Коэффициент

Мультипликативный коэффициент в математическом выражении

В математике коэффициент — это мультипликативный множитель , входящий в состав некоторого члена многочлена , ряда или выражения . Это может быть число ( безразмерное ), и в этом случае оно называется числовым коэффициентом . ^[1] Это также может быть константа с единицами измерения , в которых она известна как постоянный множитель . ^[1] Как правило, коэффициенты могут представлять собой любое выражение (включая такие переменные , как a , b и c ). ^{[2] [1] Если в} продукте не обязательно присутствует комбинация переменных и констант , ее можно назвать параметром . ^[1]

Например, полином имеет коэффициенты 2, -1 и 3, а степени переменной в полиноме имеют параметры коэффициентов , и . ${\displaystyle 2x^{2}-x+3}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

The постоянный коэффициент , также известный какпостоянный членили простоконстанта, — это величина, не привязанная к переменным в выражении. Например, постоянными коэффициентами приведенных выше выражений являются число 3 и параметрcсоответственно. Коэффициент, присвоенный высшей степени переменной в полиноме, называется старшимкоэффициентом. Например, в выражениях выше старшими коэффициентами являются 2 иaсоответственно.

В контексте дифференциальных уравнений уравнение часто можно записать как приравнивающее нулю полином от неизвестных функций и их производных. В этом случае коэффициенты дифференциального уравнения являются коэффициентами этого многочлена и, как правило, являются непостоянными функциями. Коэффициент является постоянным коэффициентом , если он является постоянной функцией . Во избежание путаницы коэффициент, который не связан с неизвестными функциями и их производными, обычно называют постоянным членом , а не постоянным коэффициентом. В частности, в линейном дифференциальном уравнении с постоянным коэффициентом постоянный член обычно не должен быть постоянной функцией.

Терминология и определение

В математике коэффициент — это мультипликативный множитель в некотором члене многочлена , ряда или любого выражения . Например, в полиноме

$${\displaystyle 7x^{2}-3xy+1.5+y,}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Во многих сценариях коэффициенты представляют собой числа (как и в случае с каждым членом предыдущего примера), хотя они могут быть параметрами задачи или любым выражением в этих параметрах. В таком случае необходимо четко различать символы, обозначающие переменные, и символы, обозначающие параметры. Следуя Рене Декарту , переменные часто обозначаются x , y ,..., а параметры - a , b , c ,..., но это не всегда так. Например, если y считается параметром в приведенном выше выражении, то коэффициент при x будет равен −3 y , а постоянный коэффициент (по отношению к x ) будет 1,5 + y .

Когда человек пишет

$${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$$

xabcc .

Любой полином от одной переменной x можно записать как

$${\displaystyle a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}}$$

неотрицательного целого числастаршим коэффициентом ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}}$ ${\displaystyle x^{3}-2x+1}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 0x^{2}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle a_{i}}$

$${\displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}}$$

мономиального порядкаБазис Грёбнера § Главный член, коэффициент и моном

Линейная алгебра

В линейной алгебре система линейных уравнений часто представляется матрицей коэффициентов . Например, система уравнений

$${\displaystyle {\begin{cases}2x+3y=0\\5x-4y=0\end{cases}},}$$

метод исключения Гауссаправило Крамера, ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}.}$

Ведущий элемент (иногда ведущий коэффициент ^{[ нужна ссылка ]} ) строки в матрице — это первый ненулевой элемент в этой строке. Так, например, в матрице

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},}$$

Хотя коэффициенты часто рассматриваются как константы в элементарной алгебре, их также можно рассматривать как переменные по мере расширения контекста. Например, координаты вектора в векторном пространстве с базисом — это коэффициенты при базисных векторах в выражении ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lbrace e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}\rbrace }$

$${\displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\dotsb +x_{n}e_{n}.}$$

Смотрите также

• Коэффициент корреляции
• Степень многочлена
• Монический полином
• Биномиальный коэффициент

Рекомендации

1. «ISO 80000-1:2009». Международная Организация Стандартизации . Проверено 15 сентября 2019 г.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Коэффициент». mathworld.wolfram.com . Проверено 15 августа 2020 г.

дальнейшее чтение

• Сабах Аль-Хадад и CH Скотт (1979) Студенческая алгебра с приложениями , стр. 42, Winthrop Publishers, Кембридж, Массачусетс, ISBN 0-87626-140-3 . 
• Гордон Фуллер, Уолтер Л. Уилсон, Генри К. Миллер, (1982) Колледжская алгебра , 5-е издание, стр. 24, Brooks/Cole Publishing, Монтерей, Калифорния, ISBN 0-534-01138-1 .