Примеры векторных пространств

На этой странице приведены некоторые примеры векторных пространств . Определения терминов, используемых на этой странице, см. в векторном пространстве . См. также: размерность , базис .

Обозначения . Пусть F обозначает произвольное поле , например действительные числа R или комплексные числа C.

Тривиальное или нулевое векторное пространство

Простейшим примером векторного пространства является тривиальный: {0}, который содержит только нулевой вектор (см. третью аксиому в статье о векторном пространстве ). И сложение векторов, и скалярное умножение тривиальны. Базисом этого векторного пространства является пустое множество , так что {0} — это 0- мерное векторное пространство над F. Каждое векторное пространство над F содержит подпространство , изоморфное этому.

Нулевое векторное пространство концептуально отличается от нулевого пространства линейного оператора L , который является ядром L. (Кстати, нулевое пространство L является нулевым тогда и только тогда, когда L инъективно . )

Поле

Следующий простейший пример — само поле F. Сложение векторов — это просто сложение полей, а скалярное умножение — это просто умножение полей. Это свойство можно использовать для доказательства того, что поле является векторным пространством. Любой ненулевой элемент F служит базисом, поэтому F является одномерным векторным пространством над собой.

Поле представляет собой довольно специфическое векторное пространство; на самом деле это простейший пример коммутативной алгебры над F. Кроме того, F имеет всего два подпространства : {0} и сам F.

Координатное пространство

Плоская аналитическая геометрия использует координатное пространство R ² . На рисунке: описание линии как множества решений векторного уравнения . ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}=d}$

Базовый пример векторного пространства следующий. Для любого положительного целого числа n набор всех n -кортежей элементов F образует n -мерное векторное пространство над F, иногда называемое координатным пространством и обозначаемое F ⁿ . ^[1] Элемент F ⁿ записывается

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

где каждый x _i является элементом F . Операции над F ⁿ определяются формулой

${\displaystyle x+y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})}$

${\displaystyle \alpha x=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n})}$

${\displaystyle 0=(0,0,\ldots ,0)}$

${\displaystyle -x=(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})}$

Обычно F — это поле действительных чисел , ^и в этом случае мы получаем вещественное координатное пространство Rn . Поле комплексных чисел дает комплексное координатное пространство Cn ^. Форма a + bi комплексного числа показывает, что C само по себе является двумерным вещественным векторным пространством с координатами ( a , b ). Точно так же кватернионы и октонионы представляют собой соответственно четырех- и восьмимерные действительные векторные пространства, а C ⁿ представляет собой 2n -мерное действительное векторное пространство.

Векторное пространство F ⁿ имеет стандартный базис :

${\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots ,0)}$

${\displaystyle e_{2}=(0,1,\ldots ,0)}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle e_{n}=(0,0,\ldots ,1)}$

где 1 обозначает мультипликативное тождество в F .

Бесконечное координатное пространство

Обозначим ^через F∞ пространство бесконечных последовательностей элементов из F таких, что только конечное число элементов ненулевые. То есть, если мы запишем элемент F ^∞ как

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )}$

тогда только конечное число x i _{отличны} от нуля (т. е. все координаты становятся нулевыми после определенной точки). Сложение и скалярное умножение задаются как в конечном координатном пространстве. Размерность F∞ счетно бесконечна .^​ Стандартный базис состоит из векторов e _i , которые содержат 1 в i -м слоте и нули в остальных местах. Это векторное пространство является копроизведением (или прямой суммой ) счетного числа копий векторного пространства F.

Обратите внимание на роль здесь условия конечности. Можно было бы рассмотреть произвольные последовательности элементов в F , которые также составляют векторное пространство с теми же операциями, часто обозначаемыми F ^N - см. ниже. F ^N — произведение счетного числа копий F.

По лемме Цорна F ^N имеет базис (очевидного базиса нет). В основе находится бесчисленное множество элементов. Поскольку размерности различны , F ^N не изоморфен F ∞ ^. Стоит отметить, что F ^N (изоморфно) двойственному пространству к F ^∞ , поскольку линейное отображение T из F ^∞ в F определяется однозначно своими значениями T ( e _i ) на базисных элементах F ^∞ , и эти значения могут быть произвольными. Таким образом, можно видеть, что векторное пространство не обязательно должно быть изоморфно своему двойному двойнику, если оно бесконечномерно, в отличие от конечномерного случая.

Произведение векторных пространств

Начиная с n векторных пространств или их счетной бесконечной коллекции, каждое из которых имеет одно и то же поле, мы можем определить пространство продукта, как указано выше.

Матрицы

Обозначим через F ^{m × n} множество матриц m × n с элементами из F . Тогда F ^{m × n} — векторное пространство над F . Сложение векторов — это просто сложение матриц, а скалярное умножение определяется очевидным образом (путем умножения каждой записи на один и тот же скаляр). Нулевой вектор — это просто нулевая матрица . Размерность F ^{m × n} равна mn .​​ Одним из возможных вариантов базиса являются матрицы, в которых одна запись равна 1, а все остальные записи равны 0.

Когда m = n, матрица является квадратной , и умножение двух таких матриц дает третью. Это векторное пространство размерности n2 ^{образует} алгебру над полем .

Полиномиальные векторные пространства

Одна переменная

Набор полиномов с коэффициентами из F представляет собой векторное пространство над F , обозначаемое F [ x ]. Сложение векторов и скалярное умножение определяются очевидным образом. Если степень многочленов неограничена, то размерность F [ x ] счетно бесконечна . Если вместо этого ограничиться полиномами степени меньше или равной n , то мы получим векторное пространство размерности n  + 1.

Одним из возможных базисов для F [ x ] является мономиальный базис : координаты многочлена относительно этого базиса являются его коэффициентами , а отображение, переводящее многочлен в последовательность его коэффициентов, представляет собой линейный изоморфизм из F [ x ] в бесконечное координатное пространство F ^∞ .

Векторное пространство многочленов с действительными коэффициентами и степенью меньше или равной n часто обозначается P _n .

Несколько переменных

Множество многочленов от нескольких переменных с коэффициентами из F представляет собой векторное пространство над F , обозначаемое F [ x ₁ , x ₂ , ..., x _r ]. Здесь r — количество переменных.

Функциональные пространства

См. основную статью в разделе «Пространство функций» , особенно раздел функционального анализа.

Пусть X — непустое произвольное множество, а V — произвольное векторное пространство над F. Пространство всех функций от X до V является векторным пространством над F при поточечном сложении и умножении. То есть пусть f  : X → V и g  : X → V обозначают две функции, и пусть α в F . Мы определяем

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

${\displaystyle (\alpha f)(x)=\alpha f(x)}$

где операции в правой части — это операции из V . Нулевой вектор задается постоянной функцией, переводящей все в нулевой вектор в V . Пространство всех функций от X до V обычно обозначается V ^X .

Если X конечно и V конечномерно, то V ^X имеет размерность | X |(dim V ), в противном случае пространство бесконечномерно (несчетно, если X бесконечно).

Многие из векторных пространств, возникающих в математике, являются подпространствами некоторого функционального пространства. Приведем еще несколько примеров.

Обобщенное координатное пространство

Пусть X — произвольное множество. Рассмотрим пространство всех функций от X до F , которые обращаются в нуль во всех точках X , кроме конечного числа . Это пространство является векторным подпространством F ^X , пространством всех возможных функций от X до F . Чтобы убедиться в этом, заметим, что объединение двух конечных множеств конечно, так что сумма двух функций в этом пространстве все равно будет равна нулю вне конечного множества.

Описанное выше пространство обычно обозначается ( F ^X ) ₀ и называется обобщенным координатным пространством по следующей причине. Если X — это набор чисел от 1 до n , то это пространство, как легко видеть, эквивалентно координатному пространству F ⁿ . Аналогично, если X — множество натуральных чисел N , то это пространство — это просто F ^∞ .

Каноническим базисом для ( F ^X ) ₀ является множество функций {δ _x | x ∈ X }, определяемый формулой

${\displaystyle \delta _{x}(y)={\begin{cases}1\quad x=y\\0\quad x\neq y\end{cases}}}$

Следовательно , размерность ( F ^X ) ₀ равна мощности X. Таким образом мы можем построить векторное пространство любой размерности над любым полем. Более того, каждое векторное пространство изоморфно одной из этих форм . Любой выбор базиса определяет изоморфизм путем перевода базиса в канонический для ( F ^X ) ₀ .

Обобщенное координатное пространство можно также понимать как прямую сумму | Х | копии F (т.е. по одной для каждой точки в X ):

${\displaystyle (\mathbf {F} ^{X})_{0}=\bigoplus _{x\in X}\mathbf {F} .}$

Условие конечности встроено в определение прямой суммы. Сравните это с прямым произведением | Х | копии F , которые дадут полное функциональное пространство F ^X .

Линейные карты

Важным примером, возникающим в контексте самой линейной алгебры , является векторное пространство линейных отображений . Пусть L ( V , W ) обозначает множество всех линейных отображений из V в W (оба являются векторными пространствами над F ). Тогда L ( V , W ) является подпространством W ^V, поскольку оно замкнуто относительно сложения и скалярного умножения.

Заметим, что L( F ⁿ , F ^m ) естественным образом можно отождествить с пространством матриц F ^{m × n} . Фактически, выбрав подходящие базисы для конечномерных пространств V и W, L(V,W) также можно отождествить с F ^{m × n} . Эта идентификация обычно зависит от выбора основы.

Непрерывные функции

Если X — некоторое топологическое пространство , например единичный интервал [0,1 ] , мы можем рассматривать пространство всех непрерывных функций от X до R. Это векторное подпространство R ^X, поскольку сумма любых двух непрерывных функций непрерывна, а скалярное умножение непрерывно.

Дифференциальные уравнения

Подмножество пространства всех функций от R до R , состоящее из (достаточно дифференцируемых) функций, удовлетворяющих некоторому дифференциальному уравнению , является подпространством R ^R , если уравнение линейное. Это связано с тем, что дифференцирование является линейной операцией, т. е. ( a f + b g )′ = a f  ′ + b g ′, где ′ — оператор дифференцирования.

Расширения полей

Предположим, что K — подполе F ( см . расширение поля ) . Тогда F можно рассматривать как векторное пространство над K , ограничивая скалярное умножение элементами из K (сложение векторов определяется как нормальное). Размерность этого векторного пространства, если она существует, ^[a] называется степенью расширения. Например, комплексные числа C образуют двумерное векторное пространство над действительными числами R. Аналогично, действительные числа R образуют векторное пространство над рациональными числами Q , которое имеет (несчетно) бесконечную размерность, если существует базис Гамеля. ^[б]

Если V — векторное пространство над F, его также можно рассматривать как векторное пространство над K. Размеры связаны формулой

dim _K V = (dim _F V )(dim _K F )

Например, C ⁿ , рассматриваемое как векторное пространство над действительными числами, имеет размерность 2 n .

Конечные векторные пространства

За исключением тривиального случая нульмерного пространства над любым полем, векторное пространство над полем F имеет конечное число элементов тогда и только тогда, когда F — конечное поле и векторное пространство имеет конечную размерность. Таким образом, мы имеем F _q — единственное конечное поле (с точностью до изоморфизма ) с q элементами. Здесь q должно быть степенью простого числа ( q = pm , ^где p простое число). Тогда любое n -мерное векторное пространство V над F _q будет иметь q ⁿ элементов. Обратите внимание, что количество элементов в V также является степенью простого числа (поскольку степень простого числа снова является степенью простого числа). Основным примером такого пространства является координатное пространство ( F _q ) ⁿ .

Эти векторные пространства имеют решающее значение в теории представлений конечных групп , теории чисел и криптографии .

Примечания

1. Обратите внимание, что полученное векторное пространство может не иметь основы при отсутствии выбранной аксиомы .
2. Существуют модели ZF без кондиционера , в которых это не так.

Рекомендации

1. Ланг 1987, гл. I.1

• Ланг, Серж (1987). Линейная алгебра . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-96412-6.