Коммутативное свойство

Свойство некоторых математических операций

В математике бинарная операция является коммутативной , если изменение порядка операндов не меняет результат. Это фундаментальное свойство многих бинарных операций, и от него зависят многие математические доказательства . Возможно, наиболее известное как арифметическое свойство, например «3 + 4 = 4 + 3» или «2 × 5 = 5 × 2» , это свойство также можно использовать в более сложных настройках. Имя необходимо, поскольку существуют операции, такие как деление и вычитание , которые его не имеют (например, «3 − 5 ≠ 5 − 3» ); такие операции не являются коммутативными и поэтому называются некоммутативными операциями . В течение многих лет неявно предполагалась идея о том, что простые операции, такие как умножение и сложение чисел, являются коммутативными. Таким образом, это свойство не было названо до 19 века, когда математика начала формализоваться. ^{[1] [2]} Аналогичное свойство существует для бинарных отношений ; Бинарное отношение называется симметричным , если оно применяется независимо от порядка его операндов; например, равенство симметрично, поскольку два равных математических объекта равны независимо от их порядка. ^[3]

Математические определения

Бинарная операция над множеством S называется коммутативной, если ^{[4] [5]} ${\displaystyle *}$

$${\displaystyle x*y=y*x\qquad {\mbox{for all }}x,y\in S.}$$

некоммутативной

Говорят, что x коммутирует с y или что x и y коммутируют при условии, что ${\displaystyle *}$

$${\displaystyle x*y=y*x.}$$

Примеры

Накопление яблок, которое можно рассматривать как сложение натуральных чисел, является коммутативным.

Коммутативные операции

Сложение векторов коммутативно, поскольку . ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}$

• Сложение и умножение коммутативны в большинстве систем счисления , и, в частности, между натуральными , целыми , рациональными числами , действительными числами и комплексными числами . Это также верно в каждой области .
• Сложение коммутативно в любом векторном пространстве и в любой алгебре .
• Объединение и пересечение являются коммутативными операциями над множествами .
• « И » и « или » являются коммутативными логическими операциями .

Некоммутативные операции

Некоторые некоммутативные бинарные операции: ^[6]

Деление, вычитание и возведение в степень

Деление некоммутативно, так как . ${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$

Вычитание некоммутативно, так как . Однако его точнее классифицируют как антикоммутативный , поскольку . ${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$ ${\displaystyle 0-1=-(1-0)}$

Возведение в степень некоммутативно, так как . Это свойство приводит к двум различным «обратным» операциям возведения в степень (а именно, операции n -го корня и операции логарифма ), что отличается от умножения. ^[7] ${\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2}}$

Функции истинности

Некоторые функции истинности некоммутативны, поскольку таблицы истинности для функций меняются при изменении порядка операндов. Например, таблицы истинности для (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) и (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) имеют вид

Функциональная композиция линейных функций

Функциональная композиция линейных функций от действительных чисел к действительным числам почти всегда некоммутативна. Например, пусть и . Затем ${\displaystyle f(x)=2x+1}$ ${\displaystyle g(x)=3x+7}$

$${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}$$

$${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}$$

линейнымаффинным преобразованиямпространства

Умножение матрицы

Матричное умножение квадратных матриц почти всегда некоммутативно, например:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$$

Векторный продукт

Векторное произведение (или векторное произведение ) двух векторов в трех измерениях является антикоммутативным ; т. е. б × а = -( а × б ).

История и этимология

Первое известное использование этого термина было во французском журнале, опубликованном в 1814 году.

Записи о неявном использовании свойства коммутативности восходят к древним временам. Египтяне использовали коммутативное свойство умножения для упрощения вычислительных продуктов . ^{[8] [9] Известно, что} Евклид в своей книге «Начала» предположил коммутативное свойство умножения . ^[10] Формальное использование свойства коммутативности возникло в конце 18 и начале 19 веков, когда математики начали работать над теорией функций. Сегодня свойство коммутативности является хорошо известным и основным свойством, используемым в большинстве разделов математики.

Первое зарегистрированное использование термина « коммутативный» было в мемуарах Франсуа Сервуа в 1814 году, ^{[1] [11]} , в которых слово «коммутативный» использовалось при описании функций, обладающих тем, что сейчас называется коммутативным свойством. Это слово представляет собой комбинацию французского слова commuter , означающего «заменять или переключаться», и суффикса -ative , означающего «склонность к», поэтому слово буквально означает «склонность к замене или переключению». Затем этот термин появился на английском языке в 1838 году. ^[2] в статье Дункана Фаркухарсона Грегори, озаглавленной «О реальной природе символической алгебры», опубликованной в 1840 году в « Трудах Королевского общества Эдинбурга» . ^[12]

Логика высказываний

Правило замены

В истинно-функциональной логике высказываний коммутация ^[13] [ ^14] или коммутативность ^[15] относятся к двум действительным правилам замены . Правила позволяют транспонировать пропозициональные переменные внутри логических выражений в логических доказательствах . Правила таковы:

$${\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}$$

$${\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}$$

металогический символдоказательстве ${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Истинные функциональные связки

Коммутативность — это свойство некоторых логических связок истинностной функциональной логики высказываний . Следующие логические эквивалентности демонстрируют, что коммутативность является свойством определенных связок. Ниже приведены истиннофункциональные тавтологии .

Коммутативность соединения

${\displaystyle (P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)}$

Коммутативность дизъюнкции

${\displaystyle (P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)}$

Коммутативность импликации (также называемая законом перестановки)

${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\leftrightarrow {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$

Коммутативность эквивалентности (также называемая полным коммутативным законом эквивалентности)

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}$

Теория множеств

В теории групп и множеств многие алгебраические структуры называются коммутативными, когда определенные операнды удовлетворяют коммутативному свойству. В высших разделах математики, таких как анализ и линейная алгебра , в доказательствах часто используется (или неявно предполагается) коммутативность хорошо известных операций (таких как сложение и умножение действительных и комплексных чисел). ^{[16] [17] [18]}

Математические структуры и коммутативность

• Коммутативная полугруппа — это множество, наделенное тотальной, ассоциативной и коммутативной операцией.
• Если операция дополнительно имеет единичный элемент , мы имеем коммутативный моноид
• Абелева группа , или коммутативная группа, — это группа , групповая операция которой коммутативна. ^[17]
• Коммутативное кольцо — это кольцо , умножение которого коммутативно. (Сложение в кольце всегда коммутативно.) ^[19]
• В поле и сложение, и умножение коммутативны. ^[20]

Связанные свойства

Ассоциативность

Ассоциативное свойство тесно связано с коммутативным свойством. Ассоциативное свойство выражения, содержащего два или более вхождений одного и того же оператора, гласит, что порядок выполнения операций не влияет на конечный результат, пока порядок членов не меняется. Напротив, свойство коммутативности гласит, что порядок членов не влияет на конечный результат.

Большинство встречающихся на практике коммутативных операций также являются ассоциативными. Однако коммутативность не означает ассоциативности. Контрпримером является функция

$${\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}},}$$

xyкоммутативных неассоциативных магмахкватернионовматриц ${\displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}$ ${\displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}$

Распределительный

Симметрия

График, показывающий симметрию функции сложения

Некоторые формы симметрии могут быть напрямую связаны с коммутативностью. Когда коммутативная операция записывается в виде бинарной функции , то эта функция называется симметричной функцией , а ее график в трехмерном пространстве симметричен относительно плоскости . Например, если функция f определена как then , это симметричная функция. ${\displaystyle z=f(x,y),}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$ ${\displaystyle f}$

Для отношений симметричное отношение аналогично коммутативной операции: если отношение R симметрично, то . ${\displaystyle aRb\Leftrightarrow bRa}$

Некоммутирующие операторы в квантовой механике

В квантовой механике , сформулированной Шредингером , физические переменные представлены линейными операторами, такими как (что означает умножение на ) и . Эти два оператора не коммутируют, как можно увидеть, рассмотрев влияние их композиций и (также называемых произведениями операторов) на одномерную волновую функцию : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle x{\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}x}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

$${\displaystyle x\cdot {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\psi =x\cdot \psi '\ \neq \ \psi +x\cdot \psi '={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x\cdot \psi \right)}$$

Согласно принципу неопределенности Гейзенберга , если два оператора, представляющие пару переменных, не коммутируют, то эта пара переменных является взаимодополняющей , что означает, что их нельзя одновременно измерить или точно узнать. Например, положение и линейный импульс в -направлении частицы представляются операторами и соответственно (где – приведенная постоянная Планка ). Это тот же пример, за исключением константы , поэтому операторы снова не коммутируют, и физический смысл заключается в том, что положение и линейный импульс в данном направлении дополняют друг друга. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle -i\hbar }$

Смотрите также

• Антикоммутативное свойство
• Централизатор и нормализатор (также называемый коммутантом)
• Коммутативная диаграмма
• Коммутативный (нейрофизиология)
• Коммутатор
• Закон параллелограмма
• Статистика частиц (для коммутативности в физике )
• Доказательство того, что аксиомы Пеано предполагают коммутативность сложения натуральных чисел.
• Квазикоммутативное свойство
• Трассировка моноида
• Вероятность поездок на работу

Примечания

1. Cabillon & Miller, Коммутативный и распределительный
2. Флад, Раймонд; Райс, Адриан; Уилсон, Робин , ред. (2011). Математика в викторианской Британии. Издательство Оксфордского университета . п. 4. ISBN 9780191627941.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Симметричное отношение». Математический мир .
4. Краун, с. 1
5. Вайсштайн, Коммутировать , с. 1
6. Ярк, с. 1
7. "Пользователь MathematicalOrchid" . Математический обмен стеками . Проверено 20 января 2024 г.
8. Лампкин 1997, с. 11
9. Гей и Шут 1987
10. Реальные числа О'Коннера и Робертсона
11. О'Коннер и Робертсон, Сервуа
12. Грегори, DF (1840). «О настоящей природе символической алгебры». Труды Королевского общества Эдинбурга . 14 : 208–216.
13. Мур и Паркер
14. Копи и Коэн, 2005 г.
15. Херли и Уотсон, 2016 г.
16. Экслер 1997, с. 2
17. Gallian 2006, с. 34
18. Галлиан 2006, стр. 26, 87.
19. Галлиан 2006, с. 236
20. Галлиан 2006, с. 250

Рекомендации

Книги

• Экслер, Шелдон (1997). Линейная алгебра сделана правильно, 2e . Спрингер. ISBN 0-387-98258-2.

  Абстрактная теория алгебры. Охватывает коммутативность в этом контексте. Использует собственность на протяжении всей книги.

• Копи, Ирвинг М.; Коэн, Карл (2005). Введение в логику (12-е изд.). Прентис Холл. ISBN 9780131898349.
• Галлиан, Джозеф (2006). Современная абстрактная алгебра (6е изд.). Хоутон Миффлин. ISBN 0-618-51471-6.

  Теория линейной алгебры. Объясняет коммутативность в главе 1, использует ее повсюду.

• Гудман, Фредерик (2003). Алгебра: абстрактное и конкретное, подчеркивая симметрию (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-067342-0.

  Абстрактная теория алгебры. На протяжении всей книги используется свойство коммутативности.

• Херли, Патрик Дж.; Уотсон, Лори (2016). Краткое введение в логику (12-е изд.). Cengage Обучение. ISBN 978-1-337-51478-1.

Статьи

• Лампкин, Б. (1997). «Математическое наследие Древнего Египта - ответ Роберту Палтеру» (PDF) (неопубликованная рукопись). Архивировано из оригинала (PDF) 13 июля 2007 года.

  Статья, описывающая математические способности древних цивилизаций.

• Гей, Робинс Р.; Шут, Чарльз CD (1987). Математический папирус Ринда: древнеегипетский текст . Британский музей. ISBN 0-7141-0944-4.

  Перевод и интерпретация Математического папируса Ринда .

Интернет-ресурсы

• «Коммутативность», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Краун, Аарон, Коммутативный в PlanetMath ., по состоянию на 8 августа 2007 г.

  Определение коммутативности и примеры коммутативных операций.

• Вайсштейн, Эрик В. «Путешествие на работу». Математический мир ., по состоянию на 8 августа 2007 г.

  Объяснение термина поездка на работу

• «Ярк».Примеры некоммутативных операций в PlanetMath ., по состоянию на 8 августа 2007 г.

  Примеры, доказывающие некоторые некоммутативные операции

• О'Коннер, Джей-Джей; Робертсон Э. Ф. «История действительных чисел». МакТьютор . Проверено 8 августа 2007 г.

  Статья, рассказывающая историю действительных чисел

• Кабильон, Хулио; Миллер, Джефф. «Самые ранние известные варианты использования математических терминов» . Проверено 22 ноября 2008 г.

  Страница, посвященная самым ранним использованиям математических терминов.

• О'Коннер, Джей-Джей; Робертсон, EF "биография Франсуа Сервуа". МакТьютор . Архивировано из оригинала 2 сентября 2009 года . Проверено 8 августа 2007 г.

  Биография Франсуа Сервуа, который впервые использовал этот термин