Степень многочлена

Математическая концепция

В математике степень многочлена — это высшая из степеней мономов многочлена ( отдельных членов ) с ненулевыми коэффициентами. Степень термина представляет собой сумму показателей степени входящих в него переменных и, следовательно, является неотрицательным целым числом . Для одномерного многочлена степень многочлена — это просто наивысший показатель степени, встречающийся в многочлене. ^[1] Термин « порядок» использовался как синоним степени , но в настоящее время может относиться к нескольким другим понятиям (см. Порядок полинома (значения) ).

Например, многочлен , который также можно записать как, имеет три члена. Первый член имеет степень 5 (сумма степеней 2 и 3), второй член имеет степень 1, а последний член имеет степень 0. Следовательно, многочлен имеет степень 5, что соответствует высшая степень любого термина. ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x-9,}$ ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},}$

Чтобы определить степень многочлена, не имеющего стандартной формы, например , можно привести его к стандартной форме, разложив произведения (по дистрибутивности ) и объединив подобные члены; например, имеет степень 1, даже если каждое слагаемое имеет степень 2. Однако в этом нет необходимости, когда многочлен записан как произведение многочленов в стандартной форме, поскольку степень произведения представляет собой сумму степеней факторы. ${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}}$ ${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x}$

Названия многочленов по степени

Полиномам в зависимости от их степени присвоены следующие названия: ^{[2] [3] [4]}

• Особый случай – ноль (см. § Степень нулевого многочлена ниже)
• Степень 0 – ненулевая константа ^[5]
• Степень 1 – линейная
• Степень 2 – квадратичная
• Степень 3 – кубическая
• Степень 4 – четвертая (или, если все члены имеют четную степень, биквадратичная ) .
• 5 степень – квинтическая
• 6 степень – секстик (или реже гексик).
• 7 степень – септическая (или реже гептическая)
• 8 степень – октическая
• Степень 9 – ноник
• 10 степень – детическая

Названия степеней выше трех основаны на латинских порядковых числах и заканчиваются на -ic . Это следует отличать от названий, используемых для числа переменных, арности , которые основаны на латинских дистрибутивных числах и заканчиваются на -ary . Например, полином второй степени от двух переменных, такой как , называется «двоичным квадратичным»: двоичный из-за двух переменных, квадратичный из-за второй степени. ^[а] Существуют также названия числа терминов, которые также основаны на латинских распределительных числах, оканчивающихся на -номиал ; распространенными являются одночленный , биномиальный и (реже) трехчленный ; таким образом, это «двоичный квадратичный бином». ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$

Примеры

Полином является кубическим многочленом: после умножения и сбора членов одинаковой степени он становится , с наивысшим показателем 3. ${\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)}$ ${\displaystyle -8y^{3}-42y^{2}+72y+378}$

Полином является полиномом пятой степени: при объединении подобных членов два члена степени 8 сокращаются, оставляя , с наивысшим показателем 5. ${\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}$ ${\displaystyle z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6}$

Поведение при полиномиальных операциях

Степень суммы, произведения или композиции двух многочленов сильно зависит от степени входных многочленов. ^[6]

Добавление

Степень суммы (или разности) двух многочленов меньше или равна большей из их степеней; то есть,

${\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$и . ${\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$

Например, степень равна 2, а 2 ≤ max{3, 3}. ${\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x}$

Равенство всегда выполняется, когда степени многочленов различны. Например, степень равна 3, а 3 = max{3, 2}. ${\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1}$

Умножение

Степень произведения многочлена на ненулевой скаляр равна степени многочлена; то есть,

${\displaystyle \deg(cP)=\deg(P)}$.

Например, степень равна 2, что соответствует степени . ${\displaystyle 2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4}$ ${\displaystyle x^{2}+3x-2}$

Таким образом, набор многочленов (с коэффициентами из заданного поля F ), степени которых меньше или равны заданному числу n , образует векторное пространство ; дополнительную информацию см. в разделе «Примеры векторных пространств» .

В более общем смысле, степень произведения двух многочленов по полю или целой области представляет собой сумму их степеней:

${\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}$.

Например, степень равна 5 = 3 + 2. ${\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x}$

Для многочленов над произвольным кольцом приведенные выше правила могут быть недействительны из-за отмены, которая может возникнуть при умножении двух ненулевых констант. Например, в кольце целых чисел по модулю 4 имеется то , но , которое не равно сумме степеней множителей. ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \deg(2x)=\deg(1+2x)=1}$ ${\displaystyle \deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1}$

Состав

Степень композиции двух непостоянных многочленов и над полем или областью целого является произведением их степеней: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q).}$$

Например, если имеет степень 3 и имеет степень 2, то их состав имеет степень 6. ${\displaystyle P=x^{3}+x}$ ${\displaystyle Q=x^{2}-1}$ ${\displaystyle P\circ Q=P\circ (x^{2}-1)=(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)=x^{6}-3x^{4}+4x^{2}-2,}$

Обратите внимание, что для многочленов над произвольным кольцом степень композиции может быть меньше произведения степеней. Например, в составе многочленов и (оба степени 1) находится постоянный многочлен степени 0. ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,}$ ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle 1+2x}$ ${\displaystyle 2x\circ (1+2x)=2+4x=2,}$

Степень нулевого многочлена

Степень нулевого многочлена либо остается неопределенной, либо определяется как отрицательная (обычно −1 или ). ^[7] ${\displaystyle -\infty }$

Как и любое постоянное значение, значение 0 можно рассматривать как (постоянный) полином, называемый нулевым полиномом . У него нет ненулевых членов, а значит, строго говоря, у него нет и степени. Таким образом, его степень обычно не определена. Предложения о степени сумм и произведений многочленов в приведенном выше разделе не применимы, если какой-либо из задействованных многочленов является нулевым многочленом. ^{[ нужна цитата ]}

Однако удобно определить степень нулевого многочлена как отрицательную бесконечность и ввести арифметические правила ^[8] ${\displaystyle -\infty ,}$

${\displaystyle \max(a,-\infty )=a,}$

и

${\displaystyle a+(-\infty )=-\infty .}$

Эти примеры иллюстрируют, как это расширение удовлетворяет приведенным выше правилам поведения:

• Степень суммы равна 3. Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно . ${\displaystyle (x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x}$ ${\displaystyle 3\leq \max(3,-\infty )}$
• Степень разницы . Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно : . ${\displaystyle (x)-(x)=0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty \leq \max(1,1)}$
• Степень продукта . Это удовлетворяет ожидаемому поведению, а именно : . ${\displaystyle (0)(x^{2}+1)=0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty =-\infty +2}$

Рассчитывается на основе значений функции

Существует ряд формул, которые позволяют оценить степень полиномиальной функции f . Один, основанный на асимптотическом анализе :

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}}$;

это точный аналог метода оценки наклона на логарифмическом графике .

Эта формула обобщает понятие степени на некоторые функции, не являющиеся полиномами. Например:

• Степень мультипликативного обратного , , равна −1. ${\displaystyle \ 1/x}$
• Степень квадратного корня , , равна 1/2. ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$
• Степень логарифма , , равна 0. ${\displaystyle \ \log x}$
• Степень показательной функции , , равна ${\displaystyle \exp x}$ ${\displaystyle \infty .}$

Формула также дает разумные результаты для многих комбинаций таких функций, например, степени is . ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}}$ ${\displaystyle -1/2}$

Другая формула для вычисления степени f по его значениям:

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}}$;

эта вторая формула следует из применения правила Лопиталя к первой формуле. Однако интуитивно понятно, что речь идет скорее о представлении степени d как дополнительного постоянного множителя в производной . ${\displaystyle dx^{d-1}}$ ${\displaystyle x^{d}}$

Более детальное (чем простая числовая степень) описание асимптотики функции можно получить, используя обозначение big O. При анализе алгоритмов , например, часто бывает важно различать темпы роста и , которые в соответствии с приведенными выше формулами имеют одинаковую степень . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\log x}$

Расширение до полиномов с двумя или более переменными

Для полиномов от двух или более переменных степень члена представляет собой сумму показателей степени переменных в этом термине; степень (иногда называемая общей степенью ) многочлена снова является максимальной из степеней всех членов в многочлене. Например, многочлен x ² y ² + 3 x ³ + 4 y имеет степень 4, ту же степень, что и член x ² y ² .

Однако полином от переменных x и y — это полином от x с коэффициентами, которые являются полиномами от y , а также полином от y с коэффициентами, которые являются полиномами от x . Полином

${\displaystyle x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})}$

имеет степень 3 по x и степень 2 по y .

Функция степени в абстрактной алгебре

Учитывая кольцо R , кольцо многочленов R [ x ] представляет собой набор всех многочленов от x , которые имеют коэффициенты из R. В частном случае, когда R также является полем , кольцо многочленов R [ x ] является областью главных идеалов и, что более важно для нашего обсуждения здесь, евклидовой областью .

Можно показать, что степень многочлена над полем удовлетворяет всем требованиям нормальной функции в евклидовой области. То есть, учитывая два полинома f ( x ) и g ( x ), степень произведения f ( x ) g ( x ) должна быть больше, чем обе степени f и g по отдельности. На самом деле имеет место нечто более сильное:

${\displaystyle \deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))}$

В качестве примера того, почему функция степени может завершиться сбоем в кольце, которое не является полем, рассмотрим следующий пример. Пусть R = кольцо целых чисел по модулю 4. Это кольцо не является полем (и даже не областью целостности ), поскольку 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Следовательно, пусть f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1. Тогда f ( x ) g ( x ) = 4 x ² + 4 x + 1 = 1. Таким образом, deg( f ⋅ g ) = 0, что не больше степеней f и g (каждая из которых имела степень 1). ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$

Поскольку нормальная функция не определена для нулевого элемента кольца, мы считаем, что степень многочлена f ( x ) = 0 также не определена, так что он подчиняется правилам нормы в евклидовой области.

Смотрите также

• Теорема Абеля – Руффини
• Основная теорема алгебры

Примечания

1. Для простоты это однородный многочлен с одинаковой степенью по обеим переменным в отдельности.

1. Галлберг, январь (1997), Математика от рождения чисел, WW Norton & Company, стр. 128, ISBN 9780393040029
2. Мак Лейн и Биркгоф (1999) определяют понятия «линейный», «квадратичный», «кубический», «квартикальный» и «квинтикальный». (стр. 107)
3. Кинг (2009) определяет понятия «квадратичный», «кубический», «квартический», «квинтический», «секстический», «септический» и «октический».
4. Джеймс Кокл предложил названия «сексический», «септический», «октический», «ноник» и «децик» в 1851 году (Журнал «Механика», том LV, стр. 171).
5. Шафаревич (2003) говорит о полиноме нулевой степени : «Такой полином называется константой , потому что, если мы подставляем в него разные значения x , мы всегда получаем одно и то же значение ». (стр. 23) ${\displaystyle f(x)=a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}}$
6. Ланг, Серж (2005), Алгебра (3-е изд.), Springer, стр. 100, ISBN 978-0-387-95385-4
7. Шафаревич (2003) говорит о нулевом многочлене: «В этом случае мы считаем, что степень многочлена не определена». (стр. 27)
   Чайлдс (1995) использует -1. (стр. 233)
   Чайлдс (2009) использует −∞ (стр. 287), однако он исключает нулевые полиномы в своем предложении 1 (стр. 288), а затем объясняет, что это предложение справедливо для нулевых полиномов «с разумным предположением, что + m = для m любое целое число или m = ". Экслер (1997) использует −∞. (стр. 64) Грилле (2007) говорит: «Степень нулевого многочлена 0 иногда остается неопределенной или определяется по-разному как −1 ∈ или как , пока deg 0 < deg A для всех A ≠ 0». ( A — многочлен.) Однако в своем предложении 5.3 он исключает нулевые многочлены. (стр. 121) ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$
   
   ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle -\infty }$
8. Экслер (1997) приводит эти правила и говорит: «Полином 0 объявлен имеющим степень, поэтому для различных разумных результатов не требуются исключения». (стр. 64) ${\displaystyle -\infty }$

Рекомендации

• Экслер, Шелдон (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387982595
• Чайлдс, Линдси Н. (1995), Конкретное введение в высшую алгебру (2-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387989990
• Чайлдс, Линдси Н. (2009), Конкретное введение в высшую алгебру (3-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387745275
• Грийе, Пьер Антуан (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387715681
• Кинг, Р. Брюс (2009), За пределами уравнения четвертой степени, Springer Science & Business Media, ISBN 9780817648497
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999), Алгебра (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 9780821816462
• Шафаревич, Игорь Р. (2003), Беседы по алгебре, Springer Science & Business Media, ISBN 9783540422532