Свободная абелева группа

Алгебра формальных сумм

В математике свободная абелева группа — это абелева группа с базисом . Быть абелевой группой означает, что это множество с операцией сложения , которая является ассоциативной , коммутативной и обратимой. Базис, также называемый целочисленным базисом , — это подмножество , в котором каждый элемент группы может быть однозначно выражен как целочисленная комбинация конечного числа базисных элементов. Например, двумерная целочисленная решетка образует свободную абелеву группу с покоординатным сложением в качестве операции и с двумя точками (1,0) и (0,1) в качестве основы. Свободные абелевы группы обладают свойствами, которые делают их похожими на векторные пространства , и их можно эквивалентно назвать свободными модулями , свободными модулями над целыми числами. Теория решеток изучает свободные абелевы подгруппы вещественных векторных пространств . В алгебраической топологии свободные абелевы группы используются для определения цепных групп , а в алгебраической геометрии они используются для определения дивизоров . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Элементы свободной абелевой группы с базисом можно описать несколькими эквивалентными способами. К ним относятся формальные суммы по , которые являются выражениями вида , где каждый является ненулевым целым числом, каждый является отдельным базисным элементом и сумма имеет конечное число членов. Альтернативно, элементы свободной абелевой группы можно рассматривать как знаковые мультимножества , содержащие конечное число элементов с кратностью элемента в мультимножестве, равной его коэффициенту в формальной сумме. Другой способ представить элемент свободной абелевой группы — это функция от целых чисел с конечным числом ненулевых значений; для этого функционального представления групповая операция представляет собой поточечное сложение функций. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\textstyle \sum a_{i}b_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Каждое множество имеет в своей основе свободную абелеву группу . Эта группа единственна в том смысле, что любые две свободные абелевы группы с одним и тем же базисом изоморфны . Вместо того, чтобы строить ее путем описания ее отдельных элементов, свободная абелева группа с базисом может быть построена как прямая сумма копий аддитивной группы целых чисел, по одной копии на каждый член . Альтернативно, свободная абелева группа с базисом может быть описана представлением с элементами в качестве ее генераторов и коммутаторами пар членов в качестве ее соотношений. Ранг свободной абелевой группы — это мощность базиса ; каждые две базы одной и той же группы имеют одинаковый ранг, и любые две свободные абелевы группы одного и того же ранга изоморфны. Каждая подгруппа свободной абелевой группы сама является свободной абелевой; этот факт позволяет понимать общую абелеву группу как фактор свободной абелевой группы по «отношениям» или как коядро инъективного гомоморфизма между свободными абелевыми группами. Единственные свободные абелевы группы, которые являются свободными группами, — это тривиальная группа и бесконечная циклическая группа . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Определение и примеры

Решетка в евклидовой плоскости . Добавление любых двух синих точек решетки дает еще одну точку решетки; группа, образованная в результате этой операции сложения, является свободной абелевой группой.

Свободная абелева группа — это абелева группа , имеющая базис. ^[1] Здесь быть абелевой группой означает, что она описывается набором своих элементов и бинарной операцией над , условно обозначаемой как аддитивная группа символом (хотя это не обязательно должно быть обычное сложение чисел), которые подчиняются следующие свойства: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle +}$

• Операция является коммутативной и ассоциативной , что означает для всех элементов , , и , и . Поэтому при объединении двух и более элементов с помощью этой операции порядок и группировка элементов не влияют на результат. ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+y=y+x}$ ${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$ ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle S}$содержит единичный элемент (условно обозначаемый ) со свойством, что для каждого элемента . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+0=0+x=x}$
• Каждый элемент в имеет обратный элемент , такой, что . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle x+(-x)=0}$

Базис — это подмножество элементов со свойством, что каждый элемент может быть сформирован уникальным способом путем выбора конечного числа базисных элементов , выбора ненулевого целого числа для каждого из выбранных базисных элементов и сложения копий базиса. элементы , для которых является положительным, и копии для каждого базового элемента, для которого является отрицательным. ^[2] В частном случае единичный элемент всегда может быть сформирован таким образом как комбинация нулевых базисных элементов в соответствии с обычным соглашением для пустой суммы , и не должно быть возможности найти какую-либо другую комбинацию, которая представляет собой личность. ^[3] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle -k_{i}}$ ${\displaystyle -b_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$

Целые числа при ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ обычной операции сложения образуют свободную абелеву группу с базисом . ${\displaystyle \{1\}}$ Целые числа являются коммутативными и ассоциативными, с в качестве аддитивной идентичности и с каждым целым числом, имеющим аддитивную обратную величину , его отрицание. Каждое неотрицательное число представляет собой сумму копий , а каждое отрицательное целое число является суммой копий , поэтому базисное свойство также выполняется. ^[1] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle -1}$

Примером отличия групповой операции от обычного сложения чисел являются положительные рациональные числа , которые образуют свободную абелеву группу с обычной операцией умножения чисел и с простыми числами в качестве их основы. Умножение коммутативно и ассоциативно, с числом в качестве его единицы и обратным элементом для каждого положительного рационального числа . Тот факт, что простые числа образуют основу для умножения этих чисел, следует из фундаментальной теоремы арифметики , согласно которой каждое положительное целое число может быть однозначно разложено на множители в произведение конечного числа простых чисел или их обратных чисел. Если - положительное рациональное число, выраженное в простейших терминах, то его можно выразить как конечную комбинацию простых чисел, появляющихся при факторизации и . Количество копий каждого простого числа, используемого в этой комбинации, равно его показателю при факторизации или отрицанию его показателя при факторизации . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q=a/b}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Полиномы одной переменной с целыми коэффициентами образуют свободную абелеву группу при полиномиальном сложении со степенями в качестве основы. Как абстрактная группа, это то же самое, что ( изоморфная группа) мультипликативная группа положительных рациональных чисел. Один из способов сопоставить эти две группы друг с другом, показав, что они изоморфны, - это переосмыслить показатель степени i-го простого числа в мультипликативной группе рациональных чисел как коэффициент в соответствующем многочлене, или наоборот. Например, рациональное число имеет показатели для первых трех простых чисел и, таким образом, будет соответствовать многочлену, имеющему одинаковые коэффициенты для своих постоянных, линейных и квадратичных членов. Поскольку эти отображения просто интерпретируют одни и те же числа, они определяют биекцию между элементами двух групп. А поскольку групповая операция умножения положительных рациональных чисел действует аддитивно на показатели степеней простых чисел точно так же, как групповая операция сложения многочленов действует на коэффициенты многочленов, эти отображения сохраняют структуру группы; они являются гомоморфизмами . Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом, и его существование показывает, что эти две группы обладают одинаковыми свойствами. ^[5] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i-1}}$ ${\displaystyle 5/27}$ ${\displaystyle 0,-3,1}$ ${\displaystyle 2,3,5}$ ${\displaystyle -3x+x^{2}}$ ${\displaystyle 0,-3,1}$

Хотя представление каждого элемента группы в терминах данного базиса уникально, свободная абелева группа обычно имеет более одного базиса, и разные базисы обычно приводят к разным представлениям ее элементов. Например, если заменить любой элемент базиса обратным ему, получится другой базис. В качестве более детального примера: двумерная целочисленная решетка , состоящая из точек плоскости с целочисленными декартовыми координатами , образует свободную абелеву группу при сложении векторов с базисом . ^[1] Для этого элемента можно записать , где «умножение» определяется так, что, например, . Другого способа написать в той же базе нет . Однако с другим базисом, например , его можно записать как . Обобщая этот пример, каждая решетка образует конечно порожденную свободную абелеву группу. ^[6] -мерная целочисленная решетка имеет естественный базис, состоящий из единичных векторов положительных целых чисел , но у нее также есть много других базисов: если - целочисленная матрица с определителем , то строки образуют базис, и наоборот, каждый базис целочисленная решетка имеет такой вид. ^[7] Дополнительную информацию о двумерном случае см. в разделе «Фундаментальная пара периодов» . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \{(1,0),(0,1)\}}$ ${\displaystyle (4,3)}$ ${\displaystyle (4,3)=4\cdot (1,0)+3\cdot (0,1)}$ ${\displaystyle \ 4\cdot (1,0):=(1,0)+(1,0)+(1,0)+(1,0)}$ ${\displaystyle (4,3)}$ ${\displaystyle \{(1,0),(1,1)\}}$ ${\displaystyle (4,3)=(1,0)+3\cdot (1,1)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle M}$

Конструкции

Каждое множество может быть базисом свободной абелевой группы, единственной с точностью до групповых изоморфизмов. Свободная абелева группа для данного базисного набора может быть построена несколькими различными, но эквивалентными способами: как прямая сумма копий целых чисел, как семейство целочисленных функций, как знаковое мультимножество или путем представления группы. .

Произведения и суммы

Прямое произведение групп состоит из наборов элементов каждой группы в произведении с покомпонентным сложением. Прямое произведение двух свободных абелевых групп само по себе является свободным абелевым, а базис представляет собой непересекающееся объединение базисов двух групп. ^[8] В более общем смысле, прямое произведение любого конечного числа свободных абелевых групп является свободным абелевым. Например, -мерная целочисленная решетка изоморфна прямому произведению копий целочисленной группы . Тривиальная группа также считается свободной абелевой с базой пустого множества . ^[9] Его можно интерпретировать как пустой продукт , прямой продукт нулевых копий . ^[10] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Для бесконечных семейств свободных абелевых групп прямое произведение не обязательно является свободным абелевым. ^[8] Например, группа Бэра-Спкера , несчетная группа, образованная как прямой продукт счетного числа копий , была показана в 1937 году Рейнхольдом Баером как несвободная абелева, [ ^11] хотя Эрнст Шпекер доказал в 1950 году, что все ее счетные подгруппы свободны абелевы. ^[12] Вместо этого, чтобы получить свободную абелеву группу из бесконечного семейства групп, следует использовать прямую сумму, а не прямое произведение. Прямая сумма и прямое произведение одинаковы, когда они применяются к конечному числу групп, но различаются в бесконечных семействах групп. В прямой сумме элементы снова представляют собой кортежи элементов из каждой группы, но с ограничением, что все эти элементы, кроме конечного числа, являются тождественными для своей группы. Прямая сумма бесконечного числа свободных абелевых групп остается свободной абелевой. Он имеет основу, состоящую из кортежей, в которых все элементы, кроме одного, являются единицами, а оставшийся элемент является частью основы своей группы. ^[8] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Каждую свободную абелеву группу можно описать как прямую сумму копий , по ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ одной копии для каждого члена ее основы. ^{[13] [14]} Эта конструкция позволяет любому множеству стать базисом свободной абелевой группы. ^[15] ${\displaystyle B}$

Целочисленные функции и формальные суммы

Учитывая набор , ${\displaystyle B}$ можно определить группу , элементами которой являются функции от целых чисел, где скобка в верхнем индексе указывает, что включены только функции с конечным числом ненулевых значений. Если и две такие функции, то это функция, значения которой являются суммами значений в и : то есть . Эта операция поточечного сложения дает структуру абелевой группы. ^[16] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$

Каждому элементу из данного множества соответствует член , функция для которого и для которого для всех . Каждая функция в является однозначно линейной комбинацией конечного числа базисных элементов: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle e_{x}}$ ${\displaystyle e_{x}(x)=1}$ ${\displaystyle e_{x}(y)=0}$ ${\displaystyle y\neq x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$

$${\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}.}$$

для и^[16] ${\displaystyle e_{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle B}$

Элементы также могут быть записаны как формальные суммы , выражения в виде суммы конечного числа членов, где каждый член записывается как произведение ненулевого целого числа с отдельным членом . Эти выражения считаются эквивалентными, если они содержат одинаковые термины, независимо от порядка терминов, и их можно добавлять путем образования объединения терминов, добавления целочисленных коэффициентов для объединения терминов с одним и тем же базисным элементом и удаления терминов, для которых эта комбинация дает нулевой коэффициент. ^[4] Их также можно интерпретировать как знаковые мультимножества из конечного числа элементов . ^[17] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Презентация

Представление группы — это набор элементов, которые порождают группу (это означает, что все элементы группы могут быть выражены как произведения конечного числа генераторов) вместе с «реляторами», продуктами генераторов, которые дают единичный элемент. Элементы группы, определенные таким образом, представляют собой классы эквивалентности последовательностей образующих и их обратных значений при отношении эквивалентности , которое позволяет вставлять или удалять любую пару отношения или пары, обращенной к генератору, как непрерывную подпоследовательность. Свободная абелева группа с базисом имеет представление, в котором образующими являются элементы , а реляторами — коммутаторы пар элементов . Здесь коммутатор двух элементов и – произведение ; установка этого продукта на идентичность приводит к равенству , так что и добираться. В более общем смысле, если все пары генераторов коммутируют, то и все пары произведений генераторов также коммутируют. Следовательно, группа, порожденная этим представлением, является абелевой, и реляторы представления образуют минимальный набор соотношений, необходимый для того, чтобы оно было абелевым. ^[18] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{-1}y^{-1}xy}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Когда набор образующих конечен, представление свободной абелевой группы также конечно, поскольку в представление можно включить лишь конечное число различных коммутаторов. Этот факт, а также тот факт, что каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой группой (ниже), можно использовать, чтобы показать, что каждая конечно порожденная абелева группа конечно представима. Ибо, если конечно порождено множеством , это фактор свободной абелевой группы по свободной абелевой подгруппе, подгруппе, порожденной связями представления . Но поскольку эта подгруппа сама является свободной абелевой, она также конечно порождена, и ее базис (вместе с коммутаторами над ) образует конечное множество соотношений для представления . ^[19] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$

В качестве модуля

Модули над целыми числами определяются аналогично векторным пространствам над действительными или рациональными числами : они состоят из систем элементов, которые можно складывать друг с другом, с операцией скалярного умножения на целые числа, совместимой с этой операцией сложения. Каждую абелеву группу можно рассматривать как модуль над целыми числами со скалярной операцией умножения, определяемой следующим образом: ^[20]

Однако, в отличие от векторных пространств, не все абелевы группы имеют базис, поэтому те, у которых он есть, получили специальное название «свободные». Свободный модуль — это модуль, который можно представить в виде прямой суммы по своему базовому кольцу , поэтому свободные абелевы группы и свободные -модули являются эквивалентными понятиями: каждая свободная абелева группа является (с указанной выше операцией умножения) свободным -модулем, и каждый Таким образом, свободный -модуль происходит из свободной абелевой группы. ^[21] Помимо прямой суммы, еще одним способом объединения свободных абелевых групп является использование тензорного произведения -модулей . Тензорное произведение двух свободных абелевых групп всегда является свободным абелевым, базис которого является декартовым произведением базисов двух групп в произведении. ^[22] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Многие важные свойства свободных абелевых групп могут быть обобщены на свободные модули над областью главных идеалов . Например, подмодули свободных модулей в областях главных идеалов свободны, и этот факт, как пишет Хэтчер (2002), позволяет «автоматическое обобщение» гомологического механизма на эти модули. ^[23] Кроме того, аналогичным образом обобщается теорема о том, что каждый проективный -модуль свободен. ^[24] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Характеристики

Универсальная собственность

Свободная абелева группа с базисом обладает следующим универсальным свойством : для каждой функции из в абелеву группу существует единственный гомоморфизм группы, из которого продолжается . ^{[4] [9]} Здесь групповой гомоморфизм — это отображение одной группы в другую, которое согласуется с законом группового произведения: выполнение произведения до или после отображения дает один и тот же результат. По общему свойству универсальных свойств это показывает, что «абелева» группа базы единственна с точностью до изоморфизма. Следовательно, универсальное свойство можно использовать как определение свободной абелевой группы базы . Единственность группы, определяемой этим свойством, показывает, что все остальные определения эквивалентны. ^[15] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Именно из-за этого универсального свойства свободные абелевы группы называются «свободными»: они являются свободными объектами в категории абелевых групп , категории , которая имеет абелевы группы в качестве своих объектов и гомоморфизмы в качестве своих стрелок. Отображение базиса в его свободную абелеву группу является функтором , сохраняющим структуру отображением категорий множеств в абелевы группы и сопряжено с функтором забывания из абелевых групп в множества. ^[25] Однако свободная абелева группа не является свободной группой , за исключением двух случаев: свободная абелева группа, имеющая пустой базис (нулевой ранг, что дает тривиальную группу ) или имеющая только один элемент в базисе (ранг один, что дает бесконечная циклическая группа ). ^{[9] [26]} Другие абелевы группы не являются свободными группами, потому что в свободных группах они должны отличаться от if и являются разными элементами базиса, тогда как в свободных абелевых группах два произведения должны быть идентичны для всех пар элементов. В общей категории групп требование соблюдения этого требования является дополнительным ограничением , тогда как в категории абелевых групп это необходимое свойство. ^[27] ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle ba}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab=ba}$

Классифицировать

Каждые два базиса одной и той же свободной абелевой группы имеют одинаковую мощность , поэтому мощность базиса образует инвариант группы, известный как ее ранг. ^{[28] [29]} Две свободные абелевы группы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг. ^[4] Свободная абелева группа конечно порождена тогда и только тогда, когда ее ранг является конечным числом , и в этом случае группа изоморфна . ^[30] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Это понятие ранга можно обобщить от свободных абелевых групп до абелевых групп, которые не обязательно свободны. Ранг абелевой группы определяется как ранг свободной абелевой подгруппы , факторгруппа которой является периодической группой . Эквивалентно, это мощность максимального подмножества , порождающего свободную подгруппу. Ранг является групповым инвариантом: он не зависит от выбора подгруппы. ^[31] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/F}$ ${\displaystyle G}$

Подгруппы

Каждая подгруппа свободной абелевой группы сама является свободной абелевой группой. Этот результат Рихарда Дедекинда ^[32] был предшественником аналогичной теоремы Нильсена-Шрайера о том, что каждая подгруппа свободной группы свободна, и является обобщением того факта, что каждая нетривиальная подгруппа бесконечной циклической группы является бесконечной циклической . Для доказательства нужна аксиома выбора . ^[25] Доказательство с использованием леммы Цорна (одного из многих предположений, эквивалентных выбранной аксиоме) можно найти в « Алгебре » Сержа Ланга . ^[33] Соломон Лефшец и Ирвинг Каплански утверждают, что использование принципа хорошего порядка вместо леммы Цорна приводит к более интуитивному доказательству. ^[14]

В случае конечно порожденных свободных абелевых групп доказательство проще, не требует аксиомы выбора и приводит к более точному результату. Если является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы , то она свободна и существует базис и натуральных чисел (т.е. каждое из них делит следующее) такой, что является базисом Кроме того, последовательность зависит только от и и не на основании. ^[34] Конструктивное доказательство существования части теоремы обеспечивается любым алгоритмом, вычисляющим нормальную форму Смита матрицы целых чисел. ^[35] Единственность следует из того факта, что для любого наибольший общий делитель миноров ранга матрицы не изменяется во время вычисления нормальной формы Смита и является произведением в конце вычисления. ^[36] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$ ${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r\leq k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d_{1}\cdots d_{r}}$

Кручение и делимость

Все свободные абелевы группы не имеют кручения , что означает, что не существует неединичного элемента группы и ненулевого целого числа такого, что . И наоборот, все конечно порожденные абелевы группы без кручения являются свободными абелевыми. ^{[9] [37]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nx=0}$

Аддитивная группа рациональных чисел представляет собой пример абелевой группы без кручения (но не конечно порожденной), которая не является свободной абелевой. ^[38] Одна из причин, по которой число не является свободным абелевым, заключается в том, что оно делится , а это означает, что для каждого элемента и каждого ненулевого целого числа его можно выразить как скалярное кратное другого элемента  . Напротив, нетривиальные свободные абелевы группы никогда не делятся, потому что в свободной абелевой группе базисные элементы не могут быть выражены как кратные другим элементам. ^[39] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ny}$ ${\displaystyle y=x/n}$

Симметрия

Симметрии любой группы можно описать как групповые автоморфизмы , обратимые гомоморфизмы группы в себя. В неабелевых группах они подразделяются на внутренние и внешние автоморфизмы, но в абелевых группах все нетождественные автоморфизмы являются внешними. При операции композиции они образуют другую группу — группу автоморфизмов данной группы . Группа автоморфизмов свободной абелевой группы конечного ранга — это общая линейная группа , которую можно конкретно (для конкретного базиса группы свободных автоморфизмов) описать как множество обратимых целочисленных матриц относительно операции умножения матриц . Их действие как симметрий на свободной абелевой группе — это просто умножение матрицы на вектор. ^[40] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Группы автоморфизмов двух свободных абелевых групп бесконечного ранга имеют одинаковые теории первого порядка друг с другом тогда и только тогда, когда их ранги являются эквивалентными кардиналами с точки зрения логики второго порядка . Этот результат зависит от структуры инволюций свободных абелевых групп, автоморфизмов, обратных самим себе. Имея базис свободной абелевой группы, можно найти инволюции, которые отображают любой набор непересекающихся пар базисных элементов друг в друга или отрицают любое выбранное подмножество базисных элементов, оставляя остальные базисные элементы фиксированными. И наоборот, для каждой инволюции свободной абелевой группы можно найти базис группы, в которой все базисные элементы попарно заменены местами, отброшены или оставлены неизменными инволюцией. ^[41]

Отношение к другим группам

Если свободная абелева группа является фактором двух групп , то – прямая сумма . ^[4] ${\displaystyle A/B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\oplus A/B}$

Для произвольной абелевой группы всегда существует свободная абелева группа и сюръективный групповой гомоморфизм от до . Один из способов построения сюръекции на данную группу состоит в том, чтобы позволить быть свободной абелевой группой над , представленной в виде формальных сумм. Тогда сюръекцию можно определить путем отображения формальных сумм в соответствующие суммы членов . То есть сюръективные отображения ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Z} ^{(A)}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}e_{x}\mapsto \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}x,}$$

^{[29] [42]} ${\displaystyle a_{x}}$ ${\displaystyle e_{x}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e_{x}\mapsto x}$

Когда и такие же, как указано выше, ядро ​​сюръекции из to также является свободным абелевым, поскольку оно является подгруппой (подгруппы элементов, отображаемых в единицу). Следовательно, эти группы образуют короткую точную последовательность ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle 0\to G\to F\to A\to 0}$$

фактор-групперазрешение^[2][43]проективными объектамикатегории абелевых групп^{[4] [44]} ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F/G}$ ${\displaystyle A}$

Приложения

Алгебраическая топология

В алгебраической топологии формальная сумма -мерных симплексов называется -цепью , а свободная абелева группа, имеющая в своей основе набор -симплексов , называется цепной группой. ^[45] Симплексы обычно берутся из некоторого топологического пространства , например, как набор -симплексов в симплициальном комплексе или набор особых -симплексов в многообразии . Любой -мерный симплекс имеет границу, которую можно представить в виде формальной суммы -мерных симплексов, а универсальное свойство свободных абелевых групп позволяет расширить этот граничный оператор до группового гомоморфизма от -цепей до -цепей. Система цепных групп, связанных таким образом граничными операторами, образует цепной комплекс , и изучение цепных комплексов составляет основу теории гомологии . ^[46] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k-1)}$

Алгебраическая геометрия и комплексный анализ

Рациональная функция имеет ноль четвертого порядка в 0 (черная точка в центре графика) и простые полюса в четырех комплексных числах и (белые точки на концах четырех лепестков). Его можно представить (с точностью до скаляра) делителем где - базисный элемент комплексного числа в свободной абелевой группе комплексных чисел. ${\displaystyle z^{4}/(z^{4}-1)}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle 4e_{0}-e_{1}-e_{-1}-e_{i}-e_{-i}}$ ${\displaystyle e_{z}}$ ${\displaystyle z}$

Каждой рациональной функции над комплексными числами можно сопоставить знаковое мультимножество комплексных чисел , нули и полюса функции (точки, где ее значение равно нулю или бесконечно). Кратность точки в этом мультимножестве — это ее порядок как нуля функции или отрицание ее порядка как полюса. Тогда по этим данным можно восстановить саму функцию с точностью до скалярного множителя, как ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$

$${\displaystyle f(q)=\prod (q-c_{i})^{m_{i}}.}$$

мероморфные функциисфере Римана^[47]

Эта конструкция была обобщена в алгебраической геометрии до понятия дивизора . Существуют разные определения дивизоров, но в целом они образуют абстракцию подмногообразия коразмерности один алгебраического многообразия , множества точек решения системы полиномиальных уравнений . В случае, когда система уравнений имеет одну степень свободы (ее решения образуют алгебраическую кривую или риманову поверхность ), подмногообразие имеет коразмерность единицу, когда оно состоит из изолированных точек, и в этом случае дивизор снова является знаковым мультимножеством точек от сорта. ^[48] ​​Мероморфные функции на компактной римановой поверхности имеют конечное число нулей и полюсов, а их делители образуют подгруппу свободной абелевой группы над точками поверхности, причем умножение или деление функций соответствует сложению или вычитанию элементов группы. . Чтобы быть дивизором, элемент свободной абелевой группы должен иметь кратность, равную нулю, и удовлетворять определенным дополнительным ограничениям, зависящим от поверхности. ^[47]

Групповые кольца

Целочисленное групповое кольцо для любой группы — это кольцо, аддитивная группа которого является свободной абелевой группой над . ^[49] Когда она конечна и абелева, мультипликативная группа единиц в имеет структуру прямого произведения конечной группы и конечно порожденной свободной абелевой группы. ^{[50] [51]} ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

Рекомендации

1. Sims, Чарльз К. (1994), «Раздел 8.1: Свободные абелевы группы», Вычисления с конечно представленными группами , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 48, Издательство Кембриджского университета, с. 320, номер домена : 10.1017/CBO9780511574702, ISBN 0-521-43213-8, МР  1267733
2. Вик, Джеймс В. (1994), Теория гомологии: введение в алгебраическую топологию, Тексты для аспирантов по математике, том. 145, Спрингер, стр. 4, 70, ISBN. 9780387941264
3. Некоторые источники определяют свободные абелевы группы при условии, что единственным представлением идентичности является пустая сумма, а не рассматривают ее как особый случай уникального представления всех элементов группы; см., например, Sims (1994).
4. Фукс, Ласло (2015), «Раздел 3.1: Свободность и проективность», Абелевы группы , Монографии Спрингера по математике, Cham: Springer, стр. 75–80, doi : 10.1007/978-3-319-19422-6, ISBN 978-3-319-19421-9, МР  3467030
5. Брэдли, Дэвид М. (2005), Подсчет положительных рациональных оснований: краткий обзор , arXiv : math/0509025 , Bibcode : 2005math......9025B
6. Моллин, Ричард А. (2011), Расширенная теория чисел с приложениями, CRC Press, стр. 182, ISBN 9781420083293
7. Бремнер, Мюррей Р. (2011), Сокращение базиса решетки: введение в алгоритм LLL и его приложения, CRC Press, стр. 6, ISBN 9781439807026
8. Hungerford (1974), Упражнение 5, с. 75.
9. Ли, Джон М. (2010), «Свободные абелевы группы», Введение в топологические многообразия , Тексты для аспирантов по математике, том. 202 (2-е изд.), Springer, стр. 244–248, ISBN. 9781441979407
10. Как прямо указано, например, у Хартли, Брайан; Турулл, Александр (1994), «О характерах взаимно простых групп операторов и соответствии характеров Глаубермана», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1994 (451): 175–219, doi : 10.1515/crll.1994.451.175, MR  1277300 , S2CID  118116330, доказательство леммы 2.3: «тривиальная группа есть прямое произведение пустого семейства групп»
11. Баер, Рейнхольд (1937), «Абелевы группы без элементов конечного порядка», Duke Mathematical Journal , 3 (1): 68–122, doi : 10.1215/S0012-7094-37-00308-9, hdl : 10338.dmlcz /100591 , МР  1545974
12. Спекер, Эрнст (1950), «Аддитивная группа фон Фольгена Ганзера Залена», Portugaliae Math. , 9 : 131–140, МР  0039719
13. Мак Лейн, Сондерс (1995), Гомология, Классика математики, Springer, стр. 93, ISBN 9783540586623
14. Каплански, Ирвинг (2001), Теория множеств и метрические пространства, Серия публикаций AMS Chelsea, том. 298, Американское математическое общество, стр. 124–125, ISBN. 9780821826942
15. Хангерфорд, Томас В. (1974), «II.1 Свободные абелевы группы», Алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 73, Спрингер, стр. 70–75, ISBN. 9780387905181. См., в частности, теорему 1.1, стр. 72–73, и следующие за ней замечания.
16. Джоши, К.Д. (1997), Прикладные дискретные структуры, New Age International, стр. 45–46, ISBN 9788122408263
17. ван Глаббек, Роб; Гольц, Урсула ; Шике-Уффманн, Йенс-Вольфхард (2013), «О характеристике распределяемости», Логические методы в информатике , 9 (3): 3:17, 58, arXiv : 1309.3883 , doi : 10.2168/LMCS-9(3:17) 2013, МР  3109601, S2CID  17046529
18. Хангерфорд (1974), Упражнение 3, с. 75.
19. Джонсон, Д.Л. (2001), Симметрии, серия Springer по математике для студентов, Springer, стр. 71, ISBN 9781852332709
20. Сахай, Вивек; Бист, Викас (2003), Алгебра, Alpha Science International Ltd., стр. 152, ISBN 9781842651575
21. Ротман, Джозеф Дж. (2015), Продвинутая современная алгебра, Американское математическое общество, стр. 450, ISBN 9780821884201
22. Корнер, ALS (2008), «Группы единиц порядков в Q-алгебрах», Модели, модули и абелевы группы , Вальтер де Грюйтер, Берлин, стр. 9–61, doi : 10.1515/9783110203035.9, MR  2513226. См., в частности, доказательство леммы H.4, с. 36, где используется этот факт.
23. Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Cambridge University Press, стр. 196, ISBN 9780521795401
24. Вермани, Л.Р. (2004), Элементарный подход к гомологической алгебре, Монографии и обзоры по чистой и прикладной математике, CRC Press, стр. 80, ISBN 9780203484081
25. Бласс, Андреас (1979), «Инъективность, проективность и аксиома выбора», Transactions of the American Mathematical Society , 255 : 31–59, doi : 10.1090/S0002-9947-1979-0542870-6 , JSTOR  1998165 , МР  0542870. О связи со свободными объектами см. следствие 1.2. В примере 7.1 представлена ​​модель теории множеств без выбора и несвободная проективная абелева группа в этой модели, которая является подгруппой свободной абелевой группы , где — набор атомов и — конечное целое число. Бласс пишет, что эта модель делает использование выбора необходимым для доказательства свободы каждой проективной группы; по тем же соображениям это также показывает, что выбор важен для доказательства свободы подгрупп свободных групп. ${\displaystyle P}$ ${\textstyle {\bigl (}\mathbb {Z} ^{(A)}{\bigr )}^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$
26. Хангерфорд (1974), Упражнение 4, с. 75.
27. Хангерфорд (1974), с. 70.
28. Хангерфорд (1974), Теорема 1.2, с. 73.
29. Хофманн, Карл Х.; Моррис, Сидни А. (2006), Структура компактных групп: учебник для студентов - справочник для эксперта, Исследования Де Грюйтера по математике, том. 25 (2-е изд.), Вальтер де Грюйтер, с. 640, ISBN 9783110199772
30. Мачи, Антонио (2012), «Теорема 4.10», Группы: введение в идеи и методы теории групп , Unitext, vol. 58, Милан: Springer, с. 172, номер домена : 10.1007/978-88-470-2421-2, ISBN 978-88-470-2420-5, МР  2987234
31. Ротман, Джозеф Дж. (1988), Введение в алгебраическую топологию, Тексты для выпускников по математике, том. 119, Спрингер, стр. 61–62, ISBN. 9780387966786
32. Джонсон, Д.Л. (1980), Темы теории групповых представлений , серия лекций Лондонского математического общества, том. 42, Издательство Кембриджского университета, с. 9, ISBN 978-0-521-23108-4, МР  0695161
33. Приложение 2, §2, стр. 880, Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556, Збл  0984.00001
34. Хангерфорд (1974), Теорема 1.6, с. 74.
35. Джонсон (2001), стр. 71–72.
36. Норман, Кристофер (2012), «1.3 Уникальность нормальной формы Смита», Конечно сгенерированные абелевы группы и подобие матриц над полем , Серия статей по математике для студентов Springer, Springer, стр. 32–43, Bibcode : 2012fgag.book.. ...Н, ISBN 9781447127307
37. Хангерфорд (1974), Упражнение 9, с. 75.
38. Хангерфорд (1974), Упражнение 10, с. 75.
39. Хангерфорд (1974), Упражнение 4, с. 198.
40. Бридсон, Мартин Р .; Фогтманн, Карен (2006), «Группы автоморфизмов свободных групп, поверхностных групп и свободных абелевых групп», в Фарбе, Бенсоне (ред.), Проблемы отображения групп классов и смежные темы , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 74, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 301–316, arXiv : math/0507612 , doi : 10.1090/pspum/074/2264548, MR  2264548, S2CID  17710182.
41. Толстых, Владимир (2005), «Что группа автоморфизмов свободной абелевой группы A знает об A ?», в Blass, Andreas ; Чжан, И (ред.), Логика и ее приложения , Современная математика, том. 380, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 283–296, arXiv : math/0701752 , doi : 10.1090/conm/380/07117, MR  2167584, S2CID  18107280
42. Хангерфорд (1974), Теорема 1.4, с. 74.
43. Теорема о проективности свободных абелевых групп эквивалентна аксиоме выбора; см. Мур, Грегори Х. (2012), «Аксиома выбора Цермело: ее истоки, развитие и влияние», Courier Dover Publications, стр. xii, ISBN 9780486488417
44. Гриффит, Филлип А. (1970), Теория бесконечных абелевых групп , Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press, стр. 18, ISBN 0-226-30870-7
45. Каваньяро, Кэтрин ; Хейт, Уильям Т. II (2001), Словарь классической и теоретической математики, Большой словарь математики, том. 3, CRC Press, с. 15, ISBN 9781584880509
46. Эдельсбруннер, Герберт ; Харер, Джон (2010), Вычислительная топология: введение, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 79–81, ISBN 9780821849255
47. Дедекинд, Ричард ; Вебер, Генрих (2012), Теория алгебраических функций одной переменной, История математики, том. 39, перевод Джона Стиллвелла , Американское математическое общество, стр. 13–15, ISBN. 9780821890349
48. Миранда, Рик (1995), Алгебраические кривые и римановы поверхности, Аспирантура по математике , том. 5, Американское математическое общество, с. 129, ISBN 9780821802687
49. Штейн, Шерман К .; Сабо, Шандор (1994), Алгебра и мозаика: гомоморфизмы на службе геометрии , Математические монографии Каруса, том. 25, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, с. 198, ISBN 0-88385-028-1, МР  1311249
50. Хигман, Грэм (1940), «Единицы групповых колец», Труды Лондонского математического общества , вторая серия, 46 : 231–248, doi : 10.1112/plms/s2-46.1.231, MR  0002137
51. Аюб, Раймонд Г.; Аюб, Кристина (1969), «О групповом кольце конечной абелевой группы», Бюллетень Австралийского математического общества , 1 (2): 245–261, doi : 10.1017/S0004972700041496 , MR  0252526