Нормальное замыкание (теория групп)

Наименьшая нормальная группа, содержащая множество

В теории групп нормальное замыкание подмножества группы — это наименьшая нормальная подгруппа , содержащая ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S.}$

Свойства и описание

Формально, если — группа и — подмножество нормального замыкания — пересечение всех нормальных подгрупп, содержащих : ^[1] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)=\bigcap _{S\subseteq N\triangleleft G}N.}$$

Нормальное замыкание — это наименьшая нормальная подгруппа группы , содержащая ^[1], в том смысле, что является подмножеством каждой нормальной подгруппы группы , содержащей ${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S.}$

Подгруппа порождается множеством всех сопряженных элементов из​ ${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$ ${\displaystyle S^{G}=\{s^{g}:g\in G\}=\{g^{-1}sg:g\in G\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G.}$

Поэтому можно также написать $${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)=\{g_{1}^{-1}s_{1}^{\epsilon _{1}}g_{1}\dots g_{n}^{-1}s_{n}^{\epsilon _{n}}g_{n}:n\geq 0,\epsilon _{i}=\pm 1,s_{i}\in S,g_{i}\in G\}.}$$

Любая нормальная подгруппа равна своему нормальному замыканию. Сопряженное замыкание пустого множества — это тривиальная подгруппа . ^[2] ${\displaystyle \varnothing }$

В литературе для нормального замыкания используются различные другие обозначения, включая и ${\displaystyle \langle S^{G}\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle S\rangle ^{G},}$ ${\displaystyle \langle \langle S\rangle \rangle _{G},}$ ${\displaystyle \langle \langle S\rangle \rangle ^{G}.}$

Двойственной к концепции нормального замыкания является концепция нормальной внутренней части или нормального ядра , определяемая как объединение всех нормальных подгрупп, содержащихся в ^[3] ${\displaystyle S.}$

Групповые презентации

Для группы, заданной представлением с генераторами и определяющими соотношениями, нотация представления означает, что есть фактор-группа , где есть свободная группа на ^[4] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=F(S)/\operatorname {ncl} _{F(S)}(R),}$ ${\displaystyle F(S)}$ ${\displaystyle S.}$

Ссылки

1. Дерек Ф. Холт; Беттина Эйк; Имонн А. О'Брайен (2005). Справочник по вычислительной теории групп. CRC Press. стр. 14. ISBN 1-58488-372-3.
2. Ротман, Джозеф Дж. (1995). Введение в теорию групп. Graduate Texts in Mathematics. Т. 148 (Четвертое изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. 32. doi :10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 0-387-94285-8. МР  1307623.
3. Робинсон, Дерек Дж. С. (1996). Курс теории групп . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 80 (2nd ed.). Springer-Verlag . p. 16. ISBN 0-387-94461-3. Збл  0836.20001.
4. Линдон, Роджер С .; Шупп, Пол Э. (2001). Комбинаторная теория групп. Классика по математике. Шпрингер-Верлаг, Берлин. п. 87. ИСБН  3-540-41158-5. МР  1812024.