Централизатор и нормализатор

Специальные типы подгрупп, встречающиеся в теории групп

В математике , особенно в теории групп , централизатор (также называемый коммутантом ^{[1] [2]} ) подмножества S в группе G — это множество элементов G , которые коммутируют с каждым элементом S , или, что эквивалентно, множество элементов, такое , что сопряжение оставляет каждый элемент S неподвижным. Нормализатор S в G — это множество элементов G , которые удовлетворяют более слабому условию оставления множества неподвижным при сопряжении. Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G . Многие методы в теории групп основаны на изучении централизаторов и нормализаторов подходящих подмножеств  S . ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(S)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$

Соответствующим образом сформулированные определения применимы также к полугруппам .

В теории колец централизатор подмножества кольца определяется относительно умножения кольца (операция полугруппы). Централизатор подмножества кольца R является подкольцом R. В этой статье также рассматриваются централизаторы и нормализаторы в алгебре Ли .

Идеализатор в полугруппе или кольце — это еще одна конструкция, которая находится в том же русле , что и централизатор и нормализатор.

Определения

Группа и полугруппа

Централизатор подмножества S группы (или полугруппы) G определяется как ^[3]

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\right\}=\left\{g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ for all }}s\in S\right\},}$

где только первое определение применимо к полугруппам. Если нет двусмысленности относительно рассматриваемой группы, G можно опустить из обозначения. Когда S  = { a } — одноэлементное множество, мы пишем C _G ( a ) вместо C _G ({ a }). Другое менее распространенное обозначение для централизатора — Z( a ), которое аналогично обозначению для центра . С этим последним обозначением нужно быть осторожным, чтобы избежать путаницы между центром группы G , Z( G ), и централизатором элемента g в G , Z( g ).

Нормализатор S в группе (или полугруппе) G определяется как

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\right\},}$

где снова только первое определение применимо к полугруппам. Если множество является подгруппой , то нормализатор является наибольшей подгруппой , где является нормальной подгруппой . Определения централизатора и нормализатора похожи, но не идентичны. Если g находится в централизаторе S и s находится в S , то должно быть, что gs = sg , но если g находится в нормализаторе, то gs = tg для некоторого t из S , причем t возможно отличается от s . То есть элементы централизатора S должны коммутировать поточечно с S , но элементы нормализатора S должны коммутировать только с S как с множеством . Те же самые соглашения об обозначениях, упомянутые выше для централизаторов, применимы и к нормализаторам. Нормализатор не следует путать с нормальным замыканием . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N_{G}(S)}$ ${\displaystyle G'\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G'}$

Очевидно , что обе являются подгруппами . ${\displaystyle C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)}$ ${\displaystyle G}$

Кольцо, алгебра над полем, кольцо Ли и алгебра Ли

Если R — кольцо или алгебра над полем , а S — подмножество R , то централизатор S точно такой же, как определен для групп, с R вместо G.

Если — алгебра Ли (или кольцо Ли ) с произведением Ли [ x , y ], то централизатор подмножества S определяется как ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$

Определение централизаторов для колец Ли связано с определением для колец следующим образом. Если R — ассоциативное кольцо, то R можно задать скобочное произведение [ x , y ] = xy − yx . Конечно, тогда xy = yx тогда и только тогда, когда [ x , y ] = 0 . Если мы обозначим множество R со скобочным произведением как L _R , то ясно, что кольцевой централизатор S в R равен кольцевому централизатору Ли S в L _R .

Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли) задается формулой ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.}$

Хотя это стандартное использование термина «нормализатор» в алгебре Ли, эта конструкция на самом деле является идеализатором множества S в . Если S — аддитивная подгруппа , то — наибольшее подкольцо Ли (или подалгебра Ли, в зависимости от обстоятельств), в котором S — идеал Ли . ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$

Пример

Рассмотрим группу

${\displaystyle G=S_{3}=\{[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]\}}$(симметричная группа перестановок из 3 элементов).

Возьмем подмножество H группы G:

${\displaystyle H=\{[1,2,3],[1,3,2]\}.}$

Обратите внимание, что [1, 2, 3] — это тождественная перестановка в G, сохраняющая порядок каждого элемента, а [1, 3, 2] — это перестановка, которая фиксирует первый элемент и меняет местами второй и третий элементы.

Нормализатором H относительно группы G являются все элементы G, которые дают множество H (потенциально переставленное), когда элемент сопрягает H. Решим пример для каждого элемента G:

${\displaystyle [1,2,3]}$при применении к H => ; следовательно, [1, 2, 3] находится в нормализаторе (H) относительно G. ${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}=H}$

${\displaystyle [1,3,2]}$при применении к H => ; следовательно, [1, 3, 2] находится в нормализаторе (H) относительно G. ${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}=H}$

${\displaystyle [2,1,3]}$при применении к H => ; следовательно, [2, 1, 3] не входит в нормализатор (H) относительно G. ${\displaystyle \{[1,2,3],[3,2,1]\}!=H}$

${\displaystyle [2,3,1]}$при применении к H => ; следовательно, [2, 3, 1] не входит в нормализатор (H) относительно G. ${\displaystyle \{[1,2,3],[2,1,3]\}!=H}$

${\displaystyle [3,1,2]}$при применении к H => ; следовательно, [3, 1, 2] не входит в нормализатор (H) относительно G. ${\displaystyle \{[1,2,3],[3,2,1]\}!=H}$

${\displaystyle [3,2,1]}$при применении к H => ; следовательно, [3, 2, 1] не входит в нормализатор (H) относительно G. ${\displaystyle \{[1,2,3],[2,1,3]\}!=H}$

Следовательно, Нормализатор(H) относительно G равен , поскольку оба этих элемента группы сохраняют множество H при сопряжении. ${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}}$

Централизатор группы G — это множество элементов, которые оставляют каждый элемент H неизменным при сопряжении; то есть множество элементов, которые коммутируют с каждым элементом в H. В этом примере ясно, что единственным таким элементом в S ₃ является сам H ([1, 2, 3], [1, 3, 2]).

Характеристики

Полугруппы

Пусть обозначает централизатор в полугруппе ; т.е. Тогда образует подполугруппу и ; т.е. коммутант является своим собственным бикоммутантом . ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ for every }}s\in S\}.}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$

Группы

Источник: ^[6]

• Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G.
• Очевидно, C _G ( S ) ⊆ N _G ( S ) . Фактически, C _G ( S ) всегда является нормальной подгруппой в N _G ( S ), являясь ядром гомоморфизма N _G ( S ) → Bij( S ) и группа N _G ( S )/C _G ( S ) действует сопряжением как группа биекций на S . Например, группа Вейля компактной группы Ли G с тором T определяется как W ( G , T ) = N _G ( T )/C _G ( T ) , и особенно если тор максимален (т. е. C _G ( T ) = T ) она является центральным инструментом в теории групп Ли.
• C _G (C _G ( S )) содержит S , но C _G ( S ) не обязан содержать S . Включение происходит именно тогда, когда S абелев.
• Если H является подгруппой G , то _NG ( H ) содержит H.
• Если H является подгруппой группы G , то наибольшая подгруппа группы G , в которой H является нормальной, — это подгруппа N _G (H).
• Если S — подмножество G, такое, что все элементы S коммутируют друг с другом, то наибольшая подгруппа G , центр которой содержит S, — это подгруппа CG ₍ S).
• Подгруппа H группы G называетсясамонормализующаяся подгруппа группыG,еслиN _G ( H ) = H .
• Центром G является в точности C _G (G), и G является абелевой группой тогда и только тогда, когда C _G (G) = Z( G ) = G .
• Для одноэлементных множеств C _G ( a ) = _NG ( a ) .
• По симметрии, если S и T являются двумя подмножествами G , то T ⊆ C _G ( S ) тогда и только тогда, когда S ⊆ C _G ( T ) .
• Для подгруппы H группы G теорема N/C утверждает, что фактор-группа N _G ( H )/C _G ( H ) изоморфна подгруппе Aut( H ), группе автоморфизмов H . Поскольку N _G ( G ) = G и C _G ( G ) = Z( G ) , теорема N/C также подразумевает, что G /Z( G ) изоморфна Inn( G ), подгруппе Aut( G ) , состоящей из всех внутренних автоморфизмов G .
• Если мы определим гомоморфизм групп T  : G → Inn( G ) как T ( x )( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹ , то мы можем описать NG ₍ S ) и CG ₍ S ) в терминах группового действия Inn( G ) на G : стабилизатор S в Inn( G ) — это T (NG ₍ S ) ), а подгруппа Inn( G ), фиксирующая S поточечно, — это T ( _CG ( S )).
• Подгруппа H группы G называется C-замкнутой или самобикоммутантной , если H = C _G ( S ) для некоторого подмножества S ⊆ G. Если это так, то на самом деле H = C _G (C _G ( H )) .

Кольца и алгебры над полем

Источник: ^[4]

• Централизаторами в кольцах и алгебрах над полем являются подкольца и подалгебры над полем соответственно; централизаторами в кольцах Ли и алгебрах Ли являются подкольца Ли и подалгебры Ли соответственно.
• Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор S.
• C _R ( _CR ( S )) содержит S , но не обязательно равен. Теорема о двойном централизаторе касается ситуаций, когда имеет место равенство.
• Если S — аддитивная подгруппа кольца Ли A , то N _A ( S ) — наибольшее подкольцо Ли кольца A, в котором S — идеал Ли.
• Если S — подкольцо Ли кольца Ли A , то S ⊆ N _A ( S ) .

Смотрите также

• Коммутатор
• Теорема о двойном централизаторе
• Идеализатор
• Множители и централизаторы (банаховы пространства)
• Подгруппа стабилизатора

Примечания

1. Кевин О'Мира; Джон Кларк; Чарльз Винсонхалер (2011). Продвинутые темы линейной алгебры: решение матричных задач с помощью формы Вейра. Oxford University Press . стр. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.
2. Карл Генрих Хофманн; Сидней А. Моррис (2007). Теория Ли связных пролиевых групп: структурная теория пролиевых алгебр, пролиевых групп и связных локально компактных групп. Европейское математическое общество . стр. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
3. Якобсон (2009), стр. 41
4. Якобсон 1979, стр. 28.
5. Якобсон 1979, стр. 57.
6. Айзекс 2009, Главы 1−3.

Ссылки

• Айзекс, И. Мартин (2009), Алгебра: курс для аспирантов, Graduate Studies in Mathematics , т. 100 (перепечатка оригинального издания 1994 г.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , doi : 10.1090/gsm/100, ISBN 978-0-8218-4799-2, г-н  2472787
• Якобсон, Натан (2009), Базовая алгебра, т. 1 (2-е изд.), Dover Publications , ISBN 978-0-486-47189-1
• Якобсон, Натан (1979), Алгебры Ли (переиздание оригинального издания 1962 года), Dover Publications , ISBN 0-486-63832-4, МР  0559927