элемент такого центра, который используется для анализа представлений алгебры Ли . См. также: Изоморфизм Хариш-Чандры .
• Центр простой алгебры — это поле.

Смотрите также

• Центр группы
• Центральная простая алгебра
• Эквивалентность Морита

Примечания

1. «Векторные пространства - линейный оператор, коммутирующий со всеми такими операторами, является скалярным кратным единицы». Math.stackexchange.com . Проверено 22 июля 2017 г.

Рекомендации

• Бурбаки, Алгебра
• Пирс, Ричард С. (1982), Ассоциативные алгебры, Тексты для аспирантов по математике, том. 88, Шпрингер-Верлаг, ISBN 978-0-387-90693-5