Иррациональное число

Число, не являющееся отношением целых чисел

Число √ 2 иррационально.

В математике иррациональные числа (от приставки in- , ассимилируемой до ir- (отрицательная приставка, приватив ) + рациональное) — это все действительные числа , не являющиеся рациональными числами . То есть иррациональные числа не могут быть выражены как отношение двух целых чисел . Когда отношение длин двух отрезков линии является иррациональным числом, отрезки линии также описываются как несоизмеримые , то есть у них нет общей «меры», то есть нет ни длины («меры»), ни длины. независимо от того, насколько он короткий, его можно использовать для выражения длин обоих данных сегментов как целых чисел, кратных самому себе.

Среди иррациональных чисел — отношение π длины окружности к ее диаметру, число Эйлера e , золотое сечение φ и квадратный корень из двух . ^[1] Фактически, все квадратные корни из натуральных чисел , кроме полных квадратов , иррациональны. ^[2]

Как и все действительные числа, иррациональные числа могут быть выражены в позиционных обозначениях , особенно в виде десятичных чисел. В случае иррациональных чисел десятичное разложение не заканчивается и не заканчивается повторяющейся последовательностью . Например, десятичное представление числа π начинается с 3,14159, но никакое конечное число цифр не может точно представлять число π и не повторяется. И наоборот, десятичное расширение, которое заканчивается или повторяется, должно быть рациональным числом. Это доказуемые свойства рациональных чисел и позиционных систем счисления, которые не используются в качестве определений в математике.

Иррациональные числа также можно выразить в виде бесконечных непрерывных дробей и многими другими способами.

Из доказательства Кантора несчетности действительных чисел и счетности рациональных чисел следует, что почти все действительные числа иррациональны. ^[3]

История

Набор действительных чисел (R), включающих рациональные числа (Q), включающих целые числа (Z), включающих натуральные числа (N). Действительные числа включают также иррациональные (R\Q).

Древняя Греция

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывают пифагорейцу ( возможно, Гиппасу из Метапонта ), ^[4] который, вероятно, открыл их при определении сторон пентаграммы . ^[5] Существующий в то время метод Пифагора утверждал, что должна быть какая-то достаточно маленькая, неделимая единица, которая могла бы равномерно вписаться как в одну из этих длин, так и в другую. Гиппас в V веке до нашей эры, однако, смог прийти к выводу, что не существует общей единицы измерения и что утверждение о таком существовании является противоречием. Он сделал это, продемонстрировав, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника действительно соизмерима с катетом, то одна из длин, измеренных в этой единице измерения, должна быть одновременно нечетной и четной, что невозможно. Его рассуждения таковы:

• Начните с равнобедренного прямоугольного треугольника с длинами сторон целых чисел a , b и c . Отношение гипотенузы к катету обозначается как c : b .
• Предположим, что a , b и c представлены в наименьших возможных размерах ( т.е. у них нет общих множителей).
• По теореме Пифагора : c ² знак равно а ² + b ² знак равно b ² + b ² знак равно 2 b ² . (Поскольку треугольник равнобедренный, a = b ).
• Поскольку c ² = 2 b ² , c ² делится на 2 и, следовательно, четно.
• Поскольку c ² четно, c должно быть четным.
• Поскольку c четно, деление c на 2 дает целое число. Пусть y будет этим целым числом ( c = 2 y ).
• Возведение в квадрат обеих частей c = 2 y дает c ² = (2 y ) ² , или c ² = 4 y ² .
• Подстановка 4 y ² на c ² в первом уравнении ( c ² = 2 b ² ) дает нам 4 y ² = 2 b ² .
• Деление на 2 дает 2 y ² = b ² .
• Поскольку y — целое число и 2 y ² = b ² , b ² делится на 2 и, следовательно, четно.
• Поскольку b ² четно, b должно быть четным.
• Мы только что показали, что b и c должны быть четными. Следовательно, у них есть общий делитель, равный 2. Однако это противоречит предположению, что у них нет общих делителей. Это противоречие доказывает, что c и b не могут быть одновременно целыми числами и, следовательно, существование числа, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел. ^[6]

Греческие математики называли это соотношение несоизмеримых величин alogos , или невыразимым. Гиппаса, однако, не хвалили за его усилия: согласно одной легенде, он сделал свое открытие, находясь в море, и впоследствии был выброшен за борт своими собратьями-пифагорейцами «за то, что создал во вселенной элемент, который отрицал... доктрину». что все явления во Вселенной можно свести к целым числам и их отношениям». ^[7] Другая легенда гласит, что Гиппас был просто сослан за это откровение. Какими бы ни были последствия для самого Гиппаса, его открытие поставило очень серьезную проблему для пифагорейской математики, поскольку разрушило представление о нераздельности чисел и геометрии; основу их теории.

Открытие несоизмеримых отношений указывало на еще одну проблему, стоявшую перед греками: отношение дискретного к непрерывному. Это было обнаружено Зеноном Элейским , который поставил под сомнение концепцию, согласно которой величины дискретны и состоят из конечного числа единиц заданного размера. Предыдущие греческие концепции диктовали, что они обязательно должны быть таковыми, поскольку «целые числа представляют собой дискретные объекты, а соизмеримое соотношение представляет собой отношение между двумя совокупностями дискретных объектов» ^[8] , но Зенон обнаружил, что на самом деле «[количества] в целом не являются дискретные совокупности единиц; вот почему появляются отношения несоизмеримых [количеств]... .[Q]величины, другими словами, непрерывны». ^[8] Это означает, что, вопреки популярному в то время представлению, не может быть неделимой, наименьшей единицы измерения какой-либо величины. Фактически, эти количественные деления обязательно должны быть бесконечными . Например, рассмотрим отрезок линии: этот отрезок можно разделить пополам, ту половину разделить пополам, половину половины пополам и так далее. Этот процесс может продолжаться бесконечно, поскольку всегда остается еще одна половина, которую нужно разделить. Чем больше раз отрезок делится пополам, тем ближе единица измерения приближается к нулю, но она никогда не достигает точного нуля. Именно это и стремился доказать Зенон. Он стремился доказать это, сформулировав четыре парадокса , демонстрировавшие противоречия, присущие математической мысли того времени. Хотя парадоксы Зенона точно продемонстрировали недостатки современных математических концепций, они не рассматривались как доказательство альтернативы. По мнению греков, опровержение обоснованности одной точки зрения не обязательно доказывало обоснованность другой, и поэтому необходимо было провести дальнейшее исследование.

Следующий шаг был сделан Евдоксом Книдским , который формализовал новую теорию пропорций, учитывающую как соизмеримые, так и несоизмеримые величины. Центральным в его идее было различие между величиной и числом. Величина «...не была числом, а обозначала такие сущности, как отрезки линий, углы, площади, объемы и время, которые могли меняться, как мы бы сказали, непрерывно. Величины противопоставлялись числам, которые прыгали от одного значения к другому». другой, от 4 до 5". ^[9] Числа состоят из какой-то мельчайшей неделимой единицы, тогда как величины бесконечно уменьшаемы. Поскольку величинам не было присвоено никаких количественных значений, Евдокс смог объяснить как соизмеримые, так и несоизмеримые отношения, определив отношение через его величину, а пропорцию - как равенство между двумя отношениями. Исключив из уравнения количественные значения (числа), он избежал ловушки, заключающейся в необходимости выражать иррациональное число как число. «Теория Евдокса позволила греческим математикам добиться огромного прогресса в геометрии, предоставив необходимое логическое обоснование для несоизмеримых отношений». ^[10] Эта несоизмеримость рассматривается в «Началах» Евклида, книга X, предложение 9. Лишь когда Евдокс разработал теорию пропорций, которая принимала во внимание как иррациональные, так и рациональные отношения, была создана прочная математическая основа иррациональных чисел. ^[11]

В результате различения числа и величины геометрия стала единственным методом, способным учитывать несоизмеримые отношения. Поскольку предыдущие численные основы все еще были несовместимы с концепцией несоизмеримости, греческое внимание сместилось с числовых концепций, таких как алгебра, и сосредоточилось почти исключительно на геометрии. Фактически, во многих случаях алгебраические концепции были переформулированы в геометрические термины. Это может объяснить, почему мы до сих пор представляем себе х ² и х ³ как х в квадрате и х в кубе вместо х во второй степени и х в третьей степени. В работе Зенона, посвященной несоизмеримым масштабам, также решающее значение имело фундаментальное внимание к дедуктивным рассуждениям, возникшее в результате фундаментального разрушения ранней греческой математики. Осознание того, что некоторые основные концепции существующей теории расходятся с реальностью, потребовало полного и тщательного исследования аксиом и предположений, лежащих в основе этой теории. Из-за этой необходимости Евдокс разработал свой метод исчерпания , своего рода доведение до абсурда, который «...установил дедуктивную организацию на основе явных аксиом...», а также «...подкрепил ранее принятое решение полагаться на о дедуктивном рассуждении для доказательства». ^[12] Этот метод исчерпывания является первым шагом в создании исчисления.

Теодор Киренский доказал иррациональность целых чисел до 17, но остановился на этом, вероятно, потому, что использованная им алгебра не могла быть применена к квадратному корню из 17. ^[13]

Индия

Геометрические и математические проблемы, связанные с иррациональными числами, такими как квадратные корни, были решены очень рано, в ведический период в Индии. Ссылки на подобные расчеты есть в Самхитах , Брахманах и Шулба-сутрах (800 г. до н. э. или ранее). (См. Бэг, Индийский журнал истории науки, 25(1-4), 1990).

Предполагается, что концепция иррациональности была неявно принята индийскими математиками с VII века до нашей эры, когда Манава (ок. 750–690 до н.э.) считал, что квадратные корни таких чисел, как 2 и 61, не могут быть точно определены. ^[14] Историк Карл Бенджамин Бойер , однако, пишет, что «такие утверждения недостаточно обоснованы и вряд ли правдивы». ^[15]

Позже в своих трактатах индийские математики писали об арифметике иррационных чисел, включая сложение, вычитание, умножение, рационализацию, а также разделение и извлечение квадратных корней. ^[16]

Такие математики, как Брахмагупта (в 628 году нашей эры) и Бхаскара I (в 629 году нашей эры), внесли вклад в эту область, как и другие математики, последовавшие за ними. В XII веке Бхаскара II оценил некоторые из этих формул и раскритиковал их, определив их ограничения.

В период с 14 по 16 века Мадхава из Сангамаграмы и школа астрономии и математики Кералы открыли бесконечный ряд для нескольких иррациональных чисел, таких как π , и некоторых иррациональных значений тригонометрических функций . Джйештхадева предоставил доказательства этих бесконечных серий в «Юктибхаше» . ^[17]

Средний возраст

В средние века развитие алгебры мусульманскими математиками позволило рассматривать иррациональные числа как алгебраические объекты . ^[18] Математики Ближнего Востока также объединили понятия « число » и « величина » в более общее представление о действительных числах , раскритиковали идею Евклида о пропорциях , разработали теорию сложных отношений и распространили понятие числа на отношения непрерывных чисел. величина. ^[19] В своем комментарии к Книге 10 «Элементов» персидский математик Аль - Махани (ум. 874/884) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные и кубические иррациональные числа. Он дал определения рациональным и иррациональным величинам, которые рассматривал как иррациональные числа. Он имел с ними дело свободно, но объяснял их в геометрических терминах следующим образом: ^[19]

«Она будет рациональной (величиной), когда мы, например, скажем 10, 12, 3%, 6% и т. д., потому что ее значение ярко выражено и выражено количественно. То, что не рационально, то иррационально, и выговорить его невозможно. и представлять его значение количественно. Например: корни чисел, таких как 10, 15, 20, которые не являются квадратами, стороны чисел, которые не являются кубами и т. д. »

В отличие от концепции Евклида о величинах как о линиях, Аль-Махани считал целые и дробные числа рациональными величинами, а квадратные и кубические корни - иррациональными величинами. Он также ввел арифметический подход к понятию иррациональности, приписывая иррациональным величинам следующее: ^[19]

«их суммы или разности, или результаты их сложения с разумной величиной, или результаты вычитания такого рода величины из иррациональной, или разумной величины из нее».

Египетский математик Абу Камил Шуджа ибн Аслам (ок. 850–930) был первым, кто принял иррациональные числа в качестве решений квадратных уравнений или в качестве коэффициентов в уравнении , часто в форме квадратных корней, кубических корней и корней четвертой степени . ^[20] В 10 веке иракский математик Аль-Хашими предоставил общие доказательства (а не геометрические демонстрации) иррациональных чисел, рассматривая умножение, деление и другие арифметические функции. ^[19] Иранский математик Абу Джафар аль-Хазин (900–971) дает определение рациональных и иррациональных величин, утверждая, что если определенная величина : ^[19]

«содержится в некоторой данной величине один или много раз, то эта (данная) величина соответствует рациональному числу... Каждый раз эта (последняя) величина составляет половину, треть или четверть данной величины (из единица), или, по сравнению с (единицей), содержит три, пять или три пятых, то это разумная величина, и вообще каждая величина, соответствующая этой величине (т. е. единице ), как одна Если же величина не может быть представлена ​​кратным, частью (1/ n ) или частями ( m / n ) данной величины, то она иррациональна, т. е. не может быть выражена другим чем посредством корней».

Многие из этих концепций в конечном итоге были приняты европейскими математиками спустя некоторое время после латинских переводов XII века . Аль-Хассар , марокканский математик из Феса , специализирующийся на исламском наследовании в XII веке, впервые упоминает использование дробной черты, где числители и знаменатели разделены горизонтальной чертой. В своем рассуждении он пишет: «..., например, если вам велят написать три пятых и треть пятой, напишите так: ». ^[21] То же самое дробное обозначение появляется вскоре после этого в работах Леонардо Фибоначчи в 13 веке. ^[22] ${\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}$

Современный период

В 17 веке мнимые числа стали мощным инструментом в руках Авраама де Муавра и особенно Леонарда Эйлера . Завершение теории комплексных чисел в XIX веке повлекло за собой дифференциацию иррациональных чисел на алгебраические и трансцендентные числа , доказательство существования трансцендентных чисел и возрождение научного изучения теории иррациональных чисел, во многом игнорировавшегося со времен Евклида . В 1872 году были опубликованы теории Карла Вейерштрасса (его ученика Эрнста Коссака), Эдуарда Гейне ( «Журнал Крелля» , 74), Георга Кантора («Аннален», 5) и Рихарда Дедекинда . Мерэ взял в 1869 году ту же отправную точку, что и Гейне, но теорию обычно относят к 1872 году. Метод Вейерштрасса был полностью изложен Сальваторе Пинчерле в 1880 году ^[23] , а метод Дедекинда получил дополнительную известность благодаря более поздним работам автора. работа (1888 г.) и одобрение Пола Таннери (1894 г.). Вейерштрасс, Кантор и Гейне основывают свои теории на бесконечных рядах, а Дедекинд — на идее разреза (Шнитта) в системе всех рациональных чисел , разделяющего их на две группы, обладающие определёнными характеристическими свойствами. Эта тема получила более поздний вклад от рук Вейерштрасса, Леопольда Кронекера (Crelle, 101) и Шарля Мере .

Непрерывные дроби , тесно связанные с иррациональными числами (и благодаря Катальди, 1613 г.), привлекли внимание Эйлера, а в начале XIX века стали известны благодаря трудам Жозефа-Луи Лагранжа . Дирихле также внес свой вклад в общую теорию, как и многочисленные исследователи, внесшие вклад в применение этого предмета.

Иоганн Генрих Ламберт доказал (1761 г.), что π не может быть рациональным и что en иррационально, ^если n рационально ( если только n  = 0). ^[24] Хотя доказательство Ламберта часто называют неполным, современные оценки подтверждают его как удовлетворительное, и фактически для своего времени оно необычайно строгое. Адриен-Мари Лежандр (1794), после введения функции Бесселя-Клиффорда , предоставил доказательство того, что π ² иррационально, откуда сразу следует, что π также иррационально. Существование трансцендентных чисел впервые было установлено Лиувиллем (1844, 1851). Позже Георг Кантор (1873) доказал их существование другим методом , который показал, что каждый интервал действительных чисел содержит трансцендентные числа. Чарльз Эрмит (1873) впервые доказал трансцендентность е , а Фердинанд фон Линдеман (1882), исходя из выводов Эрмита, показал то же самое для π. Доказательство Линдеманна было значительно упрощено Вейерштрассом (1885 г.), еще больше Дэвидом Гильбертом (1893 г.) и, наконец, стало элементарным Адольфом Гурвицем ^{[ нужна цитация ]} и Полом Горданом . ^[25]

Примеры

Квадратные корни

Квадратный корень из 2, вероятно, был первым числом, оказавшимся иррациональным. ^[26] Золотое сечение – еще одно известное квадратичное иррациональное число. Квадратные корни всех натуральных чисел, которые не являются точными квадратами, иррациональны, и доказательство можно найти в квадратичных иррациональных числах .

Общие корни

Приведенное выше доказательство квадратного корня из двух ^{( необходимы пояснения ) можно обобщить, используя} фундаментальную теорему арифметики . Это утверждает, что каждое целое число имеет уникальную разложение на простые числа. Используя его, мы можем показать, что если рациональное число не является целым числом, то никакая его целая степень не может быть целым числом, поскольку в самых простых терминах в знаменателе должно быть простое число , которое не делит на числитель, какую бы степень каждое из них ни возводили в степень. . Следовательно, если целое число не является точной k- й степенью другого целого числа, то k- й корень этого первого целого числа иррационален.

Логарифмы

Возможно, иррациональность чисел, которые легче всего доказать, — это определенные логарифмы . Вот доказательство от противного , что log ₂  3 иррационально (log ₂  3 ≈ 1,58 > 0).

Предположим, что log ₂  3 рационален. Для некоторых натуральных чисел m и n мы имеем

${\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}.}$

Следует, что

${\displaystyle 2^{m/n}=3}$

${\displaystyle (2^{m/n})^{n}=3^{n}}$

${\displaystyle 2^{m}=3^{n}.}$

Число 2, возведенное в любую положительную целую степень, должно быть четным (поскольку оно делится на 2), а число 3, возведенное в любую положительную целую степень, должно быть нечетным (поскольку ни один из его простых множителей не будет равен 2). Ясно, что целое число не может быть одновременно нечетным и четным: мы имеем противоречие. Единственное предположение, которое мы сделали, заключалось в том, что log ₂  3 является рациональным (и поэтому выражается как частное целых чисел m / n с n  ≠ 0). Противоречие означает, что это предположение должно быть ложным, т.е. log ₂  3 иррационально и никогда не может быть выражено как частное целых чисел m / n с n  ≠ 0.

Такие случаи, как log ₁₀  2, можно рассматривать аналогично.

Типы

• Теоретико-числовое различие: трансцендентное / алгебраическое
• нормальный / ненормальный (ненормальный)

Трансцендентальный/алгебраический

Почти все иррациональные числа трансцендентны , и все действительные трансцендентные числа иррациональны (есть также комплексные трансцендентные числа): в статье о трансцендентных числах приведено несколько примеров. Таким образом, e ^r и π ^r иррациональны для всех ненулевых рациональных  r , и, например, e ^π  тоже иррационально.  

Иррациональные числа также можно найти в счетном множестве действительных алгебраических чисел (по сути, определяемых как действительные корни многочленов с целыми коэффициентами), т.е. как действительные решения полиномиальных уравнений .

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\;,}$

где коэффициенты являются целыми числами и . _Любой рациональный корень этого полиномиального _{уравнения} должен иметь форму r / s , где r — делитель a 0 , а s — делитель n . Если действительный корень многочлена не входит в число этих конечного числа возможностей, это должно быть иррациональное алгебраическое число. Примером доказательства существования таких алгебраических иррациональных чисел является показ того, что x ₀  = (2 ^1/2  + 1) ^1/3 является иррациональным корнем многочлена с целыми коэффициентами: он удовлетворяет условию ( x ³  − 1) ² = 2 и, следовательно, x ⁶  - 2 x ³  - 1 = 0, и этот последний полином не имеет рациональных корней (единственные кандидаты, которые нужно проверить, - это ±1, а  x ₀ , будучи больше 1, не является ни одним из них), поэтому  x ₀ является иррациональное алгебраическое число. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle p}$

Поскольку алгебраические числа образуют подполе действительных чисел, многие иррациональные действительные числа могут быть построены путем объединения трансцендентных и алгебраических чисел. Например, 3 π  + 2, π  +  √ 2 и e √ 3 иррациональны (и даже трансцендентны).

Десятичные расширения

Десятичное разложение иррационального числа никогда не повторяется и не заканчивается (последнее эквивалентно повторяющимся нулям), в отличие от любого рационального числа. То же самое верно для двоичных , восьмеричных или шестнадцатеричных расширений и вообще для расширений во всех позиционных обозначениях с натуральными основаниями.

Чтобы показать это, предположим, что мы разделили целые числа n на m (где m не равно нулю). Когда к делению n на m применяется длинное деление , остаток никогда не может быть больше или равен m . Если в остатке появляется 0, десятичное разложение прекращается. Если 0 никогда не встречается, то алгоритм может выполнить не более m − 1 шагов, не используя остаток более одного раза. После этого должен повториться остаток, а затем повторяется десятичное разложение.

И наоборот, предположим, что мы столкнулись с повторяющейся десятичной дробью , мы можем доказать, что она является дробью двух целых чисел. Например, рассмотрим:

${\displaystyle A=0.7\,162\,162\,162\,\ldots }$

Здесь повторение равно 162, а длина повторения равна 3. Сначала мы умножаем на соответствующую степень 10, чтобы переместить десятичную точку вправо так, чтобы она находилась прямо перед повторением. В этом примере мы умножим на 10, чтобы получить:

${\displaystyle 10A=7.162\,162\,162\,\ldots }$

Теперь умножим это уравнение на 10 ^r , где r — длина повторения. Это приводит к перемещению десятичной точки перед «следующим» повторением. В нашем примере умножьте на 10 ³ :

${\displaystyle 10,000A=7\,162.162\,162\,\ldots }$

Результат двух умножений дает два разных выражения с одинаковой «десятичной частью», то есть хвостовой конец 10 000 А точно соответствует хвостовому концу 10 А. Здесь и 10 000 А , и 10 А имеют 0,162 162 162 ... после запятой.

Следовательно, когда мы вычитаем уравнение 10 А из уравнения 10 000 А , последний конец 10 А компенсирует хвостовой конец 10 000 А , оставляя нас:

${\displaystyle 9990A=7155.}$

Затем

${\displaystyle A={\frac {7155}{9990}}={\frac {53}{74}}}$

представляет собой отношение целых чисел и, следовательно, является рациональным числом.

Иррациональные силы

Дов Жарден дал простое неконструктивное доказательство того, что существуют два иррациональных числа a и b , такие что a ^b рационально: ^[27]

Рассмотрим √ 2 ^{√ 2} ; если это рационально, то возьмем a = b = √ 2 . В противном случае примите a иррациональное число √ 2 ^{√ 2} и b = √ 2 . Тогда a ^b = ( √ 2 ^{√ 2} ) ^{√ 2} = √ 2 ^{√ 2 · √ 2} = √ 2 ² = 2, что рационально.

Хотя приведенный выше аргумент не делает выбора между этими двумя случаями, теорема Гельфонда – Шнайдера показывает, что √ 2 ^{√ 2} трансцендентно , а значит , иррационально. Эта теорема утверждает, что если a и b являются алгебраическими числами , a не равно 0 или 1, а b не является рациональным числом, то любое значение a ^b является трансцендентным числом (может быть более одного значения, если используется возведение в степень комплексного числа ).

Примером, дающим простое конструктивное доказательство, является ^[28]

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}\right)^{\log _{\sqrt {2}}3}=3.}$

Основание левой части иррационально, а правая часть рациональна, поэтому необходимо доказать, что показатель степени в левой части иррационален. Это происходит потому, что по формуле, связывающей логарифмы с разными основаниями, ${\displaystyle \log _{\sqrt {2}}3}$

${\displaystyle \log _{\sqrt {2}}3={\frac {\log _{2}3}{\log _{2}{\sqrt {2}}}}={\frac {\log _{2}3}{1/2}}=2\log _{2}3}$

который мы можем предположить, ради установления противоречия , равным отношению m/n натуральных чисел. Тогда следовательно следовательно следовательно , ​​что является противоречивой парой простых факторизаций и, следовательно, нарушает фундаментальную теорему арифметики (единственная простая факторизация). ${\displaystyle \log _{2}3=m/2n}$ ${\displaystyle 2^{\log _{2}3}=2^{m/2n}}$ ${\displaystyle 3=2^{m/2n}}$ ${\displaystyle 3^{2n}=2^{m}}$

Более сильный результат следующий: ^[29] Каждое рациональное число в интервале можно записать либо как a ^a для некоторого иррационального числа a , либо как n ⁿ для некоторого натурального числа n . Аналогично ^[29] каждое положительное рациональное число может быть записано либо как для некоторого иррационального числа a , либо как для некоторого натурального числа n . ${\displaystyle ((1/e)^{1/e},\infty )}$ ${\displaystyle a^{a^{a}}}$ ${\displaystyle n^{n^{n}}}$

Открытые вопросы

Неизвестно, является ли (или ) иррациональным. На самом деле не существует пары ненулевых целых чисел , для которой известно, является ли она иррациональной. Более того, неизвестно, является ли множество алгебраически независимым над . ${\displaystyle \pi +e}$ ${\displaystyle \pi -e}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle m\pi +ne}$ ${\displaystyle \{\pi ,e\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Неизвестно, иррациональны ли константа Каталана или константа Эйлера-Машерони . ^[30] Неизвестно, является ли какая-либо из тетраций рациональным для некоторого ^{целого числа .} ${\displaystyle \pi e,\ \pi /e,\ \pi ^{e},\ \pi ^{\sqrt {2}},\ \ln \pi ,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle ^{n}\pi }$ ${\displaystyle ^{n}e}$ ${\displaystyle n>1.}$

В конструктивной математике

В конструктивной математике исключенное среднее недействительно , поэтому неверно, что каждое действительное число является рациональным или иррациональным. Таким образом, понятие иррационального числа распадается на множество различных понятий. Можно принять традиционное определение иррационального числа как действительного числа, которое не является рациональным. ^[31] Однако существует второе определение иррационального числа, используемое в конструктивной математике: действительное число является иррациональным числом, если оно отделено от каждого рационального числа или, что то же самое, если расстояние между каждым рациональным числом и каждым рациональным числом положительно. Это определение сильнее традиционного определения иррационального числа. Это второе определение используется в доказательстве Эррета Бишопа , что квадратный корень из 2 иррационален . ^[32] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \vert r-q\vert }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q}$

Набор всех иррационалов

Поскольку действительные числа образуют несчетное множество, счетным подмножеством которого являются рациональные числа , дополнительный набор иррациональных чисел несчетен.

При использовании обычной ( евклидовой ) функции расстояния действительные числа являются метрическим пространством и, следовательно, также топологическим пространством . Ограничение функции евклидова расстояния придает иррациональным числам структуру метрического пространства. Поскольку подпространство иррациональных чисел не замкнуто, индуцированная метрика не является полной . Будучи G-дельта-множеством — т. е. счетным пересечением открытых подмножеств — в полном метрическом пространстве, пространство иррациональных чисел полностью метризуемо : то есть существует метрика на иррациональные числа, индуцирующая ту же топологию, что и ограничение евклидова числа. метрика, но относительно которой иррациональные числа полны. Это можно увидеть, не зная вышеупомянутого факта о G-дельта-множествах: разложение иррационального числа в цепную дробь определяет гомеоморфизм из пространства иррациональных чисел в пространство всех последовательностей натуральных чисел, которое, как легко видеть, полностью метризуемо. ${\displaystyle d(x,y)=\vert x-y\vert }$

Более того, множество всех иррациональных чисел представляет собой несвязное метризуемое пространство. Фактически, иррациональные числа, наделенные топологией подпространства, имеют базис из замкнуто-замкнутых групп, поэтому пространство нульмерно .

Смотрите также

• Номер Брюно
• Вычислимое число
• Диофантово приближение
• Доказательство того, что e иррационально
• Доказательство того, что π иррационально
• Квадратный корень из 3
• Квадратный корень из 5
• Тригонометрическое число

Рекомендации

1. 15 самых известных трансцендентных чисел. Клиффорд А. Пиковер . URL получен 24 октября 2007 г.
2. Джексон, Теренс (1 июля 2011 г.). «95.42 Иррациональные квадратные корни натуральных чисел — геометрический подход». Математический вестник . 95 (533): 327–330. дои : 10.1017/S0025557200003193. ISSN  0025-5572. S2CID  123995083.
3. Кантор, Георг (1955) [1915]. Филип Журден (ред.). Вклад в создание теории трансфинитных чисел. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-60045-1.
4. Курт фон Фриц (1945). «Открытие несоизмеримости Гиппасом Метапонтумским». Анналы математики . 46 (2): 242–264. дои : 10.2307/1969021. JSTOR  1969021. S2CID  126296119.
5. Джеймс Р. Чойк (1980). «Пентаграмма и открытие иррационального числа». Двухлетний математический журнал колледжа . 11 (5): 312–316. дои : 10.2307/3026893. JSTOR  3026893. S2CID  115390951.
6. Клайн, М. (1990). Математическая мысль от древности до современности , Vol. 1. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета (оригинальная работа опубликована в 1972 г.), с. 33.
7. Кляйн 1990, с. 32.
8. Kline 1990, с. 34.
9. Кляйн 1990, с. 48.
10. Кляйн 1990, с. 49.
11. Чарльз Х. Эдвардс (1982). Историческое развитие исчисления . Спрингер.
12. Кляйн 1990, с. 50.
13. Роберт Л. Маккейб (1976). «Доказательства иррациональности Теодора». Журнал «Математика» . 49 (4): 201–203. дои : 10.1080/0025570X.1976.11976579. JSTOR  2690123. S2CID  124565880..
14. Т. К. Путтасвами, «Достижения древнеиндийских математиков», стр. 411–2, в Селин, Хелейн ; Д'Амброзио, Убиратан, ред. (2000). Математика в разных культурах: история незападной математики . Спрингер . ISBN 1-4020-0260-2..
15. Бойер (1991). «Китай и Индия». История математики (2-е изд.). п. 208. ИСБН 0471093742. OCLC  414892. Утверждалось также, что первое признание несоизмеримых величин появилось в Индии в период Сулбасутры , но такие утверждения недостаточно обоснованы. Доводы в пользу раннего индуистского осознания несоизмеримых величин становятся весьма маловероятными из-за отсутствия доказательств того, что индийские математики того периода вплотную занялись фундаментальными концепциями.
16. Датта, Бибхутибхусан; Сингх, Авадхеш Нараян (1993). «Сурда в индуистской математике» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 28 (3): 253–264. Архивировано из оригинала (PDF) 3 октября 2018 г. Проверено 18 сентября 2018 г.
17. Кац, виджей (1995). «Идеи исчисления в исламе и Индии». Журнал «Математика» . 63 (3): 163–174. дои : 10.2307/2691411. JSTOR  2691411.
18. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1999). «Арабская математика: забытый блеск?». MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс ..
19. Матвиевская, Галина (1987). «Теория квадратичных иррациональных чисел в средневековой восточной математике». Анналы Нью-Йоркской академии наук . 500 (1): 253–277. Бибкод : 1987NYASA.500..253M. doi :10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x. S2CID  121416910.См., в частности, стр. 254 и 259–260.
20. Жак Сезиано, «Исламская математика», с. 148, в Селине, Хелейн; Д'Амброзио, Убиратан (2000). Математика в разных культурах: история незападной математики . Спрингер . ISBN 1-4020-0260-2..
21. Каджори, Флориан (1928). История математических обозначений (Том 1) . Ла Саль, Иллинойс: Издательство Open Court.стр. 269.
22. (Каджори, 1928, стр.89)
23. Сальваторе Пинчерле (1880). «Введение в теорию аналитических функций, второе и принципы проф. К. Вейерштрасса». Giornale di Matematiche : 178–254, 317–320.
24. Ламберт, Дж. Х. (1761). «Mémoire sur quelques proprietés remarquables des quantités transcententes, circulaires et logarithmiques» (PDF) . Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin (на французском языке): 265–322. Архивировано (PDF) из оригинала 28 апреля 2016 г.
25. Гордан, Пол (1893). «Трансценденц фон е и π». Математические Аннален . Тойбнер. 43 (2–3): 222–224. дои : 10.1007/bf01443647. S2CID  123203471.
26. Фаулер, Дэвид Х. (2001), «История открытия несоизмеримости, новый взгляд», Neusis (10): 45–61, MR  1891736
27. Джордж, Александр; Веллеман, Дэниел Дж. (2002). Философия математики (PDF) . Блэквелл. стр. 3–4. ISBN 0-631-19544-0.
28. Лорд, Ник, «Математика кусается: иррациональные степени иррациональных чисел могут быть рациональными», Mathematical Gazette 92, ноябрь 2008 г., стр. 534.
29. Маршалл, Эш Дж., и Тан, Йирен, «Рациональное число формы a ^a с иррациональным », Mathematical Gazette 96, март 2012 г., стр. 106-109.
30. Альберт, Джон. «Некоторые нерешенные проблемы теории чисел» (PDF) . Департамент математики Университета Оклахомы.(Семинар по математике для старших классов, курс весна 2008 г.)
31. Марк Бриджер (2007). Реальный анализ: конструктивный подход с помощью интервальной арифметики . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-1-470-45144-8.
32. Эрретт Бишоп; Дуглас Бриджес (1985). Конструктивный анализ . Спрингер . ISBN 0-387-15066-8.

дальнейшее чтение

• Адриен-Мари Лежандр , «Элементы геометрии» , Примечание IV, (1802), Париж
• Рольф Валлиссер, «О доказательстве Ламбертом иррациональности числа π», в книге « Алгебраическая теория чисел и диофантовый анализ », Франц Хальтер-Кох и Роберт Ф. Тичи, (2000), Вальтер де Грюйтер

Внешние ссылки

• Парадоксы и несоизмеримость Зенона. Архивировано 13 мая 2016 г. в Wayback Machine (nd). Проверено 1 апреля 2008 г.