Центр (теория групп)

Набор элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы

В абстрактной алгебре центром группы G называется множество элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы G. Оно обозначается Z( G ) , от немецкого Zentrum, что означает центр . В нотации set-builder ,

Z( G ) = { z ∈ G | ∀ g ∈ G , zg = gz } .

Центр является нормальной подгруппой , Z( G ) ⊲ G , а также характеристической подгруппой, но не обязательно полностью характеристической . Фактор-группа , G / Z( G ) , изоморфна группе внутренних автоморфизмов , Inn( G ) .

Группа G является абелевой тогда и только тогда, когда Z( G ) = G. С другой стороны, группа называется бесцентровой, если Z( G ) тривиальна , т. е. состоит только из единичного элемента .

Элементы центра — это центральные элементы .

Как подгруппа

Центр G всегда является подгруппой G. В частности :

1. Z( G ) содержит единичный элемент G , поскольку он коммутирует с каждым элементом g , по определению: например , = g = ge , где e — единичный элемент;
2. Если x и y находятся в Z( G ) , то также находится xy по ассоциативности: ( xy ) g = x ( yg ) = x ( gy ) = ( xg ) y = ( gx ) y = g ( xy ) для каждого g ∈ G ; т. е. Z( G ) замкнуто;
3. Если x принадлежит Z( G ) , то x ⁻¹ также принадлежит Z ( G ) , поскольку для всех g из G x ⁻¹ коммутирует с g : ( gx = xg ) ⇒ ( x ⁻¹ gxx ⁻¹ = x ⁻¹ xgx ⁻¹ ) ⇒ ​​( x ⁻¹ g = gx ⁻¹ ) .

Более того, центр G всегда является абелевой и нормальной подгруппой G. Поскольку все элементы Z ( G ) коммутируют, она замкнута относительно сопряжения .

Групповой гомоморфизм f  : G → H может не ограничиваться гомоморфизмом между их центрами. Элементы образа f ( g ) коммутируют с образом f ( G ) , но им не обязательно коммутировать со всем H, если f не является сюръективным. Таким образом, отображение центра не является функтором между категориями Grp и Ab, поскольку оно не индуцирует отображение стрелок. ${\displaystyle G\to Z(G)}$

Классы сопряженности и централизаторы

По определению, элемент является центральным, если его класс сопряженности содержит только сам элемент, т. е. Cl( g ) = { g } .

Центр — это пересечение всех централизаторов элементов G :

${\displaystyle Z(G)=\bigcap _{g\in G}Z_{G}(g).}$

Поскольку централизаторы являются подгруппами, это снова показывает, что центр является подгруппой.

Спряжение

Рассмотрим отображение f  : G → Aut( G ) из G в группу автоморфизмов G, определяемую соотношением f ( g ) = ϕ _g , где ϕ _g — автоморфизм G , определяемый соотношением

f ( g )( h ) = ϕ _g ( h ) = ghg ^​​−1 .

Функция f является гомоморфизмом группы , а ее ядром является в точности центр G , а ее образ называется внутренней группой автоморфизмов G и обозначается Inn( G ) . По первой теореме об изоморфизме получаем,

G /Z( G ) ≃ Inn( G ) .

Коядром этого отображения является группа Out( G ) внешних автоморфизмов , и они образуют точную последовательность

1 ⟶ Z( G ) ⟶ G ⟶ Aut( G ) ⟶ Out( G ) ⟶ 1 .

Примеры

• Центром абелевой группы G является вся группа G.
• Центр группы Гейзенберга , H , представляет собой множество матриц вида: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&z\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$
• Центр неабелевой простой группы тривиален.
• Центр диэдральной группы D _n тривиален для нечетных n ≥ 3. Для четных n ≥ 4 центр состоит из единичного элемента вместе с поворотом многоугольника на 180 ° .
• Центр группы кватернионов , Q ₈ = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} , равен {1, −1} .
• Центр симметрической группы S _n тривиален для n ≥ 3 .
• Центр знакопеременной группы , An , тривиален для n ≥ 4 _.
• Центр полной линейной группы над полем F , GL _n (F) , — это набор скалярных матриц , { sI _n ∣ s ∈ F \ {0} } .
• Центр ортогональной группы O _n (F) — это {I _n , −I _n } .
• Центр специальной ортогональной группы SO ( n ) — это вся группа, когда n = 2 , и в противном случае {I _n , −I _n }, когда n четное, и тривиальный, когда n нечетное.
• Центром унитарной группы является . ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle \left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}}$
• Центром особой унитарной группы является . ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ${\textstyle \left\lbrace e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta ={\frac {2k\pi }{n}},k=0,1,\dots ,n-1\right\rbrace }$
• Центром мультипликативной группы ненулевых кватернионов является мультипликативная группа ненулевых действительных чисел .
• Используя уравнение класса , можно доказать, что центр любой нетривиальной конечной p-группы нетривиален.
• Если фактор-группа G /Z( G ) циклическая , то G абелева (и, следовательно, G = Z( G ) , поэтому G /Z( G ) тривиальна) .
• Центр группы кубика Рубика состоит из двух элементов – тождества (т.е. решенного состояния) и суперфлипа . Центр группы карманного кубика тривиален.
• Центр группы Мегаминкс имеет порядок 2, а центр группы Киломинкс тривиален.

Высшие центры

Вычитание по центру группы дает последовательность групп, называемую верхним центральным рядом :

( G ₀ = G ) ⟶ ( G ₁ = G ₀ /Z( G ₀ )) ⟶ ( G ₂ = G ₁ /Z( G ₁ )) ⟶ ⋯

Ядро отображения G → G _i — это i- й центр ^[1] группы G ( второй центр , третий центр и т. д.), обозначаемый Z ⁱ ( G ) . ^[2] Конкретно, ( i +1 )-й центр включает элементы, которые коммутируют со всеми элементами вплоть до элемента i -го центра. Следуя этому определению, можно определить 0-й центр группы как единичную подгруппу. Это можно продолжить до трансфинитных ординалов с помощью трансфинитной индукции ; объединение всех высших центров называется гиперцентром . [ ^{примечание 1]}

Восходящая цепочка подгрупп

1 ≤ Z( Г ) ≤ Z ² ( Г ) ≤ ⋯

стабилизируется в точке i (эквивалентно, Z ⁱ ( G ) = Z ⁱ⁺¹ ( G ) ) тогда и только тогда, когда G _i не имеет центра.

Примеры

• Для группы без центра все высшие центры равны нулю, что соответствует случаю стабилизации Z ⁰ ( G ) = Z ¹ ( G ) .
• По лемме Грюна фактор совершенной группы по ее центру не имеет центра, поэтому все высшие центры равны центру. Это случай стабилизации в точке Z ¹ ( G ) = Z ² ( G ) .

Смотрите также

• Центр (алгебра)
• Центр (теория колец)
• Централизатор и нормализатор
• Класс сопряженности

Примечания

1. Это объединение будет включать трансфинитные члены, если UCS не стабилизируется на конечном этапе.

Ссылки

• Фрели, Джон Б. (2014). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Пирсон. ISBN 978-1-292-02496-7.

Внешние ссылки

• «Центр группы», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

1. Эллис, Грэм (1 февраля 1998 г.). «О группах с конечным нильпотентным верхним центральным фактором». Archiv der Mathematik . 70 (2): 89–96. doi :10.1007/s000130050169. ISSN  1420-8938.
2. Эллис, Грэм (1 февраля 1998 г.). «О группах с конечным нильпотентным верхним центральным фактором». Archiv der Mathematik . 70 (2): 89–96. doi :10.1007/s000130050169. ISSN  1420-8938.