Философия математики — раздел философии , изучающий природу математики и ее связь с другими видами человеческой деятельности.
Основные темы, которые рассматриваются в философии математики, включают:
Связь между математикой и материальной реальностью привела к философским дебатам по крайней мере со времен Пифагора . Древний философ Платон утверждал, что абстракции, отражающие материальную реальность, сами по себе имеют реальность, существующую вне пространства и времени. В результате философская точка зрения, согласно которой математические объекты каким-то образом существуют сами по себе в абстракции, часто называетсяПлатонизм . Независимо от их возможных философских взглядов, современных математиков можно в целом считать платониками, поскольку они думают и говорят о своих объектах изучения как о реальных объектах (см. Математический объект ). [1]
Арман Борель резюмировал этот взгляд на реальность математики следующим образом и привел цитаты Г. Х. Харди , Шарля Эрмита , Анри Пуанкаре и Альберта Эйнштейна , которые подтверждают его взгляды. [2]
Что-то становится объективным (в отличие от «субъективного»), как только мы убеждаемся, что оно существует в умах других в той же форме, что и в наших, и что мы можем думать об этом и обсуждать это вместе. [3] Поскольку язык математики настолько точен, он идеально подходит для определения концепций, для которых существует такой консенсус. По моему мнению, этого достаточно, чтобы дать нам чувство объективного существования, реальности математики...
Математическое рассуждение требует строгости . Это означает, что определения должны быть абсолютно однозначными, а доказательства должны сводиться к последовательности применений силлогизмов или правил вывода , [a] без какого-либо использования эмпирических доказательств и интуиции . [b] [4]
Правила строгого рассуждения были установлены древнегреческими философами под названием логика . Логика не является специфической для математики, но в математике стандарт строгости гораздо выше, чем где-либо еще.
На протяжении многих столетий логика, хотя и использовалась для математических доказательств, принадлежала философии и специально не изучалась математиками. [5] Около конца 19-го века несколько парадоксов поставили под сомнение логическую основу математики, а следовательно, и обоснованность всей математики. Это было названо фундаментальным кризисом математики . Некоторые из этих парадоксов состоят из результатов, которые, кажется, противоречат общей интуиции, например, возможность построения допустимых неевклидовых геометрий, в которых постулат параллельности неверен, функция Вейерштрасса , которая непрерывна , но нигде не дифференцируема , и исследование Георгом Кантором бесконечных множеств , которое привело к рассмотрению нескольких размеров бесконечности (бесконечных кардиналов ). Еще более поразительно, что парадокс Рассела показывает, что фраза «множество всех множеств» является самопротиворечивой.
Было предложено несколько методов решения проблемы путем изменения логической структуры, таких как конструктивная математика и интуиционистская логика . Грубо говоря, первый состоит в требовании, чтобы каждая теорема существования предоставляла явный пример, а второй исключает из математических рассуждений закон исключенного третьего и исключение двойного отрицания .
Проблемы обоснования математики в конечном итоге были решены с возникновением математической логики как новой области математики. В этой структуре математическая или логическая теория состоит из формального языка , который определяет правильно сформированные утверждения , набора базовых утверждений, называемых аксиомами , и набора правил вывода , которые позволяют производить новые утверждения из одного или нескольких известных утверждений. Теорема такой теории является либо аксиомой, либо утверждением, которое может быть получено из ранее известных теорем путем применения правила вывода. Теория множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора , обычно называемая ZFC , является такой теорией, в которой вся математика была переформулирована; она неявно используется во всех математических текстах, которые явно не указывают, на каких основаниях они основаны. Более того, другие предлагаемые основания могут быть смоделированы и изучены внутри ZFC.
Это приводит к тому, что «строгость» больше не является релевантной концепцией в математике, поскольку доказательство может быть либо правильным, либо ошибочным, а «строгое доказательство» — это просто плеоназм . Где в игру вступает особое понятие строгости, так это в социализированных аспектах доказательства. В частности, доказательства редко пишутся во всех подробностях, и некоторые шаги доказательства обычно считаются тривиальными , легкими или простыми , и поэтому оставляются читателю. Поскольку большинство ошибок доказательства происходят на этих пропущенных шагах, новое доказательство должно быть проверено другими специалистами в данной области и может считаться надежным только после того, как будет принято сообществом специалистов, на что может потребоваться несколько лет. [6]
Кроме того, концепция «строгости» может оставаться полезной для обучения начинающих тому, что такое математическое доказательство. [7]
До XIX века основные математические понятия, такие как точки , линии , натуральные числа , действительные числа (используемые для измерений) и т. д., были абстракциями из физического мира, и обычно считалось, что этого достаточно для их определения. [c]
Вследствие этой близости к физической реальности математики были очень осторожны, когда проблемы, которые они хотели решить, заставляли их вводить новые концепции, которые не связаны напрямую с реальным миром. Эти предосторожности все еще отражены в современной терминологии, где числа, которые не являются частными натуральных чисел, называются иррациональными числами , что изначально означало, что разум не может их постичь. Аналогично, действительные числа — это числа, которые можно использовать для измерения, в то время как мнимые числа — нет.
В 19 веке велись активные исследования по предоставлению более точных определений основным понятиям, полученным в результате абстрагирования от реального мира; например, арифметика Пеано для натуральных чисел, формальные определения предела , рядов (бесконечных сумм, которые могут иметь конечное значение) и непрерывности Коши и Вейерштрасса , определение действительных чисел Коши и Дедекинда . Эти формальные определения позволили доказать контринтуитивные результаты, которые являются частью происхождения основополагающего кризиса математики . Например, функция Вейерштрасса — это функция , которая всюду непрерывна и нигде не дифференцируема . Поскольку существование такого монстра казалось невозможным, у людей было два выбора: либо они принимают такие нереалистичные факты, что подразумевает, что математика не должна отражать физическую реальность; либо они меняют логические правила для исключения таких монстров. Первый выбор привел к философской школе формализма ; в своей сильной форме эта школа может пониматься как тот факт, что математики не должны заботиться о физической реальности. Второй выбор привел к интуитивизму и конструктивизму .
После ожесточённых дебатов аксиоматический подход в конечном итоге стал фактической нормой в математике. Это означает, что математические теории должны основываться на аксиомах (основных предположениях, которые считаются истинными) и фиксированном наборе правил вывода ; теория состоит из результатов ( теорем ), которые могут быть выведены (доказаны) из аксиомы с использованием правил вывода, и только правил вывода. Сущности ( математические объекты ), вовлечённые в аксиомы, рассматриваются как определённые аксиомами, и ничего другого не предполагается относительно их природы. Например, геометрия плоскости может быть аксиоматизирована с двумя видами объектов, точками и прямыми, и отношением «принадлежность» или «прохождение через», которое связывает точки и прямые. Одна из аксиом заключается в том, что «существует ровно одна прямая, которая проходит через две точки». Интерпретация точек и прямых (теории) как обычных точек и прямых вообще не имеет значения для обоснованности теории. Это означает, что можно проверить правильность доказательства, не ссылаясь на какую-либо фигуру, и что доказанная теорема остается истинной независимо от любой интерпретации сущностей, вовлеченных в аксиомы. Например, в плоской проективной геометрии можно интерпретировать точки как линии и наоборот. Это подразумевает, что для каждой теоремы, связывающей точки и линии, можно немедленно получить новую теорему, поменяв роли точек и линий (см. двойственность ). Тем не менее, интерпретация объектов теории в терминах физической реальности (когда это возможно) или ранее изученных абстракций остается основополагающей для руководства выбором аксиом, понимания предмета теории и следования этапам длинного доказательства.
Этот аксиоматический подход был применен ко всей математике через ZFC , теорию множеств Цермело - Френкеля с аксиомой выбора . Вся математика была перестроена внутри этой теории. За исключением случаев, когда явно указано обратное, все современные математические тексты используют ее как основу математики.
Вследствие этого связь между математикой и физической реальностью больше не является математическим вопросом, но природа этой связи остается философским вопросом, на который нет однозначного ответа.
Математика используется в большинстве наук для моделирования явлений, что затем позволяет делать прогнозы на основе экспериментальных законов. [8] Независимость математической истины от любого эксперимента подразумевает, что точность таких прогнозов зависит только от адекватности модели. [9] Неточные прогнозы, вместо того чтобы быть вызванными недействительными математическими концепциями, подразумевают необходимость изменения используемой математической модели. [10] Например, прецессия перигелия Меркурия могла быть объяснена только после появления общей теории относительности Эйнштейна , которая заменила закон тяготения Ньютона в качестве лучшей математической модели. [11]
До сих пор ведутся философские дебаты о том, является ли математика наукой. Однако на практике математики обычно объединяются с учеными, а математика имеет много общего с физическими науками. Как и они, она фальсифицируема , что означает в математике, что если результат или теория неверны, это можно доказать, предоставив контрпример . Аналогично, как и в науке, теории и результаты (теоремы) часто получаются из экспериментов . [12] В математике эксперимент может состоять из вычислений на выбранных примерах или из изучения фигур или других представлений математических объектов (часто представлений ума без физической поддержки). Например, когда его спросили, как он пришел к своим теоремам, Гаусс однажды ответил «durch planmässiges Tattonieren» (через систематическое экспериментирование). [13] Однако некоторые авторы подчеркивают, что математика отличается от современного понятия науки тем, что не опирается на эмпирические доказательства. [14] [15] [16] [17]
Необоснованная эффективность математики — это явление, которое было названо и впервые явно сформулировано физиком Юджином Вигнером . [18] Фактом является то, что многие математические теории (даже «самые чистые») имеют приложения за пределами своего первоначального объекта. Эти приложения могут полностью выходить за рамки своей первоначальной области математики и могут касаться физических явлений, которые были совершенно неизвестны, когда была введена математическая теория. [19] Примеры неожиданных приложений математических теорий можно найти во многих областях математики.
Ярким примером является разложение на простые множители натуральных чисел, которое было открыто более чем за 2000 лет до его повсеместного использования для безопасной интернет -связи через криптосистему RSA . [20] Вторым историческим примером является теория эллипсов . Они изучались древнегреческими математиками как конические сечения (то есть пересечения конусов с плоскостями). Почти 2000 лет спустя Иоганн Кеплер открыл, что траектории планет являются эллипсами. [21]
В 19 веке внутреннее развитие геометрии (чистой математики) привело к определению и изучению неевклидовых геометрий, пространств размерности выше трех и многообразий . В то время эти концепции казались полностью оторванными от физической реальности, но в начале 20 века Альберт Эйнштейн разработал теорию относительности , которая фундаментально использует эти концепции. В частности, пространство-время специальной теории относительности является неевклидовым пространством размерности четыре, а пространство-время общей теории относительности является (искривленным) многообразием размерности четыре. [22] [23]
Поразительным аспектом взаимодействия математики и физики является тот факт, что математика движет исследованиями в физике. Это иллюстрируется открытиями позитрона и бариона . В обоих случаях уравнения теорий имели необъясненные решения, что привело к предположению о существовании неизвестной частицы и поиску этих частиц. В обоих случаях эти частицы были обнаружены несколько лет спустя в ходе специальных экспериментов. [2] [24] [25]
Происхождение математики — это споры и разногласия. Было ли рождение математики случайным или вызвано необходимостью в ходе развития схожих дисциплин, таких как физика, остается предметом споров. [26] [27]
Многие мыслители внесли свои идеи относительно природы математики. Сегодня некоторые [ кто? ] философы математики стремятся дать отчеты об этой форме исследования и ее продуктах в том виде, в котором они есть, в то время как другие подчеркивают свою роль, которая выходит за рамки простой интерпретации и переходит к критическому анализу. Традиции математической философии существуют как в западной, так и в восточной философии . Западные философии математики восходят к Пифагору , который описал теорию «все есть математика» ( математизм ), Платону , который перефразировал Пифагора и изучал онтологический статус математических объектов, и Аристотелю , который изучал логику и вопросы, связанные с бесконечностью (актуальной и потенциальной).
Греческая философия математики находилась под сильным влиянием их изучения геометрии . Например, одно время греки придерживались мнения, что 1 (один) не является числом , а скорее единицей произвольной длины. Число определялось как множество. Поэтому 3, например, представляло определенное множество единиц и, таким образом, было «истинно» числом. В другой раз был выдвинут аналогичный аргумент, что 2 не является числом, а фундаментальным понятием пары. Эти взгляды исходят из в значительной степени геометрической точки зрения греков с линейкой и циркулем: так же, как линии, нарисованные в геометрической задаче, измеряются пропорционально первой произвольно нарисованной линии, так и числа на числовой прямой измеряются пропорционально произвольному первому «числу» или «единице». [ необходима цитата ]
Эти ранние греческие идеи чисел были позже перевернуты открытием иррациональности квадратного корня из двух. Гиппас , ученик Пифагора , показал, что диагональ единичного квадрата несоизмерима с его (единичной длиной) ребром: другими словами, он доказал, что не существует (рационального) числа, которое точно отображало бы пропорцию диагонали единичного квадрата к его ребру. Это вызвало значительную переоценку греческой философии математики. Согласно легенде, коллеги-пифагорейцы были настолько травмированы этим открытием, что убили Гиппаса, чтобы остановить его от распространения своей еретической идеи. [28] Симон Стевин был одним из первых в Европе, кто бросил вызов греческим идеям в 16 веке. Начиная с Лейбница , фокус сильно сместился на связь между математикой и логикой. Эта точка зрения доминировала в философии математики во времена Фреге и Рассела , но была поставлена под сомнение событиями конца XIX и начала XX веков.
Вечная проблема в философии математики касается взаимоотношений между логикой и математикой в их совместных основаниях. В то время как философы 20-го века продолжали задавать вопросы, упомянутые в начале этой статьи, философия математики в 20-м веке характеризовалась преобладающим интересом к формальной логике , теории множеств (как наивной теории множеств , так и аксиоматической теории множеств ) и фундаментальным вопросам.
Это глубокая загадка, что, с одной стороны, математические истины, кажется, имеют убедительную неизбежность, но с другой стороны, источник их «истинности» остается неуловимым. Исследования по этому вопросу известны как основы математической программы.
В начале 20-го века философы математики уже начали разделяться на различные школы мысли по всем этим вопросам, в целом отличающиеся своими картинами математической эпистемологии и онтологии . Три школы, формализм , интуиционизм и логицизм , возникли в это время, отчасти в ответ на все более распространенное беспокойство о том, что математика в ее нынешнем виде, и анализ в частности, не соответствуют стандартам определенности и строгости , которые считались само собой разумеющимися. Каждая школа рассматривала проблемы, которые выходили на первый план в то время, либо пытаясь решить их, либо утверждая, что математика не имеет права на свой статус нашего самого надежного знания.
Удивительные и контринтуитивные разработки в формальной логике и теории множеств в начале 20-го века привели к новым вопросам, касающимся того, что традиционно называлось основами математики . По мере развития столетия первоначальный фокус интереса расширился до открытого исследования фундаментальных аксиом математики, аксиоматический подход считался само собой разумеющимся со времен Евклида около 300 г. до н. э. как естественная основа математики. Понятия аксиомы , предложения и доказательства , а также понятие предложения, являющегося истинным для математического объекта (см. Задание ), были формализованы, что позволило рассматривать их математически. Были сформулированы аксиомы Цермело-Френкеля для теории множеств, которые обеспечили концептуальную основу, в которой будет интерпретироваться большая часть математического дискурса. В математике, как и в физике, возникли новые и неожиданные идеи, и надвигались значительные изменения. С помощью нумерации Гёделя предложения можно было интерпретировать как относящиеся к себе или другим предложениям, что позволяло исследовать непротиворечивость математических теорий. Эта рефлексивная критика, в которой рассматриваемая теория «сама становится объектом математического исследования», привела Гильберта к названию такого исследования метаматематикой или теорией доказательств . [29]
В середине века Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Маклейном была создана новая математическая теория , известная как теория категорий , и она стала новым претендентом на естественный язык математического мышления. [30] Однако по мере развития 20-го века философские мнения расходились относительно того, насколько обоснованными были вопросы об основаниях, поднятые в начале века. Хилари Патнэм подытожила один общий взгляд на ситуацию в последней трети века, сказав:
Когда философия обнаруживает, что что-то не так с наукой, иногда науку приходится менять — на ум приходит парадокс Рассела , как и атака Беркли на фактическую бесконечно малую величину — но чаще всего приходится менять философию. Я не думаю, что трудности, которые философия находит сегодня в классической математике, являются подлинными трудностями; и я думаю, что философские интерпретации математики, которые нам предлагают со всех сторон, неверны, и что «философская интерпретация» — это как раз то, что математике не нужно. [31] : 169–170
Философия математики сегодня развивается по нескольким различным направлениям: философами математики, логиками и математиками, и существует много школ мысли по этому вопросу. Школы рассматриваются по отдельности в следующем разделе, а их предположения объясняются.
Точка зрения, которая утверждает, что математика является эстетическим сочетанием предположений, а затем также утверждает, что математика является искусством . Известный математик, который утверждает это, — британец Г. Х. Харди . [32] Для Харди в его книге «Апология математика» определение математики было больше похоже на эстетическое сочетание понятий. [33]
Математический платонизм — это форма реализма, которая предполагает, что математические сущности абстрактны, не имеют пространственно-временных или причинных свойств и вечны и неизменны. Часто утверждается, что это взгляд большинства людей на числа. Термин «платонизм» используется потому, что такой взгляд, как считается, параллелен Теории форм Платона и «Миру идей» (греч. eidos (εἶδος)), описанному в аллегории Платона о пещере : повседневный мир может лишь несовершенно приближаться к неизменной, высшей реальности. И пещера Платона, и платонизм имеют значимые, а не просто поверхностные связи, потому что идеи Платона предшествовали и, вероятно, находились под влиянием чрезвычайно популярных пифагорейцев Древней Греции, которые считали, что мир был, в буквальном смысле, создан числами .
Главный вопрос, рассматриваемый в математическом платонизме, заключается в следующем: где именно и как существуют математические сущности, и как мы узнаем о них? Существует ли мир, полностью отдельный от нашего физического, который занят математическими сущностями? Как мы можем получить доступ к этому отдельному миру и узнать истины о сущностях? Одним из предлагаемых ответов является Абсолютный Ансамбль , теория, постулирующая, что все структуры, которые существуют математически, также существуют физически в своей собственной вселенной.
Платонизм Курта Гёделя [34] постулирует особый вид математической интуиции, которая позволяет нам воспринимать математические объекты напрямую. (Эта точка зрения имеет сходство со многими вещами, которые Гуссерль говорил о математике, и поддерживает идею Канта о том, что математика является априорной синтетикой . ) Дэвис и Херш предположили в своей книге 1999 года «Математический опыт» , что большинство математиков действуют так, как будто они платоники, хотя, если их заставить тщательно защищать эту позицию, они могут вернуться к формализму.
Полнокровный платонизм — это современная вариация платонизма, которая является реакцией на тот факт, что различные наборы математических сущностей могут быть доказаны в зависимости от используемых аксиом и правил вывода (например, закон исключенного третьего и аксиома выбора ). Он утверждает, что все математические сущности существуют. Они могут быть доказуемы, даже если они не могут быть выведены из одного последовательного набора аксиом. [35]
Теоретико-множественный реализм (также теоретико-множественный платонизм ) [36] позиция, защищаемая Пенелопой Мэдди , является представлением о том, что теория множеств касается единой вселенной множеств. [37] Эта позиция (которая также известна как натурализованный платонизм, поскольку является натурализованной версией математического платонизма) была подвергнута критике Марком Балагером на основе эпистемологической проблемы Пола Бенасеррафа . [ 38] Похожая точка зрения, названная платонизированным натурализмом , позже была защищена школой Стэнфорда-Эдмонтона : согласно этой точке зрения, более традиционный вид платонизма согласуется с натурализмом ; более традиционный вид платонизма, который они защищают, отличается общими принципами, которые утверждают существование абстрактных объектов . [39]
Гипотеза математической вселенной Макса Тегмарка ( или математизм ) идет дальше платонизма, утверждая, что существуют не только все математические объекты, но и ничто другое. Единственный постулат Тегмарка: Все структуры, которые существуют математически, существуют также и физически . То есть, в том смысле, что «в тех [мирах], которые достаточно сложны, чтобы содержать в себе самосознающие подструктуры, [они] будут субъективно воспринимать себя как существующие в физически „реальном“ мире». [40] [41]
Логицизм — это тезис о том, что математика сводится к логике и, следовательно, является лишь частью логики. [42] : 41 Логики считают, что математика может быть познана априори , но предполагают, что наше знание математики является лишь частью нашего знания логики в целом и, таким образом, является аналитическим , не требующим какой-либо особой способности к математической интуиции. С этой точки зрения, логика является надлежащим основанием математики, и все математические утверждения являются необходимыми логическими истинами .
Рудольф Карнап (1931) представляет тезис логицизма в двух частях: [42]
Готлоб Фреге был основателем логицизма. В своих основополагающих Die Grundgesetze der Arithmetik ( Основные законы арифметики ) он построил арифметику из системы логики с общим принципом понимания, который он назвал «Основным законом V» (для понятий F и G объем F равен объему G тогда и только тогда , когда для всех объектов a Fa равен Ga ), принцип, который он считал приемлемым как часть логики.
Конструкция Фреге была ошибочной. Бертран Рассел обнаружил, что Основной закон V непоследователен (это парадокс Рассела ). Фреге вскоре после этого отказался от своей логической программы, но ее продолжили Рассел и Уайтхед . Они приписали парадокс «порочному кругу» и построили то, что они назвали теорией разветвленных типов, чтобы справиться с ним. В этой системе они в конечном итоге смогли построить большую часть современной математики, но в измененной и чрезмерно сложной форме (например, в каждом типе были разные натуральные числа, и было бесконечно много типов). Им также пришлось пойти на несколько компромиссов, чтобы развить большую часть математики, например, « аксиому сводимости ». Даже Рассел сказал, что эта аксиома на самом деле не принадлежит логике.
Современные логики (например, Боб Хейл , Криспин Райт и, возможно, другие) вернулись к программе, более близкой к программе Фреге. Они отказались от Основного закона V в пользу принципов абстракции, таких как принцип Юма (количество объектов, подпадающих под понятие F, равно количеству объектов, подпадающих под понятие G, если и только если расширение F и расширение G могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие ). Фреге требовал, чтобы Основной закон V мог дать явное определение чисел, но все свойства чисел могут быть выведены из принципа Юма. Этого было бы недостаточно для Фреге, потому что (перефразируя его) это не исключает возможности того, что число 3 на самом деле является Юлием Цезарем. Кроме того, многие из ослабленных принципов, которые им пришлось принять для замены Основного закона V, больше не кажутся столь очевидно аналитическими и, таким образом, чисто логическими.
Формализм утверждает, что математические утверждения можно рассматривать как утверждения о последствиях определенных правил манипуляции строками. Например, в «игре» евклидовой геометрии (которая рассматривается как состоящая из некоторых строк, называемых «аксиомами», и некоторых «правил вывода» для генерации новых строк из заданных), можно доказать, что теорема Пифагора верна (то есть можно сгенерировать строку, соответствующую теореме Пифагора). Согласно формализму, математические истины не о числах, множествах, треугольниках и т. п. — на самом деле, они вообще не «о» чем-либо.
Другая версия формализма известна как дедуктивизм . [43] В дедуктивизме теорема Пифагора не является абсолютной истиной, а относительной, если она дедуктивно следует из соответствующих аксиом. То же самое считается верным и для всех других математических утверждений.
Формализм не обязательно означает, что математика — это не более чем бессмысленная символическая игра. Обычно надеются, что существует некая интерпретация, в которой правила игры соблюдаются. (Сравните эту позицию со структурализмом .) Но он позволяет работающему математику продолжать свою работу и оставить такие проблемы философу или ученому. Многие формалисты сказали бы, что на практике системы аксиом, которые нужно изучать, будут предложены требованиями науки или других областей математики.
Одним из первых сторонников формализма был Дэвид Гильберт , чья программа была призвана стать полной и последовательной аксиоматизацией всей математики. [44] Гильберт стремился показать непротиворечивость математических систем, исходя из предположения, что «финитная арифметика» (подсистема обычной арифметики положительных целых чисел , выбранная как философски бесспорная) была непротиворечивой. Цели Гильберта по созданию системы математики, которая была бы одновременно полной и последовательной, были серьезно подорваны второй из теорем Гёделя о неполноте , которая гласит, что достаточно выразительные непротиворечивые системы аксиом никогда не могут доказать свою собственную непротиворечивость. Поскольку любая такая система аксиом содержала бы финитную арифметику как подсистему, теорема Гёделя подразумевала, что было бы невозможно доказать непротиворечивость системы относительно этого (поскольку тогда она доказала бы свою собственную непротиворечивость, что, как показал Гёдель, было невозможно). Таким образом, чтобы показать, что любая аксиоматическая система математики на самом деле непротиворечива, необходимо сначала предположить непротиворечивость системы математики, которая в некотором смысле сильнее, чем система, непротиворечивость которой доказывается.
Гильберт изначально был дедуктивистом, но, как может быть ясно из вышесказанного, он считал, что некоторые метаматематические методы дают внутренне значимые результаты, и был реалистом в отношении финитной арифметики. Позднее он придерживался мнения, что не существует никакой другой осмысленной математики вообще, независимо от интерпретации.
Другие формалисты, такие как Рудольф Карнап , Альфред Тарский и Хаскелл Карри , считали математику исследованием формальных систем аксиом . Математические логики изучают формальные системы, но они так же часто являются реалистами, как и формалистами.
Формалисты относительно терпимы и приглашают к новым подходам к логике, нестандартным системам чисел, новым теориям множеств и т. д. Чем больше игр мы изучаем, тем лучше. Однако во всех трех этих примерах мотивация черпается из существующих математических или философских проблем. «Игры» обычно не являются произвольными.
Основная критика формализма заключается в том, что реальные математические идеи, которые занимают математиков, далеки от игр с манипуляциями строками, упомянутых выше. Таким образом, формализм молчит по вопросу о том, какие системы аксиом следует изучать, поскольку ни одна из них не является более значимой, чем другая с формальной точки зрения.
Недавно некоторые [ кто? ] математики-формалисты предложили, чтобы все наши формальные математические знания были систематически закодированы в форматах, читаемых компьютером , чтобы облегчить автоматическую проверку математических доказательств и использование интерактивного доказательства теорем при разработке математических теорий и компьютерного программного обеспечения. Из-за их тесной связи с компьютерной наукой эта идея также отстаивается математическими интуиционистами и конструктивистами в традиции «вычислимости» — см. проект QED для общего обзора.
Французский математик Анри Пуанкаре был одним из первых, кто сформулировал конвенционалистскую точку зрения. Использование Пуанкаре неевклидовых геометрий в его работе по дифференциальным уравнениям убедило его, что евклидову геометрию не следует считать априорной истиной. Он считал, что аксиомы в геометрии следует выбирать по результатам, которые они дают, а не по их очевидной согласованности с человеческими интуициями о физическом мире.
В математике интуиционизм — это программа методологической реформы, девиз которой заключается в том, что «нет неопытных математических истин» ( LEJ Brouwer ). С этого трамплина интуиционисты стремятся реконструировать то, что они считают исправимой частью математики в соответствии с кантовскими концепциями бытия, становления, интуиции и знания. Брауэр, основатель движения, считал, что математические объекты возникают из априорных форм волевых актов, которые информируют восприятие эмпирических объектов. [45]
Главной силой интуиционизма был Л. Э. Дж. Брауэр , который отвергал полезность формализованной логики любого рода для математики. Его ученик Аренд Гейтинг постулировал интуиционистскую логику , отличную от классической аристотелевской логики ; эта логика не содержит закона исключенного третьего и поэтому не одобряет доказательств от противного . Аксиома выбора также отвергается в большинстве интуиционистских теорий множеств, хотя в некоторых версиях она принимается.
В интуиционизме термин «явное построение» не определен четко, и это привело к критике. Были предприняты попытки использовать концепции машины Тьюринга или вычислимой функции, чтобы заполнить этот пробел, что привело к утверждению, что только вопросы, касающиеся поведения конечных алгоритмов, имеют смысл и должны исследоваться в математике. Это привело к изучению вычислимых чисел , впервые введенных Аланом Тьюрингом . Неудивительно, что этот подход к математике иногда ассоциируется с теоретической информатикой .
Как и интуиционизм, конструктивизм подразумевает регулятивный принцип, согласно которому в математический дискурс следует допускать только математические сущности, которые могут быть явно сконструированы в определенном смысле. С этой точки зрения математика — это упражнение человеческой интуиции, а не игра с бессмысленными символами. Вместо этого речь идет о сущностях, которые мы можем создавать непосредственно посредством умственной деятельности. Кроме того, некоторые приверженцы этих школ отвергают неконструктивные доказательства, такие как использование доказательства от противного при демонстрации существования объекта или при попытке установить истинность некоторого предложения. Важная работа была проделана Эрреттом Бишопом , которому удалось доказать версии наиболее важных теорем в реальном анализе как конструктивный анализ в его «Основах конструктивного анализа» 1967 года. [46]
.jpg/1280px-Leopold_Kronecker_(ca._1880).jpg)
Финитизм — это крайняя форма конструктивизма , согласно которой математический объект не существует, если его нельзя построить из натуральных чисел за конечное число шагов. В своей книге «Философия теории множеств » Мэри Тайлз охарактеризовала тех, кто допускает счетно бесконечные объекты, как классических финитистов, а тех, кто отрицает даже счетно бесконечные объекты, как строгих финитистов.
Самым известным сторонником финитизма был Леопольд Кронекер , [47] который сказал:
Бог создал натуральные числа, все остальное — дело рук человека.
Ультрафинитизм — это еще более крайняя версия финитизма, которая отвергает не только бесконечности, но и конечные величины, которые невозможно построить с имеющимися ресурсами. Другой вариант финитизма — евклидова арифметика, система, разработанная Джоном Пенном Мэйберри в его книге «Основания математики в теории множеств» . [48] Система Мэйберри в целом вдохновлена Аристотелем и, несмотря на его решительное неприятие любой роли операционализма или осуществимости в основаниях математики, приходит к несколько схожим выводам, таким как, например, что суперэкспоненциация не является законной финитной функцией.
Структурализм — это позиция, согласно которой математические теории описывают структуры, и что математические объекты исчерпывающе определяются своими местами в таких структурах, следовательно, не имея внутренних свойств . Например, он утверждает, что все, что нужно знать о числе 1, — это то, что это первое целое число после 0. Аналогично все другие целые числа определяются своими местами в структуре, числовой прямой . Другие примеры математических объектов могут включать линии и плоскости в геометрии или элементы и операции в абстрактной алгебре .
Структурализм является эпистемологически реалистичным взглядом, поскольку он утверждает, что математические утверждения имеют объективную истинностную ценность. Однако его центральное утверждение относится только к тому, какой тип сущности представляет собой математический объект, а не к тому, какой тип существования имеют математические объекты или структуры (другими словами, не к их онтологии ). Тип существования математических объектов, очевидно, будет зависеть от типа существования структур, в которые они встроены; различные подвиды структурализма выдвигают различные онтологические утверждения в этом отношении. [49]
Структурализм ante rem («до вещи») имеет схожую онтологию с платонизмом . Структуры считаются имеющими реальное, но абстрактное и нематериальное существование. Как таковой, он сталкивается со стандартной эпистемологической проблемой объяснения взаимодействия между такими абстрактными структурами и математиками из плоти и крови (см. проблему идентификации Бенацеррафа ).
In re- структурализм («in the thing») является эквивалентом аристотелевского реализма. Структуры считаются существующими, поскольку некая конкретная система их иллюстрирует. Это влечет за собой обычные проблемы, когда некоторые совершенно законные структуры могут случайно не существовать, и что конечный физический мир может быть недостаточно «большим», чтобы вместить некоторые в противном случае законные структуры.
Пост -рем структурализм («после вещи») является антиреалистичным по отношению к структурам в том смысле, что это параллельно номинализму . Подобно номинализму, пост-рем подход отрицает существование абстрактных математических объектов со свойствами, отличными от их места в реляционной структуре. Согласно этой точке зрения математические системы существуют и имеют общие структурные черты. Если что-то верно для структуры, это будет верно для всех систем, иллюстрирующих эту структуру. Однако говорить о структурах, «удерживаемых в общем» между системами, просто инструментально: на самом деле они не имеют независимого существования.
Теории воплощенного разума утверждают, что математическая мысль является естественным продолжением человеческого когнитивного аппарата, который находится в нашей физической вселенной. Например, абстрактная концепция числа возникает из опыта подсчета дискретных объектов (требующего человеческих чувств, таких как зрение для обнаружения объектов, осязание и сигналы от мозга). Утверждается, что математика не универсальна и не существует ни в каком реальном смысле, кроме как в человеческом мозге. Люди создают, но не открывают математику.
Когнитивные процессы поиска закономерностей и различения объектов также являются предметом нейронауки , если математика считается имеющей отношение к естественному миру (например, с точки зрения реализма или его степени, в отличие от чистого солипсизма ).
Его фактическое соответствие реальности, хотя и принятое как заслуживающее доверия приближение (также предполагается, что эволюция восприятия, тела и чувств могла быть необходима для выживания), не обязательно является точным для полного реализма (и все еще подвержено недостаткам, таким как иллюзия , предположения (следовательно; основы и аксиомы, в которых математика была сформирована людьми), обобщения, обман и галлюцинации ). Таким образом, это также может вызвать вопросы к современному научному методу на предмет его совместимости с общей математикой; поскольку, хотя он относительно надежен, он все еще ограничен тем, что может быть измерено эмпиризмом , который может быть не таким надежным, как предполагалось ранее (см. также: «контринтуитивные» концепции, такие как квантовая нелокальность и действие на расстоянии ).
Другая проблема заключается в том, что одна система счисления не обязательно применима к решению задач. Такие предметы, как комплексные числа или мнимые числа, требуют определенных изменений в более часто используемых аксиомах математики; в противном случае их невозможно адекватно понять.
В качестве альтернативы программисты могут использовать шестнадцатеричную систему счисления для ее «человечески удобного» представления двоично-кодированных значений, а не десятичную (удобную для счета, поскольку у людей десять пальцев). Аксиомы или логические правила, лежащие в основе математики, также меняются со временем (например, адаптация и изобретение нуля ).
Поскольку восприятие человеческого мозга подвержено иллюзиям , предположениям, обманам, (индуцированным) галлюцинациям , когнитивным ошибкам или предположениям в общем контексте, можно задаться вопросом, являются ли они точными или строго указывающими на истину (см. также: философия бытия ), а также природу самого эмпиризма по отношению к вселенной и является ли он независимым от чувств и вселенной.
Человеческий разум не имеет особых претензий на реальность или подходы к ней, построенные из математики. Если такие конструкции, как тождество Эйлера , верны, то они верны как карта человеческого разума и познания .
Таким образом, теоретики воплощенного разума объясняют эффективность математики: математика была создана мозгом, чтобы быть эффективной в этой вселенной.
Наиболее доступной, известной и скандальной трактовкой этой точки зрения является Where Mathematics Comes From Джорджа Лакоффа и Рафаэля Э. Нуньеса . Кроме того, математик Кейт Девлин исследовал схожие концепции в своей книге The Math Instinct , как и нейробиолог Станислас Дехане в своей книге The Number Sense . Более подробную информацию о философских идеях, вдохновивших эту точку зрения, см. в статье Cognitive science of Mathematics .
Аристотелевский реализм утверждает, что математика изучает такие свойства, как симметрия, непрерывность и порядок, которые могут быть буквально реализованы в физическом мире (или в любом другом мире, который может быть). Он контрастирует с платонизмом, утверждая, что объекты математики, такие как числа, не существуют в «абстрактном» мире, но могут быть физически реализованы. Например, число 4 реализуется в отношении между кучей попугаев и универсальным «бытием попугаем», которое делит кучу на множество попугаев. [50] [51] Аристотелевский реализм защищается Джеймсом Франклином и Сиднейской школой в философии математики и близок к точке зрения Пенелопы Мэдди , что при открытии коробки с яйцами воспринимается набор из трех яиц (то есть математическая сущность, реализованная в физическом мире). [52] Проблема для аристотелевского реализма заключается в том, какое описание дать высшим бесконечностям, которые могут быть нереализуемы в физическом мире.
Евклидова арифметика, разработанная Джоном Пенном Мэйберри в его книге «Основы математики в теории множеств » [48], также относится к аристотелевской реалистической традиции. Мэйберри, следуя Евклиду, считает числа просто «определенными множествами единиц», реализованными в природе, такими как «члены Лондонского симфонического оркестра» или «деревья в Бирнамском лесу». Существуют ли определенные множества единиц, для которых общее понятие 5 Евклида (целое больше части) не выполняется и которые, следовательно, считались бы бесконечными, для Мэйберри по сути является вопросом о Природе и не влечет за собой никаких трансцендентальных предположений.
Психологизм в философии математики — это позиция, согласно которой математические концепции и/или истины основываются на психологических фактах (или законах), выводятся из них или объясняются ими.
Джон Стюарт Милль, по-видимому, был сторонником определенного типа логического психологизма, как и многие немецкие логики 19-го века, такие как Зигварт и Эрдман, а также ряд психологов , прошлых и настоящих: например, Гюстав Лебон . Психологизм был широко раскритикован Фреге в его «Основаниях арифметики » и во многих его работах и эссе, включая его обзор «Философии арифметики » Гуссерля . Эдмунд Гуссерль в первом томе своих «Логических исследований », названном «Пролегомены чистой логики», подверг психологизм тщательной критике и стремился дистанцироваться от него. «Пролегомены» считаются более кратким, справедливым и тщательным опровержением психологизма, чем критика Фреге, и также сегодня многие считают его памятным опровержением за его решительный удар по психологизму. Психологизм также критиковали Чарльз Сандерс Пирс и Морис Мерло-Понти .
Математический эмпиризм — это форма реализма, которая отрицает, что математика может быть познана априори вообще. Он утверждает, что мы открываем математические факты путем эмпирического исследования , как и факты в любой другой науке. Это не одна из трех классических позиций, отстаиваемых в начале 20-го века, но изначально возникла в середине века. Однако важным ранним сторонником такой точки зрения был Джон Стюарт Милль . Точка зрения Милля широко критиковалась, потому что, по мнению критиков, таких как А. Дж. Айер, [53], она делает утверждения типа «2 + 2 = 4» неопределенными, условными истинами, которые мы можем узнать, только наблюдая случаи, когда две пары объединяются и образуют квартет.
Карл Поппер был еще одним философом, указавшим на эмпирические аспекты математики, отметив, что «большинство математических теорий, подобно теориям физики и биологии, являются гипотетико-дедуктивными: чистая математика, таким образом, оказывается гораздо ближе к естественным наукам, гипотезы которых являются предположениями, чем это казалось еще совсем недавно». [54] Поппер также отметил, что он «признает систему эмпирической или научной только в том случае, если ее можно проверить опытом». [55]
Современный математический эмпиризм, сформулированный У. В. О. Куайном и Хилари Патнэмом , в первую очередь поддерживается аргументом незаменимости : математика необходима для всех эмпирических наук, и если мы хотим верить в реальность явлений, описываемых науками, мы должны также верить в реальность тех сущностей, которые требуются для этого описания. То есть, поскольку физике необходимо говорить об электронах , чтобы сказать, почему лампочки ведут себя так, а не иначе, то электроны должны существовать . Поскольку физике необходимо говорить о числах, предлагая какие-либо свои объяснения, то числа должны существовать. В соответствии с общей философией Куайна и Патнэма, это натуралистический аргумент. Он утверждает существование математических сущностей как наилучшее объяснение опыта, тем самым лишая математику возможности отличаться от других наук.
Патнэм решительно отверг термин « платоник », как подразумевающий сверхконкретную онтологию , которая не была необходима для математической практики в каком-либо реальном смысле. Он отстаивал форму «чистого реализма», которая отвергала мистические представления об истине и принимала много квазиэмпиризма в математике . Это выросло из все более популярного утверждения в конце 20-го века, что ни одно основание математики не может быть когда-либо доказано. Его также иногда называют «постмодернизмом в математике», хотя этот термин некоторые считают перегруженным, а другие оскорбительным. Квазиэмпиризм утверждает, что в ходе своих исследований математики проверяют гипотезы, а также доказывают теоремы. Математический аргумент может передавать ложность от заключения к предпосылкам так же хорошо, как он может передавать истину от предпосылок к заключению. Патнэм утверждал, что любая теория математического реализма будет включать квазиэмпирические методы. Он предположил, что инопланетный вид, занимающийся математикой, мог бы в первую очередь полагаться на квазиэмпирические методы, часто отказываясь от строгих и аксиоматических доказательств, и все равно заниматься математикой — возможно, с несколько большим риском неудачи своих вычислений. Он привел подробный аргумент в пользу этого в New Directions . [56] Квазиэмпиризм также был разработан Имре Лакатосом .
Самая важная критика эмпирических взглядов на математику примерно такая же, как и та, что выдвигалась против Милля. Если математика так же эмпирична, как и другие науки, то это говорит о том, что ее результаты так же подвержены ошибкам, как и их, и так же условны. В случае Милля эмпирическое обоснование приходит напрямую, тогда как в случае Куайна оно приходит косвенно, через связность нашей научной теории в целом, т. е. согласованность по EO Wilson . Куайн предполагает, что математика кажется совершенно определенной, потому что роль, которую она играет в нашей сети убеждений, чрезвычайно центральна, и что нам было бы чрезвычайно трудно пересмотреть ее, хотя и не невозможно.
О философии математики, которая пытается преодолеть некоторые недостатки подходов Куайна и Гёделя, принимая аспекты каждого из них, см. «Реализм в математике » Пенелопы Мэдди . Другим примером реалистической теории является теория воплощенного разума.
Экспериментальные данные, свидетельствующие о том, что человеческие младенцы способны выполнять элементарные арифметические действия, см. в работе Брайана Баттерворта .
Математический фиктивизм получил известность в 1980 году, когда Хартри Филд опубликовал «Науку без чисел » [57] , в которой отверг и фактически перевернул аргумент Куайна о незаменимости. Там, где Куайн предположил, что математика необходима для наших лучших научных теорий и, следовательно, должна быть принята как совокупность истин, говорящих о независимо существующих сущностях, Филд предположил, что математика необязательна и, следовательно, должна рассматриваться как совокупность ложных утверждений, не говорящих ни о чем реальном. Он сделал это, дав полную аксиоматизацию ньютоновской механики без какой-либо ссылки на числа или функции вообще. Он начал с «промежуточности» аксиом Гильберта , чтобы охарактеризовать пространство без его координации, а затем добавил дополнительные отношения между точками, чтобы выполнить работу, ранее выполнявшуюся векторными полями . Геометрия Гильберта является математической, потому что она говорит об абстрактных точках, но в теории Филда эти точки являются конкретными точками физического пространства, поэтому вообще не нужны никакие специальные математические объекты.
Показав, как заниматься наукой без использования чисел, Филд приступил к реабилитации математики как вида полезной фикции . Он показал, что математическая физика является консервативным расширением его нематематической физики (то есть каждый физический факт, доказуемый в математической физике, уже доказуем из системы Филда), так что математика является надежным процессом, физические приложения которого все истинны, даже если ее собственные утверждения ложны. Таким образом, занимаясь математикой, мы можем видеть себя рассказывающими своего рода историю, говорящими так, как будто числа существуют. Для Филда утверждение типа «2 + 2 = 4» является таким же вымышленным, как « Шерлок Холмс жил по адресу Бейкер-стрит, 221Б» — но оба являются истинными согласно соответствующим вымыслам.
Другая писательница, Мэри Ленг , кратко выражает эту точку зрения, отвергая любую кажущуюся связь между математикой и физическим миром как «счастливое совпадение». Это отвержение отделяет фикционализм от других форм антиреализма, которые рассматривают математику как искусственную, но все же ограниченную или приспособленную к реальности в некотором роде. [58]
Согласно этому описанию, нет никаких метафизических или эпистемологических проблем, характерных для математики. Единственные опасения, которые остались, — это общие опасения по поводу нематематической физики и художественной литературы в целом. Подход Филда был очень влиятельным, но широко отвергнут. Это отчасти из-за необходимости сильных фрагментов логики второго порядка для осуществления его редукции, а также потому, что утверждение о консервативности, по-видимому, требует квантификации по абстрактным моделям или выводам. [ необходима цитата ]
Социальный конструктивизм рассматривает математику в первую очередь как социальную конструкцию , как продукт культуры, подлежащий исправлению и изменению. Как и другие науки, математика рассматривается как эмпирическое начинание, результаты которого постоянно оцениваются и могут быть отброшены. Однако, в то время как с точки зрения эмпирика оценка является своего рода сравнением с «реальностью», социальные конструктивисты подчеркивают, что направление математических исследований диктуется модой социальной группы, ее выполняющей, или потребностями общества, его финансирующего. Однако, хотя такие внешние силы могут изменить направление некоторых математических исследований, существуют сильные внутренние ограничения — математические традиции, методы, проблемы, смыслы и ценности, в которые инкультурированы математики, — которые работают над сохранением исторически определенной дисциплины.
Это противоречит традиционным убеждениям работающих математиков, что математика каким-то образом чиста или объективна. Но социальные конструктивисты утверждают, что математика на самом деле основана на большой неопределенности: по мере развития математической практики статус предыдущей математики подвергается сомнению и корректируется в той степени, в которой это требуется или желательно для нынешнего математического сообщества. Это можно увидеть в развитии анализа от переосмысления исчисления Лейбница и Ньютона. Они также утверждают, что законченной математике часто придается слишком большой статус, а народной математике — недостаточно, из-за чрезмерного акцента на аксиоматическом доказательстве и экспертной оценке как практиках.
Социальная природа математики подчеркивается в ее субкультурах . Крупные открытия могут быть сделаны в одной отрасли математики и иметь отношение к другой, однако эта связь остается нераскрытой из-за отсутствия социальных контактов между математиками. Социальные конструктивисты утверждают, что каждая специальность формирует свое собственное эпистемическое сообщество и часто испытывает большие трудности в общении или мотивации исследования объединяющих гипотез , которые могли бы связывать различные области математики. Социальные конструктивисты рассматривают процесс «занятия математикой» как фактическое создание смысла, в то время как социальные реалисты видят недостаток либо человеческой способности к абстрагированию, либо когнитивных предубеждений человека, либо коллективного интеллекта математиков как препятствующий пониманию реальной вселенной математических объектов. Социальные конструктивисты иногда отвергают поиск основ математики как обреченный на неудачу, как бессмысленный или даже бессмысленный.
Вклад в эту школу внесли Имре Лакатос и Томас Тимочко , хотя неясно, одобрили ли бы они это название. [ необходимо разъяснение ] Совсем недавно Пол Эрнест явно сформулировал социальную конструктивистскую философию математики. [59] Некоторые считают, что работа Пола Эрдёша в целом продвинула эту точку зрения (хотя он лично отвергал её) из-за его уникально широкого сотрудничества, которое побудило других рассматривать и изучать «математику как социальную деятельность», например, через число Эрдёша . Рубен Херш также продвигал социальный взгляд на математику, называя его «гуманистическим» подходом, [60] похожим, но не совсем таким, как тот, который ассоциируется с Элвином Уайтом; [61] один из соавторов Херша, Филип Дж. Дэвис , также выразил симпатию к социальному взгляду.
Вместо того, чтобы сосредоточиться на узких дебатах об истинной природе математической истины или даже на практиках, уникальных для математиков, таких как доказательство , растущее движение с 1960-х по 1990-е годы начало подвергать сомнению идею поиска оснований или нахождения какого-либо единственного правильного ответа на вопрос, почему математика работает. Отправной точкой для этого стала знаменитая статья Юджина Вигнера 1960 года « Необоснованная эффективность математики в естественных науках », в которой он утверждал, что счастливое совпадение математики и физики, которые так хорошо сочетаются, кажется необоснованным и труднообъяснимым.
Реалистические и конструктивистские теории обычно считаются противоположными. Однако Карл Поппер [62] утверждал, что числовое утверждение, такое как «2 яблока + 2 яблока = 4 яблока», можно понимать в двух смыслах. В одном смысле оно неопровержимо и логически верно. Во втором смысле оно фактически верно и фальсифицируемо. Другой способ выразить это — сказать, что одно числовое утверждение может выражать два предложения: одно из которых можно объяснить с точки зрения конструктивизма, а другое — с точки зрения реализма. [63]
Инновации в философии языка в 20 веке возобновили интерес к тому, является ли математика, как часто говорят, [ нужна цитата ] языком науки. Хотя некоторые [ кто? ] математики и философы приняли бы утверждение «математика — это язык» (большинство считают, что язык математики — это часть математики, к которой математика не может быть сведена), [ нужна цитата ] лингвисты [ кто? ] считают, что необходимо учитывать последствия такого утверждения. Например, инструменты лингвистики, как правило , не применяются к символьным системам математики, то есть математика изучается заметно иначе, чем другие языки. Если математика — это язык, то это другой тип языка, нежели естественные языки . Действительно, из-за необходимости ясности и конкретности язык математики гораздо более ограничен, чем естественные языки, изучаемые лингвистами. Однако методы, разработанные Фреге и Тарским для изучения математического языка, были значительно расширены учеником Тарского Ричардом Монтегю и другими лингвистами, работающими в области формальной семантики, чтобы показать, что различие между математическим языком и естественным языком может быть не таким уж большим, как кажется.
Мохан Ганесалингам проанализировал математический язык, используя инструменты формальной лингвистики. [64] Ганесалингам отмечает, что некоторые особенности естественного языка не являются необходимыми при анализе математического языка (например, время ), но многие из тех же аналитических инструментов могут быть использованы (например, контекстно-свободные грамматики ). Одно важное отличие состоит в том, что математические объекты имеют четко определенные типы , которые могут быть явно определены в тексте: «Фактически, нам разрешено вводить слово в одну часть предложения и объявлять его часть речи в другой; и эта операция не имеет аналога в естественном языке». [64] : 251
Этот аргумент, связанный с Уиллардом Куайном и Хилари Патнэмом , Стивен Ябло считает одним из самых сложных аргументов в пользу принятия существования абстрактных математических сущностей, таких как числа и множества. [65] Форма аргумента такова.
Обоснование первой посылки является наиболее спорным. И Патнэм, и Куайн ссылаются на натурализм , чтобы оправдать исключение всех ненаучных сущностей, и, следовательно, защитить «единственную» часть «всех и только». Утверждение, что «все» сущности, постулируемые в научных теориях, включая числа, должны быть приняты как реальные, оправдывается подтверждающим холизмом . Поскольку теории подтверждаются не по частям, а как единое целое, нет никаких оправданий для исключения любой из сущностей, упомянутых в хорошо подтвержденных теориях. Это ставит номиналиста , который хочет исключить существование множеств и неевклидовой геометрии , но включить существование кварков и других необнаружимых сущностей физики, например, в трудное положение. [66]
Антиреалистический « эпистемический аргумент» против платонизма был выдвинут Полом Бенацеррафом и Хартри Филдом . Платонизм утверждает , что математические объекты являются абстрактными сущностями. По общему мнению, абстрактные сущности не могут причинно взаимодействовать с конкретными физическими сущностями («истинностные значения наших математических утверждений зависят от фактов, включающих платоновские сущности, которые находятся в сфере за пределами пространства-времени» [67] ). В то время как наше знание конкретных физических объектов основано на нашей способности воспринимать их и, следовательно, причинно взаимодействовать с ними, нет параллельного описания того, как математики приходят к знанию абстрактных объектов. [68] [69] [70] Другой способ выразить эту мысль заключается в том, что если бы мир Платона исчез, это не имело бы никакого значения для способности математиков генерировать доказательства и т. д., что уже полностью объясняется с точки зрения физических процессов в их мозге.
Филд развил свои взгляды в фикционализм. Бенацерраф также разработал философию математического структурализма , согласно которой не существует математических объектов. Тем не менее, некоторые версии структурализма совместимы с некоторыми версиями реализма.
Аргумент основан на идее, что удовлетворительное натуралистическое описание мыслительных процессов в терминах мозговых процессов может быть дано для математических рассуждений вместе со всем остальным. Одна линия защиты — утверждать, что это ложно, так что математические рассуждения используют некую особую интуицию , которая включает контакт с платоновским царством. Современная форма этого аргумента дана сэром Роджером Пенроузом . [71]
Другая линия защиты заключается в утверждении, что абстрактные объекты имеют отношение к математическим рассуждениям некаузальным образом и не аналогично восприятию. Этот аргумент развивает Джерролд Кац в своей книге 2000 года «Реалистичный рационализм» .
Более радикальная защита — отрицание физической реальности, т. е. гипотеза математической вселенной . В этом случае знание математиком математики — это один математический объект, вступающий в контакт с другим.
Многие практикующие математики были привлечены к своему предмету из-за чувства красоты, которое они в нем ощущали. Иногда можно услышать мнение, что математики хотели бы оставить философию философам и вернуться к математике, где, по-видимому, и находится красота.
В своей работе о божественной пропорции Х. Э. Хантли связывает чувство чтения и понимания чьего-либо доказательства теоремы математики с чувством зрителя шедевра искусства — читатель доказательства испытывает такое же чувство восторга от понимания, как и первоначальный автор доказательства, во многом так же, как, утверждает он, зритель шедевра испытывает чувство восторга, похожее на чувство восторга оригинального художника или скульптора. Действительно, можно изучать математические и научные труды как литературу .
Филип Дж. Дэвис и Рубен Херш отметили, что чувство математической красоты универсально среди практикующих математиков. В качестве примера они приводят два доказательства иррациональности √ 2 . Первое — это традиционное доказательство от противного , приписываемое Евклиду ; второе — более прямое доказательство, включающее фундаментальную теорему арифметики , которая, как они утверждают, затрагивает суть вопроса. Дэвис и Херш утверждают, что математики находят второе доказательство более эстетически привлекательным, поскольку оно приближается к природе проблемы.
Пол Эрдёш был хорошо известен своей идеей гипотетической «Книги», содержащей самые элегантные или красивые математические доказательства. Не существует всеобщего согласия относительно того, что результат имеет одно «самое элегантное» доказательство; Грегори Хайтин выступал против этой идеи.
Философы иногда критиковали математическое чувство красоты или элегантности, как в лучшем случае неопределенно выраженное. Однако, по той же причине, философы математики пытались охарактеризовать то, что делает одно доказательство более желательным, чем другое, когда оба логически обоснованы.
Другим аспектом эстетики, касающимся математики, являются взгляды математиков на возможное использование математики в целях, которые считаются неэтичными или ненадлежащими. Наиболее известное изложение этой точки зрения содержится в книге GH Hardy «A Mathematician's Apology» , в которой Харди утверждает, что чистая математика превосходит по красоте прикладную математику именно потому, что ее нельзя использовать для войны и подобных целей.
