Евдокс Книдский

Греческий астроном и математик (ок. 390–ок. 340 до н.э.)

Евдокс Книдский ( / ˈ juː d ə k s ə s / ; др. -греч . Εὔδοξος ὁ Κνίδιος , Eúdoxos ho Knídios ; ок.  390  – ок.  340 до н. э. ) был древнегреческим астрономом , математиком , врачом и законодателем. ^[1] Он был учеником Архита и Платона . Все его оригинальные работы утеряны, хотя некоторые фрагменты сохранились в « Комментариях к явлениям Арата и Евдокса» Гиппарха . ^[2] Сферика Феодосия Вифинского может быть основана на работе Евдокса.

Жизнь

Евдокс, сын Эсхина, родился и умер в Книде (также транслитерируется как Книдос), городе на юго-западном побережье Анатолии . ^[3] Годы рождения и смерти Евдокса полностью не известны, но Диоген Лаэртский привел несколько биографических подробностей, упомянул, что Аполлодор сказал, что он достиг своего расцвета в 103-ю Олимпиаду (368–365 до н. э. ), и утверждал, что он умер на 53-м году жизни. Исходя из этого, историки-математики 19-го века реконструировали даты 408–355 до н. э ., ^[4] но ученые 20-го века сочли их выбор противоречивым и предпочли год рождения около  390 до н . э . ^[5] Его имя Евдокс означает «уважаемый» или «имеющий хорошую репутацию» ( εὔδοξος , от eu «хороший» и doxa «мнение, вера, слава», аналогично латинскому Benedictus ).

Согласно Диогену Лаэртскому, приписывающему « Пинаки » Каллимаха , Евдокс изучал математику у Архита (из Тарента , Великая Греция ) и медицину у Филистона Сицилийского . В возрасте 23 лет он отправился с врачом Феомедонтом, который был его покровителем и, возможно, его любовником [ ^6] , в Афины , чтобы учиться у последователей Сократа . Он провел там два месяца, живя в Пирее и проходя пешком 7 миль (11 км) в одну сторону каждый день, чтобы посещать лекции софистов , а затем вернулся домой в Книд. Затем его друзья заплатили, чтобы отправить его в Гелиополис , Египет, на 16 месяцев, чтобы продолжить изучение астрономии и математики. Из Египта он затем отправился на север в Кизик , расположенный на южном берегу Мраморного моря, Пропонтиды . Он отправился на юг ко двору Мавсола . Во время своих путешествий он собрал множество собственных учеников. ^{[ необходима цитата ]}

Около 368 г. до н. э. Евдокс вернулся в Афины со своими учениками. Согласно некоторым источникам, ^{[ нужна цитата ]} около  367 г. он принял руководство ( схоларх ) Академией во время пребывания Платона в Сиракузах и преподавал Аристотелю . ^{[ нужна цитата ]} В конце концов он вернулся в родной Книд, где служил в городском собрании. Находясь в Книде, он построил обсерваторию и продолжал писать и читать лекции по теологии , астрономии и метеорологии . У него был один сын, Аристагор, и три дочери, Актис, Филтис и Дельфида.

В математической астрономии его известность связана с введением концентрических сфер и ранним вкладом в понимание движения планет .

Его работа по пропорциям показывает понимание иррациональных чисел и линейного континуума : она позволяет строго обрабатывать непрерывные величины, а не только целые числа или даже рациональные числа . Когда она была возрождена Тартальей и другими в 16 веке ^{[ требуется ссылка ]} , она стала основой для количественной работы в науке и вдохновила Ричарда Дедекинда на работу над действительными числами . ^[7]

В его честь названы кратеры на Марсе и Луне . В его честь также названа алгебраическая кривая ( Кампила Евдокса ).

Математика

Некоторые считают Евдокса величайшим из классических греческих математиков, и во всей античности он уступал только Архимеду . ^[8] Евдокс, вероятно, был источником большей части книги V « Начал » Евклида . ^[9] Он тщательно разработал метод исчерпывания Антифона , предшественника интегрального исчисления , который также мастерски использовался Архимедом в следующем столетии. Применяя метод, Евдокс доказал такие математические утверждения, как: площади кругов относятся друг к другу как квадраты их радиусов, объемы сфер относятся друг к другу как кубы их радиусов, объем пирамиды составляет одну треть объема призмы с тем же основанием и высотой, а объем конуса составляет одну треть объема соответствующего цилиндра. ^[10]

Евдокс ввел идею неквантифицированной математической величины для описания и работы с непрерывными геометрическими сущностями, такими как линии, углы, площади и объемы, тем самым избегая использования иррациональных чисел . Поступая так, он изменил пифагорейский акцент на числах и арифметике, сосредоточившись вместо этого на геометрических концепциях как основе строгой математики. Некоторые пифагорейцы, такие как учитель Евдокса Архит , считали, что только арифметика может обеспечить основу для доказательств. Под влиянием необходимости понимать и работать с несоизмеримыми величинами , Евдокс установил то, что, возможно, было первой дедуктивной организацией математики на основе явных аксиом . Изменение фокуса Евдоксом стимулировало раскол в математике, который длился две тысячи лет. В сочетании с греческим интеллектуальным подходом, не озабоченным практическими проблемами, последовало значительное отступление от развития методов в арифметике и алгебре. ^[10]

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата не имеет общей единицы измерения со сторонами квадрата; это знаменитое открытие, что квадратный корень из 2 не может быть выражен как отношение двух целых чисел. Это открытие возвестило о существовании несоизмеримых величин за пределами целых чисел и рациональных дробей, но в то же время оно поставило под сомнение идею измерения и вычислений в геометрии в целом. Например, Евклид дает подробное доказательство теоремы Пифагора ( Начала I.47), используя сложение площадей, и только гораздо позже ( Начала VI.31) более простое доказательство из подобных треугольников, которое опирается на отношения отрезков прямых.

Древнегреческие математики не считали с помощью величин и уравнений, как мы делаем это сегодня; вместо этого пропорциональность выражала отношение между геометрическими величинами. Отношение двух величин не было числовым значением, как мы думаем об этом сегодня; отношение двух величин было примитивным отношением между ними.

Евдоксу приписывают определение равенства между двумя отношениями, что является предметом пятой книги « Начал» .

В Определении 5 Книги V Евклида читаем:

Говорят, что величины находятся в одинаковом отношении, первая ко второй и третья к четвертой, когда, если взять какие-либо равнократные первой и третьей величинам, а также какие-либо равнократные второй и четвертой величинам, то первые равнократные в равной степени превосходят, равны или не дотягивают до последних равнократных величин, взятых в соответствующем порядке.

Используя современную нотацию , это можно сделать более явным. Дано четыре величины ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ , и ⁠ ⁠ ${\displaystyle d}$ , возьмите отношение первой ко второй, ⁠ ⁠ ${\displaystyle a/b}$ , и отношение третьей к четвертой, ⁠ ⁠ ${\displaystyle c/d}$ . То, что эти два отношения пропорциональны, ⁠ ⁠ ${\displaystyle a/b=c/d}$ , можно определить следующим условием:

Для любых двух произвольных положительных целых чисел ⁠ ⁠ ${\displaystyle m}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ сформируйте равнократные ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\cdot a}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\cdot c}$ первого и третьего; аналогично сформируйте равнократные ⁠ ⁠ ${\displaystyle n\cdot b}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle n\cdot d}$ второго и четвертого. Если случится так, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\cdot a>n\cdot b}$ , то также ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\cdot c>n\cdot d}$ . Если вместо этого ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\cdot a=n\cdot b}$ , то также ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\cdot c=n\cdot d}$ . Наконец, если ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\cdot a<n\cdot b}$ , то также ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\cdot c<n\cdot d}$ .

Это означает, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle a/b=c/d}$ тогда и только тогда, когда отношения ⁠ ⁠, ${\displaystyle n/m}$ которые больше ⁠ ⁠ , ${\displaystyle a/b}$ такие же, как те, которые больше ⁠ ⁠ ${\displaystyle c/d}$ , и то же самое для «равен» и «меньше». Это можно сравнить с сечениями Дедекинда , которые определяют действительное число с помощью множества рациональных чисел, которые больше, равны или меньше определяемого числа.

Определение Евдокса основано на сравнении подобных величин ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\cdot a}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle n\cdot b}$ , а также подобных величин ⁠ ⁠ ${\displaystyle m\cdot c}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle n\cdot d}$ , и не зависит от существования общей единицы измерения этих величин.

Сложность определения отражает глубокое концептуальное и методологическое новаторство. Евдоксово определение пропорциональности использует квантификатор «для каждого ...» для использования бесконечного и бесконечно малого, аналогично современным определениям предела и непрерывности с использованием эпсилон-дельта .

Архимедово свойство , определение 4 книги V «Начал» , было приписано Евдоксу Архимедом. ^[11]

Астрономия

В Древней Греции астрономия была разделом математики; астрономы стремились создать геометрические модели, которые могли бы имитировать проявления небесных движений. Поэтому выделение астрономических работ Евдокса в отдельную категорию является современным удобством. Некоторые из астрономических текстов Евдокса, названия которых сохранились, включают:

• Исчезновения Солнца , возможно, во время затмений.
• Октаэтерис (Ὀκταετηρίς), в восьмилетнем лунно-солнечном-венерианском цикле календаря
• Явления (Φαινόμενα) и Эноптрон (Ἔνοπτρον), по сферической астрономии , вероятно, основанные на наблюдениях, сделанных Евдоксом в Египте и Книде
• О скоростях , о планетарных движениях

Мы достаточно хорошо осведомлены о содержании «Явлений» , поскольку прозаический текст Евдокса лег в основу одноименной поэмы Арата . Гиппарх цитировал текст Евдокса в своих комментариях к «Арату».

Планетарные модели Евдокса

Общее представление о содержании « О скоростях» можно почерпнуть из «Метафизики» Аристотеля XII , 8 и комментария Симплиция Киликийского (VI в. н. э.) к «О небе» , другому труду Аристотеля. Согласно истории, переданной Симплицием, Платон задал вопрос греческим астрономам: «Предположением каких равномерных и упорядоченных движений можно объяснить видимые движения планет?» ^[12] Платон предположил, что кажущиеся хаотичными блуждающие движения планет можно объяснить комбинациями равномерных круговых движений с центром на сферической Земле, что, по-видимому, было новой идеей в IV в. до н. э.

В большинстве современных реконструкций модели Евдокса Луне приписываются три сферы:

• Самый внешний из них совершает один оборот на запад за 24 часа, что объясняет восход и заход.
• Вторая вращается на восток один раз в месяц, что объясняет ежемесячное движение Луны по зодиаку .
• Третий также совершает оборот за месяц, но его ось наклонена под несколько иным углом, что объясняет движение по широте (отклонение от эклиптики ) и движение лунных узлов .

Солнцу также приписывают три сферы. Вторая завершает свое движение за год вместо месяца. Включение третьей сферы подразумевает, что Евдокс ошибочно полагал, что Солнце имеет движение по широте.

Модель движения планет Евдокса. Каждая из его гомоцентрических сфер представлена ​​в виде кольца, вращающегося на показанной оси. Самая внешняя (желтая) сфера вращается один раз в день; вторая (синяя) описывает движение планеты по зодиаку; третья (зеленая) и четвертая (красная) вместе двигают планету по восьмерке (или гиппопеду), чтобы объяснить ретроградное движение.

Анимация, изображающая модель ретроградного движения планет Евдокса. Две внутренние сферы вращаются с одинаковым периодом, но в противоположных направлениях, перемещая планету по восьмерке, или гиппопеду.

Пяти видимым планетам ( Меркурию , Венере , Марсу , Юпитеру и Сатурну ) присвоено по четыре сферы:

• Самый внешний объясняет суточное движение.
• Вторая объясняет движение планеты по зодиаку.
• Третье и четвертое вместе объясняют ретроградность , когда планета, по-видимому, замедляется, а затем ненадолго меняет свое движение по зодиаку. Наклоняя оси двух сфер относительно друг друга и вращая их в противоположных направлениях, но с равными периодами, Евдокс мог сделать точку на внутренней сфере, чтобы начертить форму восьмерки, или гиппопеда .

Важность системы Евдоксана

Каллипп , греческий астроном IV века, добавил семь сфер к первоначальным 27 сферам Евдокса (в дополнение к планетарным сферам Евдокс включил сферу для неподвижных звезд). Аристотель описал обе системы, но настоял на добавлении «разворачивающихся» сфер между каждым набором сфер, чтобы отменить движения внешнего набора. Аристотеля беспокоила физическая природа системы; без разворачивающихся сфер внешние движения были бы переданы внутренним планетам.

Главным недостатком системы Евдокса является ее неспособность объяснить изменения яркости планет, видимых с Земли. Поскольку сферы концентричны, планеты всегда будут оставаться на одном и том же расстоянии от Земли. На эту проблему указал еще в «Античности» Автолик из Питана . Астрономы отреагировали введением деферента и эпицикла , которые заставляли планету изменять свое расстояние. Однако значение Евдокса для астрономии и, в частности, для греческой астрономии является значительным.

Этика

Аристотель в «Никомаховой этике » ^[13] приписывает Евдоксу аргумент в пользу гедонизма — то есть, что удовольствие есть высшее благо, к которому стремится деятельность. Согласно Аристотелю, Евдокс выдвинул следующие аргументы в пользу этой позиции:

1. Все вещи, рациональные и иррациональные, стремятся к удовольствию; вещи стремятся к тому, что они считают благом; хорошим указанием на то, что является главным благом, было бы то, к чему стремится большинство вещей.
2. Аналогичным образом, противоположность удовольствия — боль — всеми избегается, что дополнительно подтверждает идею о том, что удовольствие повсеместно считается благом.
3. Люди ищут удовольствие не как средство достижения чего-то другого, а как самостоятельную цель.
4. Любое другое благо, которое вы можете себе представить, было бы лучше, если бы к нему было добавлено удовольствие, а благо можно увеличить только посредством добра.
5. Из всех благ счастье отличается тем, что его не восхваляют, что может указывать на то, что оно является высшим благом. ^[14]

Смотрите также

• Действительные числа Евдокса (совсем недавно открытая конструкция действительных чисел, названная в его честь)
• Проблема Делиана
• Несоизмеримые величины
• Спевсипп

Ссылки

1. Диоген Лаэртский; VIII.86
2. Лассер, Франсуа (1966) Die Fragmente des Eudoxos von Knidos (de Gruyter: Berlin)
3. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Евдокс Книдский». Архив истории математики Мактьютора . Университет Сент-Эндрюс .
4. Хультш 1907.
5. Де Сантильяна, Джордж (1940). «Евдокс и Платон. Исследование хронологии». Isis . 32 (2): 248–262. doi :10.1086/347693. JSTOR  226242.
6. Диоген Лаэртский; VIII.87
7. Николич, Миленко (1974). «Связь между теорией пропорций Евдокса и теорией разрезов Дедекинда». В Cohen, Robert S.; Stachel, John J.; Wartofsky, Marx W. (ред.). For Dirk Struik: Scientific, Historical and Political Essays in Honor of Dirk J. Struik . Dordrecht: Springer. pp. 225–243. doi :10.1007/978-94-010-2115-9_19. ISBN 978-90-277-0379-8.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
8. Калингер, Рональд (1982). Классика математики . Оук-Парк, Иллинойс: Moore Publishing Company, Inc. стр. 75. ISBN 0-935610-13-8.
9. Болл 1908, стр. 54.
10. Моррис Клайн, Математическая мысль от древних времен до наших дней Oxford University Press, 1972 стр. 48–50
11. Кнопп, Конрад (1951). Теория и применение бесконечных рядов (англ. 2-е изд.). Лондон и Глазго: Blackie & Son, Ltd. стр. 7.
12. Ллойд, GER (1970). Ранняя греческая наука: от Фалеса до Аристотеля . WW Norton. стр. 84. ISBN 9780393005837.
13. В основном в десятой книге.
14. Этот конкретный аргумент упоминается в Книге первой.

Библиография

• Болл, Уолтер Уильям Рауз (1908). Краткое изложение истории математики (4-е изд.). Dover Publications. ISBN 9780486206301.
• Эванс, Джеймс (1998). История и практика древней астрономии . Oxford University Press. ISBN 0-19-509539-1. OCLC  185509676.
• Хульч, Фридрих (1907). «Евдокс фон Книд»  . В Поли, август; Виссова, Георг (ред.). Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft (на немецком языке). Том. 6.1. стр. 930–950 – через Wikisource .
• Хаксли, ГЛ (1980). Евдокс Книдский, стр. 465-7 в: Словаре научной биографии, том 4 .
• Хаксли, Г. Л. (1963). «Евдоксовы топики». Греческие, римские и византийские исследования . 4 : 83–96.
• Кнорр, Уилбур Ричард (1978). «Архимед и доевклидова теория пропорций». Архивы международной истории наук . 28 : 183–244.
• Кнорр, Уилбур Р. (1986). Древняя традиция геометрических задач . Бостон: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3148-8.
• Лассер, Франсуа ( 1966) Die Fragmente des Eudoxos von Knidos (де Грюйтер: Берлин)
•  Лаэртий, Диоген (1925). "Пифагорейцы: Евдокс"  . Жизнеописания выдающихся философов . Том 2:8. Перевод Хикса, Роберта Дрю (Двухтомное издание). Классическая библиотека Лёба.
• Манитиус, К. (1894) Гиппархи в Arati et Eudoxi Phaenomena Commentariorum Libri Tres (Тойбнер)
• Нойгебауэр, О. (1975). История древней математической астрономии . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06995-X.
• Ван дер Варден, БЛ (1988). Пробуждение науки (5-е изд.). Лейден: Нордхофф.

Внешние ссылки

• Действующая модель и полное объяснение сфер Евдокса (видео на YouTube )
• Евдокс (и Платон) Архивировано 16 августа 2018 г. на Wayback Machine , документальный фильм о Евдоксе, включая описание его планетарной модели
• Деннис Дьюк, «Статистическая датировка явлений Евдокса», DIO, том 15, см. страницы с 7 по 23.
• Евдокс Книдский Britannica.com
• Евдокс Книдский Архивировано 23 июля 1997 г. в Wayback Machine Дональд Аллен, профессор Техасского университета A&M
• Евдокс Книдский (Eudoxus of Cnidus): астрономия и гомоцентрические сферы Генри Менделл, Cal State U, LA (архивировано 16 мая 2011 г.)
• Проект «Геродот»: обширный черно-белый фоторепортаж о Книде
• Модели планетарного движения — Евдокс, Крейг Макконнелл, доктор философии, Калифорнийский государственный университет, Фуллертон (архивировано 19 июля 2011 г.)
• Вселенная по Евдоксу ( Java- апплет) (архив 21 ноября 2007 г.)