Мультисет

Математический набор с разрешенными повторениями

В математике мультимножество (или мешок , или mset ) — это модификация концепции множества, которая , в отличие от множества, ^[1] допускает множественные экземпляры для каждого из его элементов . Количество экземпляров, заданных для каждого элемента, называется кратностью этого элемента в мультимножестве. Как следствие, существует бесконечное количество мультимножеств, которые содержат только элементы a и b , но различаются по кратности своих элементов:

• Набор { a , b } содержит только элементы a и b , каждый из которых имеет кратность 1, когда { a , b } рассматривается как мультимножество.
• В мультимножестве { a , a , b } элемент a имеет кратность 2, а элемент b имеет кратность 1.
• В мультимножестве { a , a , a , b , b , b } кратность a и b равна 3.

Все эти объекты различны, если рассматривать их как мультимножества, хотя они представляют собой один и тот же набор, поскольку все они состоят из одних и тех же элементов. Как и в случае с множествами, в отличие от кортежей , порядок перечисления элементов не имеет значения при распознавании мультимножеств, поэтому { a , a , b } и { a , b , a } обозначают одно и то же мультимножество. Чтобы различать множества и мультимножества, иногда используется обозначение, включающее квадратные скобки: мультимножество { a , a , b } может обозначаться [ a , a , b ] . ^[2]

Мощность мультимножества — это сумма кратностей всех его элементов. Например, в мультимножестве { a , a , b , b , b , c } кратности членов a , b и c равны соответственно 2, 3 и 1, и, следовательно, мощность этого мультимножества равна 6.

По словам Дональда Кнута , Николаас Говерт де Брейн придумал слово «мультмножество» в 1970-х годах . ^{[3] : 694} Однако концепция мультимножеств на много столетий предшествует появлению слова «мультмножество» . Сам Кнут приписывает первое исследование мультимножеств индийскому математику Бхаскарачарье , который описал перестановки мультимножеств около 1150 года. Для этой концепции предлагались или использовались и другие названия, в том числе список , группа , мешок , куча , образец , взвешенный набор , коллекция и люкс . ^{[3] : 694}

История

Уэйн Близард проследил мультимножества до самого происхождения чисел, утверждая, что «в древние времена число n часто представлялось набором из n штрихов, меток или единиц». ^[4] Эти и подобные коллекции объектов можно рассматривать как мультимножества, поскольку штрихи, метки или единицы измерения считаются неразличимыми. Это показывает, что люди неявно использовали мультимножества еще до появления математики.

Практическая потребность в этой структуре привела к тому, что мультимножества несколько раз открывались заново, появляясь в литературе под разными названиями. ^{[5] : 323} Например, они были важны в ранних языках искусственного интеллекта , таких как QA4, где их называли « мешками» — термином, приписываемым Питеру Дойчу . ^[6] Мультинабор также называют агрегатом, кучей, группой, выборкой, взвешенным набором, набором вхождений и набором элементов (конечно повторяющийся набор элементов). ^{[5] : 320  [7]}

Хотя мультимножества неявно использовались с древних времен, их явное исследование произошло гораздо позже. Первое известное исследование мультимножеств приписывается индийскому математику Бхаскарачарье около 1150 года, который описал перестановки мультимножеств. ^{[3] : 694} Работа Мариуса Низолиуса (1498–1576) содержит еще одно раннее упоминание концепции мультимножеств. ^[8] Афанасий Кирхер нашел количество мультимножествовых перестановок, когда один элемент может повторяться. ^[9] Жан Престе опубликовал общее правило для мультимножественных перестановок в 1675 году. ^[10] Джон Уоллис объяснил это правило более подробно в 1685 году. ^[11]

Мультимножества явно появились в работах Ричарда Дедекинда . ^{[12] [13]}

Другие математики формализовали мультимножества и начали изучать их как точные математические структуры в 20 веке. Например, Уитни (1933) описал обобщенные множества («множества», характеристические функции которых могут принимать любое целое значение — положительное, отрицательное или нулевое). ^{[5] : 326  [14] : 405} Монро (1987) исследовал категорию Mul мультимножеств и их морфизмы , определяя мультимножество как множество с отношением эквивалентности между элементами «одного и того же вида » и морфизмом между мультимножествами как функция , которая учитывает сортировку . Он также ввел мультичисло  : функцию f  ( x ) от мультимножества до натуральных чисел , задающую кратность элемента x в мультимножестве. Монро утверждал, что понятия мультимножества и мультичисла часто смешивают без разбора, хотя оба они полезны. ^{[5] : 327–328  [15]}

Примеры

Одним из самых простых и естественных примеров является мультимножество простых делителей натурального числа n . Здесь базовым набором элементов является набор простых множителей числа n . Например, число 120 имеет простую факторизацию , которая дает мультимножество {2, 2, 2, 3, 5} . $${\displaystyle 120=2^{3}3^{1}5^{1}}$$

Похожий пример — мультимножество решений алгебраического уравнения . Например, квадратное уравнение имеет два решения. Однако в некоторых случаях их число одинаково. Таким образом, мультимножеством решений уравнения может быть {3, 5} или {4, 4} . В последнем случае оно имеет решение кратности 2. В более общем смысле фундаментальная теорема алгебры утверждает , что комплексные решения полиномиального уравнения степени d всегда образуют мультимножество мощности d .

Частным случаем вышеизложенного являются собственные значения матрицы , кратность которых обычно определяется как их кратность как корней характеристического многочлена . Однако две другие кратности естественным образом определяются для собственных значений: их кратность как корни минимального многочлена и геометрическая кратность , которая определяется как размерность ядра матрицы A − λI (где λ — собственное значение матрицы A ). Эти три кратности определяют три мультимножества собственных значений, которые могут быть разными: пусть A — матрица размера n  ×  n в жордановой нормальной форме , имеющая одно собственное значение. Его кратность равна n , его кратность как корня минимального полинома — это размер наибольшего жорданового блока, а его геометрическая кратность — это количество жордановых блоков.

Определение

Мультимножество может быть формально определено как упорядоченная пара ( A , m ) , где A — базовый набор мультимножества, сформированный из его отдельных элементов, и функция от A до набора положительных целых чисел, дающая кратность — то есть , количество вхождений – элемента a в мультимножестве как число m ( a ) . ${\displaystyle m\colon A\to \mathbb {Z} ^{+}}$

(Также возможно разрешить кратность 0 или , особенно при рассмотрении подмультимножеств. ^[16] Эта статья ограничена конечными положительными кратностями.) ${\displaystyle \infty }$

Представление функции m ее графиком (набором упорядоченных пар ) позволяет записать мультимножество { a , a , b } как ({ a , b }, {( a , 2), ( b , 1)}) и мультимножество { a , b } как ({ a , b }, {( a , 1), ( b , 1)}) . Однако это обозначение обычно не используется; используются более компактные обозначения. ${\displaystyle \{(a,m(a)):a\in A\}}$

Если — конечное множество , мультимножество ( A , m ) часто представляется как ${\displaystyle A=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$

${\displaystyle \left\{a_{1}^{m(a_{1})},\ldots ,a_{n}^{m(a_{n})}\right\},\quad }$иногда упрощается до ${\displaystyle \quad a_{1}^{m(a_{1})}\cdots a_{n}^{m(a_{n})},}$

где верхние индексы, равные 1, опущены. Например, мультимножество { a , a , b } может быть записано или Если элементами мультимножества являются числа, возможна путаница с обычными арифметическими операциями , которые обычно можно исключить из контекста. С другой стороны, последнее обозначение согласуется с тем фактом, что простая факторизация положительного целого числа представляет собой однозначно определенное мультимножество, как утверждается фундаментальной теоремой арифметики . Кроме того, моном представляет собой мультимножество неопределенных чисел ; например, моном x ³ y ² соответствует мультимножеству { x , x , x , y , y }. ${\displaystyle \{a^{2},b\}}$ ${\displaystyle a^{2}b.}$

Мультимножество соответствует обычному набору, если кратность каждого элемента равна 1. Индексированное семейство ( a _i ) _{i ∈ I} , где i меняется в пределах некоторого набора индексов I , может определять мультимножество, иногда обозначаемое { a _i } . С этой точки зрения основной набор мультимножества задается образом семейства , а кратность любого элемента x — это количество значений индекса i таких, что . В этой статье кратности считаются конечными, так что ни один элемент не встречается в семействе бесконечное количество раз; даже в бесконечном мультимножестве кратности являются конечными числами. ${\displaystyle a_{i}=x}$

Можно расширить определение мультимножества, разрешив кратностям отдельных элементов быть бесконечными кардиналами вместо положительных целых чисел, но не все свойства переносятся в это обобщение.

Основные свойства и операции

Элементы мультимножества обычно помещаются в фиксированный набор U , иногда называемый вселенной , который часто представляет собой набор натуральных чисел . Говорят, что элемент U , не принадлежащий данному мультимножеству, имеет кратность 0 в этом мультимножестве. Это расширяет функцию кратности мультимножества до функции от U до набора неотрицательных целых чисел. Это определяет взаимно однозначное соответствие между этими функциями и мультимножествами, элементы которых находятся в U . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Эту расширенную функцию множественности обычно называют просто функцией множественности , и ее достаточно для определения мультимножеств, когда вселенная, содержащая элементы, фиксирована. Эта функция множественности является обобщением индикаторной функции подмножества и имеет с ней некоторые общие свойства .

Поддержка мультимножества в юниверсе U является базовым набором мультимножества . Используя функцию кратности , она характеризуется как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \operatorname {Supp} (A):=\{x\in U\mid m_{A}(x)>0\}.}$$

Мультимножество конечно, если его носитель конечен или, что то же самое, если его мощность конечна. Пустое мультимножество — это уникальное мультимножество с пустой опорой (базовым множеством) и, следовательно, мощностью 0. $${\displaystyle |A|=\sum _{x\in \operatorname {Supp} (A)}m_{A}(x)=\sum _{x\in U}m_{A}(x)}$$

Обычные операции с множествами можно распространить на мультимножества с помощью функции кратности аналогично использованию индикаторной функции для подмножеств. Далее A и B являются мультимножествами в данной вселенной U с функциями кратности и ${\displaystyle m_{A}}$ ${\displaystyle m_{B}.}$

• Включение: A входит в B , обозначается A ⊆ B , если $${\displaystyle m_{A}(x)\leq m_{B}(x)\quad \forall x\in U.}$$
• Объединение : объединение (в некоторых контекстах называемое максимальным или наименьшим общим кратным ) A и B представляет собой мультимножество C с функцией кратности ^[13] $${\displaystyle m_{C}(x)=\max(m_{A}(x),m_{B}(x))\quad \forall x\in U.}$$
• Пересечение : пересечение (в некоторых контекстах называемое нижней границей или наибольшим общим делителем ) A и B представляет собой мультимножество C с функцией кратности. $${\displaystyle m_{C}(x)=\min(m_{A}(x),m_{B}(x))\quad \forall x\in U.}$$
• Сумма: сумма A и B представляет собой мультимножество C с функцией кратности. Ее можно рассматривать как обобщение несвязного объединения множеств. Он определяет коммутативную моноидную структуру на конечных мультимножествах в данной вселенной. Этот моноид является свободным коммутативным моноидом , в основе которого лежит Вселенная. $${\displaystyle m_{C}(x)=m_{A}(x)+m_{B}(x)\quad \forall x\in U.}$$
• Разница : разница A и B представляет собой мультимножество C с функцией кратности . $${\displaystyle m_{C}(x)=\max(m_{A}(x)-m_{B}(x),0)\quad \forall x\in U.}$$

Два мультимножества не пересекаются, если их носители являются непересекающимися множествами . Это эквивалентно утверждению, что их пересечение является пустым мультимножеством или что их сумма равна их объединению.

Для конечных мультимножеств существует принцип включения-исключения (аналогичный принципу для множеств ), утверждающий, что конечное объединение конечных мультимножеств есть разность двух сумм мультимножеств: в первой сумме мы рассматриваем все возможные пересечения нечетного числа заданные мультимножества, а во второй сумме рассматриваются все возможные пересечения четного числа данных мультимножеств. ^{[ нужна цитата ]}

Подсчет мультимножеств

Биекция между 3-подмножествами 7-множества (слева)
и 3-мультимножествами с элементами из 5-множества (справа).
Это иллюстрирует, что ${\textstyle {7 \choose 3}=\left(\!\!{5 \choose 3}\!\!\right).}$

Число мультимножеств мощности k с элементами, взятыми из конечного множества мощности n , иногда называют коэффициентом мультимножества или числом мультимножества . Это число записывается некоторыми авторами как обозначение, которое должно напоминать обозначение биномиальных коэффициентов ; оно используется, например, в (Stanley, 1997) и может произноситься как « n multichoose k », чтобы напоминать « n select k » для Подобно биномиальному распределению , включающему биномиальные коэффициенты, существует отрицательное биномиальное распределение , в котором встречаются коэффициенты мультимножества. . Коэффициенты мультимножества не следует путать с несвязанными полиномиальными коэффициентами , которые встречаются в полиномиальной теореме . ${\displaystyle \textstyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$

Значение коэффициентов мультимножества может быть задано явно, например, где второе выражение представляет собой биномиальный коэффициент; ^[а] многие авторы фактически избегают отдельных обозначений и просто пишут биномиальные коэффициенты. Таким образом, количество таких мультимножеств совпадает с количеством подмножеств мощности k множества мощности n + k − 1 . Аналогию с биномиальными коэффициентами можно подчеркнуть, записав числитель в приведенном выше выражении как возрастающую степень факториала, чтобы соответствовать выражению биномиальных коэффициентов с использованием падающей степени факториала: $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}={n(n+1)(n+2)\cdots (n+k-1) \over k!},}$$ $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n^{\overline {k}} \over k!},}$$ $${\displaystyle {n \choose k}={n^{\underline {k}} \over k!}.}$$

Например, существует 4 мультимножества мощности 3 с элементами, взятыми из множества {1, 2} мощности 2 ( n = 2 , k = 3 ), а именно {1, 1, 1} , {1, 1, 2} , {1, 2, 2} , {2, 2, 2} . В множестве {1, 2, 3, 4} мощности 4 ( n + k − 1 ) также есть 4 подмножества мощности 3 , а именно {1, 2, 3} , {1, 2, 4} , {1 , 3, 4} , {2, 3, 4} .

Один простой способ доказать равенство коэффициентов мультимножества и биномиальных коэффициентов, приведенных выше, включает представление мультимножеств следующим образом. Во-первых, рассмотрим обозначения для мультимножеств, которые будут представлять { a , a , a , a , a , a , b , b , c , c , c , d , d , d , d , d , d , d } (6 a с, 2 б с, 3 в с, 7 д с) в таком виде:

 • • • • • • | • • | • • • | • • • • • • •

Это мультимножество мощности k = 18 , составленное из элементов множества мощности n = 4 . Количество символов, включая точки и вертикальные линии, используемые в этом обозначении, составляет 18 + 4 − 1 . Количество вертикальных линий равно 4–1. Тогда количество мультимножеств мощности 18 представляет собой количество способов расположить 4–1 вертикальные линии среди 18 + 4–1 символов и, таким образом, является количеством подмножеств мощности 4. − 1 из множества мощности 18 + 4 − 1 . Эквивалентно, это количество способов расположить 18 точек среди 18 + 4 - 1 символов, что представляет собой количество подмножеств мощности 18 набора мощности 18 + 4 - 1 . Таким образом , это значение коэффициента мультимножества и его эквивалентов: $${\displaystyle {4+18-1 \choose 4-1}={4+18-1 \choose 18}=1330,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\!\!{4 \choose 18}\!\!\right)&={21 \choose 18}={\frac {21!}{18!\,3!}}={21 \choose 3},\\[1ex]&={\frac {{\color {red}{\mathfrak {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}}}\cdot \mathbf {19\cdot 20\cdot 21} }{\mathbf {1\cdot 2\cdot 3} \cdot {\color {red}{\mathfrak {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}}}}},\\[1ex]&={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots 16\cdot 17\cdot 18\;\mathbf {\cdot \;19\cdot 20\cdot 21} }{\,1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots 16\cdot 17\cdot 18\;\mathbf {\cdot \;1\cdot 2\cdot 3\quad } }},\\[1ex]&={\frac {19\cdot 20\cdot 21}{1\cdot 2\cdot 3}}.\end{aligned}}}$$

Из связи между биномиальными коэффициентами и коэффициентами мультимножества следует, что количество мультимножеств мощности k в множестве мощности n можно записать Дополнительно: $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=(-1)^{k}{-n \choose k}.}$$ $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{k+1 \choose n-1}\!\!\right).}$$

Рекуррентное отношение

Рекуррентное соотношение для коэффициентов мультимножества может быть задано следующим образом : $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{n \choose k-1}\!\!\right)+\left(\!\!{n-1 \choose k}\!\!\right)\quad {\mbox{for }}n,k>0}$$ $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose 0}\!\!\right)=1,\quad n\in \mathbb {N} ,\quad {\mbox{and}}\quad \left(\!\!{0 \choose k}\!\!\right)=0,\quad k>0.}$$

Вышеупомянутое повторение можно интерпретировать следующим образом. Пусть это исходный набор. Всегда существует ровно один (пустой) мультимножество размера 0, и если n = 0, мультимножеств большего размера нет, что дает начальные условия. ${\displaystyle [n]:=\{1,\dots ,n\}}$

Теперь рассмотрим случай, когда n , k > 0 . Мультимножество мощности k с элементами из [ n ] может содержать или не содержать экземпляр последнего элемента n . Если он действительно появляется, то, удалив n один раз, останется мультимножество мощности k - 1 элементов из [ n ] , и любое такое мультимножество может возникнуть, что дает общее количество возможностей. $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k-1}\!\!\right)}$$

Если n не появляется, то наше исходное мультимножество равно мультимножеству мощности k с элементами из [ n − 1] , из которых есть $${\displaystyle \left(\!\!{n-1 \choose k}\!\!\right).}$$

Таким образом, $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{n \choose k-1}\!\!\right)+\left(\!\!{n-1 \choose k}\!\!\right).}$$

Создание серии

Производящая функция коэффициентов мультимножества очень проста: Поскольку мультимножества находятся во взаимно однозначном соответствии с мономами , также является числом мономов степени d в n неопределенных числах. Таким образом, указанный ряд является также рядом Гильберта кольца многочленов $${\displaystyle \sum _{d=0}^{\infty }\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)t^{d}={\frac {1}{(1-t)^{n}}}.}$$ ${\displaystyle \left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)}$ ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$

Поскольку это полином от n , он и производящая функция четко определены для любого комплексного значения n . ${\displaystyle \left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)}$

Обобщение и подключение к отрицательному биномиальному ряду

Мультипликативная формула позволяет расширить определение коэффициентов мультимножества, заменив n произвольным числом α (отрицательным, действительным или комплексным): $${\displaystyle \left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)={\frac {\alpha ^{\overline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +k-1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\text{for }}k\in \mathbb {N} {\text{ and arbitrary }}\alpha .}$$

Благодаря этому определению получается обобщение формулы отрицательного бинома (с одной из переменных, установленной в 1), что оправдывает использование отрицательных биномиальных коэффициентов: ${\displaystyle \left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)}$ $${\displaystyle (1-X)^{-\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)X^{k}.}$$

Эта формула ряда Тейлора действительна для всех комплексных чисел α и X с | Х | < 1 . Его также можно интерпретировать как тождество формального степенного ряда в X , где на самом деле оно может служить определением произвольных степеней ряда с постоянным коэффициентом, равным 1; Дело в том, что с этим определением сохраняются все тождества, которые можно ожидать от возведения в степень , в частности

$${\displaystyle (1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )},}$$и подобные формулы можно использовать для доказательства тождества коэффициентов мультимножества.

Если α — неположительное целое число n , то все члены с k > − n равны нулю, и бесконечный ряд становится конечной суммой. Однако для других значений α , включая целые положительные и рациональные числа , ряд бесконечен.

Приложения

Мультисеты имеют различные применения. ^[7] Они становятся фундаментальными в комбинаторике . ^{[17] [18] [19] [20]} Мультимножества стали важным инструментом в теории реляционных баз данных , в которой часто используется синоним « мешок» . ^{[21] [22] [23]} Например, мультимножества часто используются для реализации отношений в системах баз данных. В частности, таблица (без первичного ключа) работает как мультимножество, поскольку в ней может быть несколько одинаковых записей. Аналогичным образом SQL работает с мультимножествами и возвращает идентичные записи. Например, рассмотрим «ВЫБРАТЬ имя из ученика». Если в таблице учащихся имеется несколько записей с именем «Сара», отображаются все они. Это означает, что результатом запроса SQL является мультимножество; если бы результатом был набор, повторяющиеся записи в наборе результатов были бы исключены. Другое применение мультимножеств — моделирование мультиграфов . В мультиграфах между любыми двумя заданными вершинами может быть несколько ребер . Таким образом, объект, отображающий ребра, является мультимножеством, а не набором.

Есть и другие приложения. Например, Рихард Радо использовал мультимножества как инструмент для исследования свойств семейств множеств. Он писал: «Понятие множества не принимает во внимание многократное появление любого из его членов, и тем не менее именно такого рода информация часто имеет важное значение. Нам нужно только подумать о множестве корней многочлена f.  ( x ) или спектр линейного оператора ». ^{[5] : 328–329.}

Обобщения

Различные обобщения мультимножеств были введены, изучены и применены для решения задач.

• Вещественнозначные мультимножества (в которых кратность элемента может быть любым действительным числом ) ^{[24] [25]}
• Нечеткие мультимножества ^[26]
• Черновые мультимножества ^[27]
• Гибридные комплекты ^[28]
• Мультимножества, кратность которых равна любой вещественной ступенчатой ​​функции ^[29]
• Мягкие мультисеты ^[30]
• Мягкие нечеткие мультимножества ^[31]
• Именованные множества (унификация всех обобщений множеств) ^{[32] [33] [34] [35]}

Смотрите также

• Частота (статистика) как аналог множественности
• Квази-множества
• Теория множеств
• Модель «Мешок слов»
• Учебные материалы по разделам мультимножеств в Викиверситете

Примечания

1. Формула ( ) не работает для n = 0 (где обязательно также k = 0 ), если рассматривать его как обычный биномиальный коэффициент, поскольку его значение равно ( ) , однако формула n ( n +1)( n +2)...( n + k  −1)/ k ! в этом случае работает, потому что числитель представляет собой пустое произведение, дающее 1/0! = 1 . Однако ( ) имеет смысл при n = k = 0, если интерпретировать его как обобщенный биномиальный коэффициент ; действительно ( ), рассматриваемый как обобщенный биномиальный коэффициент, равен крайней правой части приведенного выше уравнения.

Рекомендации

1. Кантор, Георг; Журден, Филип Э.Б. (переводчик) (1895). «beiträge zur begründung der transfiniten Mengenlehre» [вклад в создание теории трансфинитных чисел]. Mathematische Annalen (на немецком языке). XLVI, XLIX. New York Dover Publications (английский перевод, 1954 г.): 481–512, 207–246. Архивировано из оригинала 10 июня 2011 г. Под множеством (Menge) следует понимать всякую совокупность в целое (Zusammenfassung zu einem Gansen) M определенных и отдельных предметов m (с.85)
2. Хейн, Джеймс Л. (2003). Дискретная математика . Издательство Джонс и Бартлетт. стр. 29–30. ISBN 0-7637-2210-3.
3. Кнут, Дональд Э. (1998). Получисловые алгоритмы . Искусство компьютерного программирования . Том. 2 (3-е изд.). Эддисон Уэсли . ISBN 0-201-89684-2.
4. Blizard, Уэйн Д. (1989). «Теория многомножества». Журнал формальной логики Нотр-Дама . 30 (1): 36–66. дои : 10.1305/ndjfl/1093634995 .
5. Blizard, Уэйн Д. (1991). «Развитие теории мультимножеств». Современная логика . 1 (4): 319–352.
6. Рулифсон, Дж. Ф.; Дерксон, Дж. А.; Уолдингер, Р.Дж. (ноябрь 1972 г.). QA4: Процедурное исчисление для интуитивного рассуждения (технический отчет). НИИ Интернешнл. 73.
7. Сингх, Д.; Ибрагим, AM; Йоханна, Т.; Сингх, Дж. Н. (2007). «Обзор применения мультимножеств». Новисадский математический журнал . 37 (2): 73–92.
8. Анджелелли, И. (1965). «Неправильное понимание Лейбницем понятия Низолиуса о «множественности».". Журнал формальной логики Нотр-Дама (6): 319–322.
9. Кирхер, Афанасий (1650). Мусургия Универсалис. Рим: Корбеллетти.
10. Престе, Жан (1675). Элементы математики . Париж: Андре Пралар.
11. Уоллис, Джон (1685). Трактат по алгебре . Лондон: Джон Плейфорд.
12. Дедекинд, Ричард (1888). Был ли Sind и Sollen die Zahlen? . Брауншвейг: Просмотрег. п. 114.
13. Сиропулос, Апостолос (2000). «Математика мультимножеств». В Калуде, Кристиан; Паун, Георге; Розенберг, Гжегож; Саломаа, Арто (ред.). Точки зрения мультимножественной обработки, математики, информатики и молекулярных вычислений [Семинар по мультимножественной обработке, WMP 2000, Куртя-де-Арджеш, Румыния, 21–25 августа 2000 г.] . Конспекты лекций по информатике. Том. 2235. Спрингер. стр. 347–358. дои : 10.1007/3-540-45523-X_17.
14. Уитни, Х. (1933). «Характеристические функции и алгебра логики». Анналы математики . 34 (3): 405–414. дои : 10.2307/1968168. JSTOR  1968168.
15. Монро, терапевт (1987). «Понятие мультимножества». Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik . 33 (2): 171–178. дои : 10.1002/malq.19870330212.
16. См., например, Ричард Бруальди, Введение в комбинаторику , Пирсон.
17. Айгнер, М. (1979). Комбинаторная теория . Нью-Йорк/Берлин: Springer Verlag.
18. Андерсон, И. (1987). Комбинаторика конечных множеств . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-853367-2.
19. Стэнли, Ричард П. (1997). Перечислительная комбинаторика. Том. 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-55309-1.
20. Стэнли, Ричард П. (1999). Перечислительная комбинаторика . Том. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-56069-1.
21. Грумбах, С.; Майло, Т. (1996). «К послушным алгебрам для сумок». Журнал компьютерных и системных наук . 52 (3): 570–588. дои : 10.1006/jcss.1996.0042 .
22. Либкин, Л.; Вонг, Л. (1994). «Некоторые свойства языков запросов для сумок». Материалы семинара по языкам программирования баз данных . Спрингер Верлаг. стр. 97–114.
23. Либкин, Л.; Вонг, Л. (1995). «О представлении и запросе неполной информации в базах данных о сумках». Письма об обработке информации . 56 (4): 209–214. дои : 10.1016/0020-0190(95)00154-5.
24. Blizard, Уэйн Д. (1989). «Вещественные мультимножества и нечеткие множества». Нечеткие множества и системы . 33 : 77–97. дои : 10.1016/0165-0114(89)90218-2.
25. Blizard, Уэйн Д. (1990). «Отрицательное членство». Журнал формальной логики Нотр-Дама . 31 (1): 346–368. дои : 10.1305/ndjfl/1093635499 . S2CID  42766971.
26. Ягер, Р.Р. (1986). «К теории мешков». Международный журнал общих систем . 13 : 23–37. дои : 10.1080/03081078608934952.
27. Гржимала-Буссе, Дж. (1987). «Обучение на примерах на основе грубых мультимножеств». Материалы 2-го Международного симпозиума по методологиям интеллектуальных систем . Шарлотта, Северная Каролина. стр. 325–332.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
28. Леб, Д. (1992). «Множества с отрицательным числом элементов». Достижения в математике . 91 : 64–74. дои : 10.1016/0001-8708(92)90011-9 .
29. Миямото, С. (2001). «Нечеткие мультимножества и их обобщения». Мультимножественная обработка . Конспекты лекций по информатике. Том. 2235. стр. 225–235. дои : 10.1007/3-540-45523-X_11. ISBN 978-3-540-43063-6.
30. Альхазале, С.; Саллех, Арканзас; Хасан, Н. (2011). «Теория мягких мультимножеств». Прикладные математические науки . 5 (72): 3561–3573.
31. Альхазале, С.; Саллех, Арканзас (2012). «Нечеткая мягкая теория мультимножеств». Аннотация и прикладной анализ . 2012 : 1–20. дои : 10.1155/2012/350603 .
32. Бургин, Марк (1990). «Теория именованных множеств как фундаментальная основа математики». Структуры в математических теориях . Сан-Себастьян. стр. 417–420.
33. Бургин, Марк (1992). «О понятии мультимножества в кибернетике». Кибернетика и системный анализ . 3 : 165–167.
34. Бургин, Марк (2004). «Единые основы математики». arXiv : math/0403186 .
35. Бургин, Марк (2011). Теория именованных множеств . Развитие математических исследований. ISBN Nova Science Pub Inc. 978-1-61122-788-8.