Алгебраическое целое число

Комплексное число, которое решает монический многочлен с целыми коэффициентами

В теории алгебраических чисел алгебраическое целое число — это комплексное число , являющееся целым по целым числам . То есть целое алгебраическое число является комплексным корнем некоторого монического многочлена ( многочлена , старший коэффициент которого равен 1), коэффициенты которого являются целыми числами. Множество всех целых алгебраических чисел A замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения и, следовательно, является коммутативным подкольцом комплексных чисел.

Кольцо целых чисел числового поля K , обозначаемое OK , является пересечением K и _A : его также можно охарактеризовать как максимальный порядок поля K. Каждое целое алгебраическое число принадлежит кольцу целых чисел некоторого числового поля. Число α является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда кольцо конечно порождено как абелева группа , то есть как -модуль . ${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Определения

Ниже приведены эквивалентные определения целого алгебраического числа. Пусть K — числовое поле (т. е. конечное расширение поля рациональных чисел ), другими словами, для некоторого алгебраического числа по теореме о примитивном элементе . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} }$

• α ∈ K является целым алгебраическим числом, если существует унитарный полиномтакой, что f ( α ) = 0 . ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$
• α ∈ K является целым алгебраическим числом, если минимальный монический многочлен от α наднаходится в. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$
• α ∈ K — целое алгебраическое число, если— конечно порожденный-модуль. ${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• α ∈ K является целым алгебраическим числом, если существует ненулевой конечно порожденныйподмодуль такой , что αM ⊆ M . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} }$

Алгебраические целые числа являются частным случаем целых элементов расширения кольца. В частности, целое алгебраическое число является целым элементом конечного расширения . ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$

Примеры

• Единственные целые алгебраические числа, которые встречаются в множестве рациональных чисел, — это целые числа. Другими словами, пересечение и А равно . Рациональное число ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$а/бне является целым алгебраическим числом, если b не делит a . Обратите внимание, что старший коэффициент многочлена bx − a — это целое число b . В другом частном случае квадратный корень из неотрицательного целого числа n является целым алгебраическим числом, но иррационален , если только n не является полным квадратом . ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$
• Если d — целое число без квадратов , то расширение представляет собой квадратичное поле рациональных чисел. Кольцо целых алгебраических чисел O _K содержит , так как это корень монического многочлена x ² − d . Более того, если d ≡ 1 mod 4 , то элемент также является целым алгебраическим числом. Он удовлетворяет полиному x ² − x + ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$ ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$1/4(1 − d ) где постоянный член 1/4(1 - d ) является целым числом. Полное кольцо целых чисел генерируется с помощью или соответственно. Дополнительную информацию см. в разделе Квадратное целое число . ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$
• Кольцо целых чисел поля α = 3 ^√ m имеет следующий целочисленный базис , записывая m = hk ² для двух взаимно простых целых чисел без квадратов h и k : ^[1] ${\displaystyle F=\mathbb {Q} [\alpha ]}$
  $${\displaystyle {\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$
• Если ζ _n — примитивный корень n- й степени из единицы , то кольцо целых чисел кругового поля в точности равно . ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$
• Если α — целое алгебраическое число, то β = ⁿ √ α — другое целое алгебраическое число. Полином для β получается путем подстановки x ⁿ в полином для α .

Непример

• Если P ( x ) — примитивный полином , имеющий целые коэффициенты, но не монический, и P неприводим над , то ни один из корней P не является целым алгебраическим числом (но является алгебраическим числом ). Здесь примитив используется в том смысле, что старший общий делитель коэффициентов P равен 1; это слабее, чем требование, чтобы коэффициенты были попарно относительно простыми. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Факты

• Сумма, разность и произведение двух целых алгебраических чисел является целым алгебраическим числом. В общем, их частного нет. Используемый монический многочлен обычно имеет более высокую степень , чем у исходных алгебраических целых чисел, и его можно найти, взяв результаты и разложив их на множители. Например, если x ² - x - 1 = 0 , y ³ - y - 1 = 0 и z = xy , то исключение x и y из z - xy = 0 и полиномов, удовлетворяющих x и y с использованием полученного результата, дает z ⁶ - 3 z ⁴ - 4 z ³ + z ² + z - 1 = 0 , что является неприводимым и представляет собой моническое уравнение, которому удовлетворяет произведение. (Чтобы увидеть, что xy является корнем x -результата z − xy и x ² − x − 1 , можно использовать тот факт, что результирующий содержится в идеале , порожденном двумя входными полиномами.)
• Следовательно, любое число, которое можно составить из целых чисел с корнями, сложением и умножением, является алгебраическим целым числом; но не все целые алгебраические числа являются такими конструктивными: в наивном смысле большинство корней неприводимых квинтик таковыми не являются. Это теорема Абеля-Руффини .
• Каждый корень монического многочлена, коэффициенты которого являются целыми алгебраическими числами, сам по себе является целым алгебраическим числом. Другими словами, целые алгебраические числа образуют кольцо, целозамкнутое в любом из своих расширений.
• Кольцо целых алгебраических чисел является областью Безу , как следствие теоремы о главном идеале .
• Если унитарный многочлен, связанный с целым алгебраическим числом, имеет постоянный член 1 или -1, то обратное значение этого целого алгебраического числа также является целым алгебраическим числом и является единицей , элементом группы единиц кольца целых алгебраических чисел.
• Каждое алгебраическое число можно записать как отношение целого алгебраического числа к целому ненулевому алгебраическому числу. Фактически, знаменатель всегда можно выбрать как целое положительное число. В частности, если x — алгебраическое число, которое является корнем многочлена p ( x ) с целыми коэффициентами и старшим членом a _n x ⁿ для n _> 0 , то a _n x / a _n — обещанное соотношение. В частности, y = a _n x — целое алгебраическое число, поскольку оно является корнем^{п  - 1}
  _п p ( y  / an ) , который _{является} моническим полиномом от y с целыми коэффициентами.

Смотрите также

• Интегральный элемент
• Гауссово целое число
• целое число Эйзенштейна
• Корень единства
• Теорема Дирихле о единице
• Основные единицы

Рекомендации

1. Маркус, Дэниел А. (1977). Числовые поля (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . гл. 2, с. 38 и бывш. 41. ИСБН 978-0-387-90279-1.

• Штейн, Уильям . Алгебраическая теория чисел: вычислительный подход (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2 ноября 2013 г.