Коммутативная диаграмма

Коллекция карт, дающих одинаковый результат

Коммутативная диаграмма, использованная при доказательстве пяти лемм

В математике , и особенно в теории категорий , коммутативная диаграмма — это диаграмма , в которой все направленные пути на диаграмме с одинаковыми началом и конечными точками приводят к одному и тому же результату. ^[1] Говорят, что коммутативные диаграммы играют в теории категорий ту же роль, что и уравнения в алгебре . ^{[ нужна цитата ]}

Описание

Коммутативная диаграмма часто состоит из трех частей:

• объекты (также известные как вершины )
• морфизмы (также известные как стрелки или ребра )
• пути или композиции

Символы стрелок

В текстах по алгебре тип морфизма можно обозначать с помощью различных стрелок:

• Мономорфизм может быть помечен ^[2] или a . ^[3] ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrowtail }$
• Эпиморфизм может быть помечен знаком . ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$
• Изоморфизм может быть помечен знаком . ${\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}}$
• Пунктирная стрелка обычно представляет утверждение о том, что указанный морфизм существует (всякий раз, когда остальная часть диаграммы верна); стрелка может быть дополнительно помечена как . ${\displaystyle \exists }$
  • Если морфизм к тому же уникален, то пунктирная стрелка может быть помечена или . ${\displaystyle !}$ ${\displaystyle \exists !}$

Значения различных стрелок не полностью стандартизированы: стрелки, используемые для мономорфизмов, эпиморфизмов и изоморфизмов, также используются для инъекций , сюръекций и биекций , а также корасслоений, расслоений и слабых эквивалентностей в модельной категории .

Проверка коммутативности

Коммутативность имеет смысл для многоугольника с любым конечным числом сторон (включая только 1 или 2), а диаграмма является коммутативной, если каждая многоугольная поддиаграмма коммутативна.

Обратите внимание, что диаграмма может быть некоммутативной, т. е. композиция разных путей на диаграмме может не давать одинаковый результат.

Примеры

Пример 1

В левой диаграмме, выражающей первую теорему об изоморфизме , коммутативность треугольника означает, что . На правой диаграмме коммутативность квадрата означает . ${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \pi }$ ${\displaystyle h\circ f=k\circ g}$

Пример 2

Чтобы приведенная ниже диаграмма была коммутируемой, должны выполняться три равенства:

1. ${\displaystyle r\circ h\circ g=H\circ G\circ l}$
2. ${\displaystyle m\circ g=G\circ l}$
3. ${\displaystyle r\circ h=H\circ m}$

Здесь, поскольку первое равенство следует из двух последних, достаточно показать, что (2) и (3) верны, чтобы диаграмма была коммутируемой. Однако, поскольку равенство (3), вообще говоря, не следует из двух других, то, как правило, недостаточно иметь только равенства (1) и (2), если нужно показать, что диаграмма коммутирует.

Погоня за диаграммой

Поиск диаграмм (также называемый диаграммным поиском ) — это метод математического доказательства , используемый особенно в гомологической алгебре , где устанавливается свойство некоторого морфизма, отслеживая элементы коммутативной диаграммы. Доказательство путем поиска диаграммы обычно включает формальное использование свойств диаграммы, таких как инъективные или сюръективные отображения или точные последовательности . ^[4] Строится силлогизм , для которого графическое отображение схемы является лишь наглядным пособием . Отсюда следует, что человек в конечном итоге «гоняется» за элементами по диаграмме, пока желаемый элемент или результат не будет построен или проверен.

Примеры доказательств с помощью поиска диаграмм включают те, которые обычно приводятся для леммы пяти , леммы о змее , леммы о зигзаге и леммы девяти .

В теории высших категорий

В теории высших категорий рассматриваются не только объекты и стрелки, но и стрелки между стрелками, стрелки между стрелками между стрелками и так далее до бесконечности. Например, категория малых категорий Cat, естественно, является 2-категорией с функторами в качестве стрелок и естественными преобразованиями в качестве стрелок между функторами. В этом случае коммутативные диаграммы также могут включать в себя эти более высокие стрелки, которые часто изображаются в следующем стиле: . Например, следующая (несколько тривиальная) диаграмма изображает две категории C и D вместе с двумя функторами F , G  : C → D и естественным преобразованием α  : F ⇒ G : ${\displaystyle \Rightarrow }$

В 2-категории есть два типа композиции (называемые вертикальной композицией и горизонтальной композицией ), и их также можно отобразить с помощью вставки диаграмм (примеры см. в разделе 2-category#Definition ).

Диаграммы как функторы

Коммутативную диаграмму в категории C можно интерпретировать как функтор из индексной категории J в C; Функтор называют диаграммой .

Более формально, коммутативная диаграмма — это визуализация диаграммы, индексированной категорией ЧУМ . Такая диаграмма обычно включает в себя:

• узел для каждого объекта в индексной категории,
• стрелка для порождающего набора морфизмов (без тождественных карт и морфизмов, которые могут быть выражены как композиции),
• коммутативность диаграммы (равенство различных композиций отображений между двумя объектами), соответствующая уникальности отображения между двумя объектами в категории ЧУМ.

И наоборот, учитывая коммутативную диаграмму, она определяет категорию частичного множества, где:

• объекты - это узлы,
• между любыми двумя объектами существует морфизм тогда и только тогда, когда между узлами существует (направленный) путь,
• с тем, что этот морфизм уникален (любая композиция отображений определяется своей областью определения и целью: это аксиома коммутативности).

Однако не каждая диаграмма коммутативна (понятие диаграммы строго обобщает коммутативную диаграмму). В качестве простого примера: диаграмма одного объекта с эндоморфизмом ( ) или с двумя параллельными стрелками ( , то есть , иногда называемая свободным колчаном ), используемая в определении эквалайзера , не требует коммутации. Кроме того, диаграммы могут быть беспорядочными или их невозможно нарисовать, если количество объектов или морфизмов велико (или даже бесконечно). ${\displaystyle f\colon X\to X}$ ${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$ ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$

Смотрите также

• Математическая диаграмма

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Коммутативная диаграмма». mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 г.
2. «Математика - Теория категорий - Стрелка - Мартин Бейкер» . www.euclideanspace.com . Проверено 25 ноября 2019 г.
3. Риль, Эмили (17 ноября 2016 г.). «1». Теория категорий в контексте (PDF) . Дуврские публикации. п. 11.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Погоня за диаграммами». mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 г.

Библиография

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990), Абстрактные и конкретные категории (PDF) , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-60922-6Теперь доступно в виде бесплатного онлайн-издания (PDF, 4,2 МБ).
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2002), Топосы, тройки и теории (PDF) , Springer, ISBN 0-387-96115-1Пересмотренная и исправленная бесплатная онлайн-версия Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).

Внешние ссылки

• Погоня за диаграммой в MathWorld
• WildCats — это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований .