Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд [ˈdeːdəˌkɪnt] (6 октября 1831 — 12 февраля 1916) — немецкий математик , внесший важный вклад в теорию чисел , абстрактную алгебру (особенно теорию колец ) и аксиоматические основы арифметики . Его самый известный вклад — определение действительных чисел посредством понятия Дедекинда . Он также считается пионером в развитии современной теории множеств и философии математики, известной как логицизм .
Отцом Дедекинда был Юлиус Левин Ульрих Дедекинд, администратор Collegium Carolinum в Брауншвейге . Его матерью была Каролина Генриетта Дедекинд (урожденная Эмпериус), дочь профессора Коллегиума. [1] У Ричарда Дедекинда было трое старших братьев и сестер. Будучи взрослым, он никогда не использовал имена Юлиус Вильгельм. Он родился в Брауншвейге (часто называемом «Брансуик» на английском языке), где он прожил большую часть своей жизни и умер. Его тело покоится на Главном кладбище Брауншвейга .
Впервые он посетил Collegium Carolinum в 1848 году, а затем перешел в Геттингенский университет в 1850 году. Там Дедекинду преподавал теорию чисел профессор Мориц Штерн . Гаусс все еще преподавал, хотя в основном на элементарном уровне, и Дедекинд стал его последним учеником. Дедекинд получил докторскую степень в 1852 году за диссертацию под названием Über die Theorie der Eulerschen Integrale («К теории эйлеровых интегралов »). В этой диссертации не было того таланта, который проявился в последующих публикациях Дедекинда.
В то время главным центром математических исследований в Германии был Берлинский университет , а не Геттинген . Таким образом, Дедекинд отправился на два года обучения в Берлин, где он и Бернхард Риман были современниками; они оба были удостоены звания в 1854 году. Дедекинд вернулся в Геттинген, чтобы преподавать в качестве приват-доцента , читая курсы по теории вероятности и геометрии . Некоторое время он учился у Питера Густава Лежена Дирихле , и они стали хорошими друзьями. Из-за сохраняющихся недостатков в его математических познаниях он изучал эллиптические и абелевы функции . Тем не менее, он был также первым в Геттингене, кто читал лекции по теории Галуа . Примерно в это же время он стал одним из первых, кто понял важность понятия групп для алгебры и арифметики .
В 1858 году он начал преподавать в Политехнической школе Цюриха (ныне ETH Zürich). Когда в 1862 году Collegium Carolinum был преобразован в Technische Hochschule (Технологический институт), Дедекинд вернулся в свой родной Брауншвейг, где провел остаток своей жизни, преподавая в институте. Он вышел на пенсию в 1894 году, но время от времени преподавал и продолжал публиковаться. Он никогда не был женат, а жил со своей сестрой Джулией.
Дедекинд был избран в академии Берлина (1880 г.) и Рима, а также во Французскую академию наук (1900 г.). Он получил почетные докторские степени университетов Осло , Цюриха и Брауншвейга .
-Portrait-Portr_11953.tif_(cropped).jpg/1280px-ETH-BIB-Dedekind,_Julius_Wilhelm_Richard_(1831-1916)-Portrait-Portr_11953.tif_(cropped).jpg)
Впервые преподавая исчисление в Политехнической школе, Дедекинд разработал понятие, ныне известное как сокращение Дедекинда (нем. Schnitt ), которое теперь является стандартным определением действительных чисел. Идея разреза состоит в том, что иррациональное число делит рациональные числа на два класса ( множества ), причем все числа одного класса (большего) строго больше всех чисел другого (меньшего) класса. Например, квадратный корень из 2 определяет все неотрицательные числа, квадраты которых меньше 2 и отрицательные числа, в меньший класс, а положительные числа, квадраты которых больше 2, в больший класс. В каждом месте континуума числовых линий содержится либо рациональное, либо иррациональное число. Таким образом, нет пустых мест, пробелов или разрывов. Дедекинд опубликовал свои мысли об иррациональных числах, а Дедекинд вырезал их в брошюре «Stetigkeit und irrationale Zahlen» («Непрерывность и иррациональные числа»); [2] в современной терминологии Vollständigkeit , полнота .
Дедекинд определил два множества как «похожие», когда между ними существует взаимно однозначное соответствие . [3] Он использовал подобие, чтобы дать первое [ нужна цитация ] точное определение бесконечного множества : множество является бесконечным, когда оно «похоже на собственную часть самого себя», [4] в современной терминологии равнозначно одному из его собственные подмножества . Таким образом, можно показать, что множество N натуральных чисел похоже на подмножество N , члены которого являются квадратами каждого члена N ( N → N 2 ):
Н 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
↓ Н 2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ...Работы Дедекинда в этой области предвосхитили работы Георга Кантора , которого принято считать основателем теории множеств . Точно так же его вклад в основы математики предвосхитил более поздние работы основных сторонников логицизма , таких как Готтлоб Фреге и Бертран Рассел .
Дедекинд редактировал собрание сочинений Лежена Дирихле , Гаусса и Римана . Изучение Дедекиндом работ Лежена Дирихле привело его к более позднему изучению полей и идеалов алгебраических чисел . В 1863 году он опубликовал лекции Лежена Дирихле по теории чисел под названием Vorlesungen über Zahlentheorie («Лекции по теории чисел»), о которых было написано следующее:
Хотя книга, несомненно, основана на лекциях Дирихле, и хотя сам Дедекинд на протяжении всей своей жизни называл эту книгу книгой Дирихле, сама книга была полностью написана Дедекиндом, по большей части после смерти Дирихле.
- Эдвардс, 1983 г.
Издания Vorlesungen 1879 и 1894 годов включали приложения, вводящие понятие идеала, фундаментальное для теории колец . (Слово «Кольцо», введенное позже Гильбертом , не появляется в работе Дедекинда.) Дедекинд определил идеал как подмножество набора чисел, состоящее из целых алгебраических чисел , которые удовлетворяют полиномиальным уравнениям с целыми коэффициентами. Концепция получила дальнейшее развитие в руках Гильберта и, особенно, Эмми Нётер . Идеалы обобщают идеальные числа Эрнста Эдуарда Куммера , разработанные как часть попытки Куммера в 1843 году доказать Великую теорему Ферма . (Таким образом, можно сказать, что Дедекинд был самым важным учеником Куммера.) В статье 1882 года Дедекинд и Генрих Мартин Вебер применили идеалы к римановым поверхностям , дав алгебраическое доказательство теоремы Римана-Роха .
В 1888 году он опубликовал небольшую монографию под названием «Was sind und was sollen die Zahlen?». («Что такое числа и для чего они нужны?» Эвальд 1996: 790), [5] который включал его определение бесконечного множества . Он также предложил аксиоматическую основу натуральных чисел, примитивными понятиями которых были число один и функция-преемник . В следующем году Джузеппе Пеано , цитируя Дедекинда, сформулировал эквивалентный, но более простой набор аксиом , ставших теперь стандартными.
Дедекинд внес и другие вклады в алгебру . Например, около 1900 года он написал первые статьи о модульных решетках . В 1872 году, находясь на отдыхе в Интерлакене , Дедекинд познакомился с Георгом Кантором . Так начались прочные отношения взаимного уважения, и Дедекинд стал одним из первых математиков, восхищавшихся работой Кантора о бесконечных множествах, оказавшись ценным союзником в спорах Кантора с Леопольдом Кронекером , который философски выступал против трансфинитных чисел Кантора . [6]
Основная литература на английском языке:
Основная литература на немецком языке:
Существует онлайн-библиография вторичной литературы о Дедекинде. Также обратитесь к «Введением» Стиллвелла в Дедекинд (1996).
