Построение действительных чисел

В математике существует несколько эквивалентных способов определения действительных чисел . Один из них заключается в том, что они образуют полное упорядоченное поле , которое не содержит меньшего полного упорядоченного поля. Такое определение не доказывает, что такое полное упорядоченное поле существует, а доказательство существования состоит в построении математической структуры , которая удовлетворяет определению.

В статье представлено несколько таких конструкций. ^[1] Они эквивалентны в том смысле, что при заданном результате любых двух таких конструкций между ними существует единственный изоморфизм упорядоченного поля . Это следует из приведенного выше определения и не зависит от конкретных конструкций. Эти изоморфизмы позволяют идентифицировать результаты конструкций и, на практике, забыть, какая конструкция была выбрана.

Аксиоматические определения

Аксиоматическое определение действительных чисел состоит в определении их как элементов полного упорядоченного поля. ^{[2] [3] [4]} Это означает следующее: действительные числа образуют множество , обычно обозначаемое , содержащее два выделенных элемента, обозначаемых 0 и 1, и на котором определены две бинарные операции и одно бинарное отношение ; операции называются сложением и умножением действительных чисел и обозначаются соответственно + и × ; бинарное отношение является неравенством , обозначаемым Более того, должны выполняться следующие свойства, называемые аксиомами . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \leq .}$

Существование такой структуры является теоремой , которая доказывается путем построения такой структуры. Следствием аксиом является то, что эта структура является единственной с точностью до изоморфизма, и, таким образом, действительные числа могут использоваться и манипулироваться, не ссылаясь на метод построения.

Аксиомы

1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$это поле под сложением и умножением. Другими словами,
   • Для всех x , y и z из x + ( y + z ) = ( x + y ) + z и x × ( y × z ) = ( x × y ) × z . ( ассоциативность сложения и умножения) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Для всех x и y из , x + y = y + x и x × y = y × x . ( коммутативность сложения и умножения) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Для всех x , y и z из , x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z ). ( дистрибутивность умножения относительно сложения) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Для всех x в , x + 0 = x . (существование аддитивного тождества ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • 0 не равен 1, и для всех x в , x × 1 = x . (существование мультипликативного тождества) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Для каждого x из существует элемент − x из , такой что x + (− x ) = 0. (существование аддитивных обратных элементов ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Для любого x ≠ 0 в , существует элемент x ⁻¹ в , такой что x × x ⁻¹ = 1. (существование мультипликативных обратных) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
2. ${\displaystyle \mathbb {R} }$полностью упорядочен для . Другими словами, ${\displaystyle \leq }$
   • Для всех x в , x ≤ x . ( рефлексивность ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Для всех x и y из , если x ≤ y и y ≤ x , то x = y . ( антисимметрия ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Для всех x , y и z из , если x ≤ y и y ≤ z , то x ≤ z . ( транзитивность ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Для всех x и y в , x ≤ y или y ≤ x . ( совокупность ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
3. Сложение и умножение совместимы с порядком. Другими словами,
   • Для всех x , y и z из , если x ≤ y , то x + z ≤ y + z . (сохранение порядка при сложении) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Для всех x и y из , если 0 ≤ x и 0 ≤ y , то 0 ≤ x × y (сохранение порядка при умножении) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
4. Порядок ≤ является полным в следующем смысле: каждое непустое подмножество , ограниченное сверху, имеет наименьшую верхнюю границу . Другими словами, ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Если A — непустое подмножество и если A имеет верхнюю границу в , то A имеет наименьшую верхнюю границу u , такую, что для любой верхней границы v множества A , u ≤ v . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

О свойстве наименьшей верхней границы

Аксиома 4, требующая, чтобы порядок был Дедекиндово-полным , подразумевает свойство Архимеда .

Аксиома имеет решающее значение в характеристике вещественных чисел. Например, полностью упорядоченное поле рациональных чисел Q удовлетворяет первым трём аксиомам, но не четвёртой. Другими словами, модели рациональных чисел также являются моделями первых трёх аксиом.

Обратите внимание, что аксиома не является firstorderizable , поскольку она выражает утверждение о наборах вещественных чисел, а не только об отдельных таких числах. Таким образом, вещественные числа не задаются теорией логики первого порядка .

На моделях

Модель действительных чисел — это математическая структура , которая удовлетворяет приведенным выше аксиомам. Ниже приведено несколько моделей. Любые две модели изоморфны; поэтому действительные числа уникальны с точностью до изоморфизма.

Сказать, что любые две модели изоморфны, означает, что для любых двух моделей и существует биекция , которая сохраняет как полевые операции, так и порядок. Явно, ${\displaystyle (\mathbb {R} ,0_{\mathbb {R} },1_{\mathbb {R} },+_{\mathbb {R} },\times _{\mathbb {R} },\leq _{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle (S,0_{S},1_{S},+_{S},\times _{S},\leq _{S}),}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to S}$

• f является как инъективным, так и сюръективным .
• f (0 _ℝ ) = 0 _S и f (1 _ℝ ) = 1 _S .
• f ( x + _ℝ y ) = f ( x ) + _S f ( y ) и f ( x × _ℝ y ) = f ( x ) × _S f ( y ) для всех x и y в ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• x ≤ _ℝ y тогда и только тогда, когда f ( x ) ≤ _S f ( y ) для всех x и y в ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Аксиоматизация действительных чисел Тарского

Альтернативная синтетическая аксиоматизация действительных чисел и их арифметики была дана Альфредом Тарским , состоящая всего из 8 аксиом, показанных ниже, и всего лишь четырех элементарных понятий : множества , называемого действительными числами , обозначаемого , бинарного отношения над , называемого порядком , обозначаемого инфиксным оператором <, бинарной операции над , называемой сложением , обозначаемой инфиксным оператором +, и константы 1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Аксиомы порядка (примитивы: , <): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Аксиома 1. Если x < y , то не y < x . То есть, «<» — асимметричное отношение .

Аксиома 2. Если x  <  z , то существует y такой, что x  <  y и y  <  z . Другими словами, "<" плотно в . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Аксиома 3. "<" является Дедекиндово-полным . Более формально, для всех X ,  Y  ⊆  , если для всех x  ∈  X и y  ∈  Y , x  <  y , то существует z такой, что для всех x  ∈  X и y  ∈  Y , если z  ≠  x и z  ≠  y , то x  <  z и z  <  y . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Чтобы немного прояснить вышеприведенное утверждение, пусть X  ⊆  и Y  ⊆  . Теперь мы определим два распространенных английских глагола особым образом, который соответствует нашей цели: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

X предшествует Y тогда и только тогда, когда для каждого x  ∈  X и каждого y  ∈  Y выполняется x  <  y .

Действительное число z разделяет X и Y тогда и только тогда, когда для каждого x  ∈  X с x  ≠  z и каждого y  ∈  Y с y  ≠  z , x  <  z и z  <  y .

Аксиому 3 можно сформулировать так:

«Если набор действительных чисел предшествует другому набору действительных чисел, то существует по крайней мере одно действительное число, разделяющее два набора».

Аксиомы сложения (примитивы: , <, +): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Аксиома 4. x +  ( y  +  z ) = ( x  +  z ) +  y .

Аксиома 5. Для всех x , y существует z, такой что x  +  z  =  y .

Аксиома 6. Если x  +  y  <  z  +  w , то x  <  z или y  <  w .

Аксиомы для одного (примитивы: , <, +, 1): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Аксиома 7 . 1 ∈  . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Аксиома 8. 1 < 1 + 1.

Из этих аксиом следует, что является линейно упорядоченной абелевой группой относительно сложения с выделенным элементом 1. также является дедекиндово полной и делимой . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Явные конструкции моделей

Мы не будем доказывать, что какие-либо модели аксиом изоморфны. Такое доказательство можно найти в любом количестве современных учебников по анализу или теории множеств. Однако мы набросаем основные определения и свойства ряда конструкций, поскольку каждая из них важна как по математическим, так и по историческим причинам. Первые три, благодаря Георгу Кантору / Шарлю Мере , Рихарду Дедекинду / Йозефу Бертрану и Карлу Вейерштрассу, все появились с разницей в несколько лет. У каждой есть свои преимущества и недостатки. Главной мотивацией во всех трех случаях было обучение студентов-математиков.

Построение из последовательностей Коши

Стандартная процедура, позволяющая заставить все последовательности Коши в метрическом пространстве сходиться, заключается в добавлении новых точек в метрическое пространство в процессе, называемом завершением .

${\displaystyle \mathbb {R} }$определяется как завершение множества рациональных чисел относительно метрики | x − y | Обычно метрики определяются с действительными числами в качестве значений, но это не делает конструкцию/определение цикличными, поскольку все числа, которые подразумеваются (даже неявно), являются рациональными числами. ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Пусть R — множество последовательностей Коши рациональных чисел. То есть, последовательности

( х ₁ , х ₂ , х ₃ ,...)

рациональных чисел, таких, что для каждого рационального ε > 0 существует целое число N, такое, что для всех натуральных чисел m , n > N , выполняется неравенство | x _m − x _n | < ε . Здесь вертикальные черты обозначают абсолютное значение.

Последовательности Коши ( x _n ) и ( y _n ) можно складывать и умножать следующим образом:

( Икс _п ) + ( y _п ) знак равно ( Икс _п + y _п )

( Икс _п ) × ( y _п ) знак равно ( Икс _п × y _п ) .

Две последовательности Коши ( x _n ) и ( y _n ) называются эквивалентными тогда и только тогда, когда разность между ними стремится к нулю; то есть для каждого рационального числа ε > 0 существует целое число N такое, что для всех натуральных чисел n > N выполняется неравенство | x _n − y _n | < ε .

Это определяет отношение эквивалентности , которое совместимо с операциями, определенными выше, и можно показать, что множество R всех классов эквивалентности удовлетворяет всем аксиомам действительных чисел. можно рассматривать как подмножество, отождествляя рациональное число r с классом эквивалентности последовательности Коши ( r , r , r , ...) . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Сравнение действительных чисел получается путем определения следующего сравнения последовательностей Коши: ( x _n ) ≥ ( y _n ) тогда и только тогда, когда x эквивалентно y или существует целое число N такое, что x _n ≥ y _n для всех n > N .

По построению каждое действительное число x представлено последовательностью Коши рациональных чисел. Это представление далеко не уникально; каждая рациональная последовательность, которая сходится к x, является последовательностью Коши, представляющей x . Это отражает наблюдение, что часто можно использовать разные последовательности для аппроксимации одного и того же действительного числа. ^[6]

Единственная аксиома действительных чисел, которая не следует легко из определений, — это полнота ≤ , т. е. свойство наименьшей верхней границы . Это можно доказать следующим образом: пусть S — непустое подмножество , а U — верхняя граница для S . Подставляя большее значение, если необходимо, мы можем предположить, что U рационально. Поскольку S непусто, мы можем выбрать рациональное число L такое, что L < s для некоторого s из S . Теперь определим последовательности рациональных чисел ( u _n ) и ( l _n ) следующим образом: ${\displaystyle \mathbb {R} '}$

Положим u ₀ = U и l ₀ = L. Для каждого n рассмотрим число m _n = ( u _n + l _n )/2 . Если m _n является верхней границей для S , положите u _{n +1} = m _n и l _{n +1} = l _n . В противном случае положите l _{n +1} = m _n и u _{n +1} = u _n .

Это определяет две последовательности Коши рациональных чисел, и, следовательно, действительные числа l = ( l _n ) и u = ( u _n ) . Легко доказать индукцией по n , что u _n является верхней границей для S для всех n и l _n никогда не является верхней границей для S для любого n

Таким образом, u является верхней границей для S. Чтобы увидеть, что это наименьшая верхняя граница, обратите внимание, что предел ( u _n − l _n ) равен 0 , и поэтому l = u . Теперь предположим, что b < u = l является меньшей верхней границей для S . Поскольку ( l _n ) монотонно возрастает, легко видеть, что b < l _n для некоторого n . Но l _n не является верхней границей для S , и поэтому b тоже не является таковой . Следовательно, u является наименьшей верхней границей для S и ≤ является полным.

Обычная десятичная запись может быть естественным образом переведена в последовательности Коши. Например, запись π = 3,1415... означает, что π — класс эквивалентности последовательности Коши (3, 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, ...) . Уравнение 0,999... = 1 утверждает, что последовательности (0, 0,9, 0,99, 0,999,...) и (1, 1, 1, 1,...) эквивалентны, т. е. их разность сходится к 0 .

Преимущество построения в качестве завершения состоит в том, что это построение можно использовать для любых других метрических пространств. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Строительство по Дедекиндовым разрезам

Дедекинд использовал свое сечение для построения иррациональных действительных чисел .

Дедекиндово сечение в упорядоченном поле — это его разбиение ( A , B ), такое, что A непусто и замкнуто сверху вниз, B непусто и замкнуто снизу вверх, а A не содержит наибольшего элемента . Действительные числа могут быть построены как дедекиндовы сечения рациональных чисел. ^{[7] [8]}

Для удобства мы можем взять нижний набор в качестве представителя любого заданного сечения Дедекинда , поскольку полностью определяет . Делая это, мы можем интуитивно думать о действительном числе как о представленном набором всех меньших рациональных чисел. Более подробно, действительное число — это любое подмножество множества рациональных чисел, которое удовлетворяет следующим условиям: ^[9] ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle (A,B)\,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$

1. ${\displaystyle r}$не пусто
2. ${\displaystyle r\neq {\textbf {Q}}}$
3. ${\displaystyle r}$закрыто вниз. Другими словами, для всех таких, что , если тогда ${\displaystyle x,y\in {\textbf {Q}}}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y\in r}$ ${\displaystyle x\in r}$
4. ${\displaystyle r}$не содержит наибольшего элемента. Другими словами, нет такого, что для всех , ${\displaystyle x\in r}$ ${\displaystyle y\in r}$ ${\displaystyle y\leq x}$

• Мы формируем множество действительных чисел как множество всех сечений Дедекинда и определяем полный порядок действительных чисел следующим образом: ${\displaystyle {\textbf {R}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$ ${\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y}$
• Мы встраиваем рациональные числа в действительные числа, отождествляя рациональное число с множеством всех меньших рациональных чисел . ^[9] Поскольку рациональные числа плотны , такое множество не может иметь наибольшего элемента и, таким образом, удовлетворяет условиям, чтобы быть действительным числом, изложенным выше. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \{x\in {\textbf {Q}}:x<q\}}$
• Дополнение . ^[9] ${\displaystyle A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}}$
• Вычитание . где обозначает относительное дополнение в , ${\displaystyle A-B:=\{a-b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}\setminus B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$ ${\displaystyle \{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}}$
• Отрицание — частный случай вычитания: ${\displaystyle -B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$
• Определение умножения менее простое. ^[9]
  • если тогда ${\displaystyle A,B\geq 0}$ ${\displaystyle A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}}$
  • если одно из чисел или отрицательно, мы используем тождества для преобразования и/или в положительные числа, а затем применяем определение, приведенное выше. ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$ ${\displaystyle A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,}$ ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$
• Аналогично определяем деление :
  • если тогда ${\displaystyle A\geq 0{\mbox{ and }}B>0}$ ${\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$
  • если одно из чисел или отрицательно, мы используем тождества для преобразования в неотрицательное число и/или в положительное число, а затем применяем определение, приведенное выше. ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$ ${\displaystyle A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,}$ ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$
• Супремум . Если непустое множество действительных чисел имеет какую-либо верхнюю границу в , то оно имеет наименьшую верхнюю границу в , которая равна . ^[9] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}}$ ${\displaystyle \bigcup S}$

В качестве примера сечения Дедекинда, представляющего иррациональное число , мы можем взять положительный квадратный корень из 2. Это можно определить с помощью множества . ^[10] Из определений выше видно, что является действительным числом, и что . Однако ни одно из утверждений не является непосредственным. Чтобы показать, что является действительным, требуется показать, что не имеет наибольшего элемента, т. е. что для любого положительного рационального числа с , существует рациональное число с и Этот выбор работает. Тогда, но чтобы показать равенство, требуется показать, что если является любым рациональным числом с , то существует положительное число в с . ${\displaystyle A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x\times x<2\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A=2\,}$ ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle x\times x<2\,}$ ${\displaystyle y\,}$ ${\displaystyle x<y\,}$ ${\displaystyle y\times y<2\,.}$ ${\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}\,}$ ${\displaystyle A\times A\leq 2}$ ${\displaystyle r\,}$ ${\displaystyle r<2\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r<x\times x\,}$

Преимущество этой конструкции в том, что каждое действительное число соответствует уникальному разрезу. Более того, ослабляя первые два требования определения разреза, расширенная система действительных чисел может быть получена путем ассоциации с пустым множеством и со всеми из . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$

Построение с использованием гипердействительных чисел

Как и в случае с гипердействительными числами , гиперрациональные числа строятся из рациональных чисел с помощью ультрафильтра . ^[11] Здесь гиперрациональное число по определению является отношением двух гиперцелых чисел . Рассмотрим кольцо всех ограниченных (т.е. конечных) элементов в . Тогда имеет единственный максимальный идеал — бесконечно малые гиперрациональные числа. Фактор-кольцо дает поле действительных чисел. ^[12] Эта конструкция использует неглавный ультрафильтр над множеством натуральных чисел, существование которого гарантируется аксиомой выбора . ${\displaystyle ^{*}\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B/I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Оказывается, максимальный идеал соблюдает порядок на . Следовательно, полученное поле является упорядоченным полем. Полнота может быть доказана аналогично построению из последовательностей Коши. ${\displaystyle ^{*}\mathbb {Q} }$

Строительство из сюрреалистических чисел

Каждое упорядоченное поле может быть вложено в сюрреальные числа . Действительные числа образуют максимальное подполе, которое является архимедовым (что означает, что никакое действительное число не является бесконечно большим или бесконечно малым). Это вложение не является уникальным, хотя его можно выбрать каноническим способом.

Построение из целых чисел (действительных чисел Евдокса)

Относительно менее известная конструкция позволяет определять действительные числа, используя только аддитивную группу целых чисел с различными версиями. ^{[13] [14] [15]} Артан (2004), который приписывает эту конструкцию неопубликованной работе Стивена Шануэля , называет эту конструкцию действительными числами Евдокса , называя их в честь древнегреческого астронома и математика Евдокса Книдского . Как отмечают Шеницер (1987) и Артан (2004), трактовка Евдоксом количества с использованием поведения пропорций стала основой для этой конструкции. Эта конструкция была формально проверена на получение дедекиндово-полного упорядоченного поля проектом IsarMathLib. ^[16] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Пусть почти гомоморфизм будет отображением таким образом, что множество конечно. (Заметим, что является почти гомоморфизмом для любого .) Почти гомоморфизмы образуют абелеву группу при поточечном сложении. Мы говорим, что два почти гомоморфизма почти равны, если множество конечно. Это определяет отношение эквивалентности на множестве почти гомоморфизмов. Действительные числа определяются как классы эквивалентности этого отношения. В качестве альтернативы, почти гомоморфизмы, принимающие только конечное число значений, образуют подгруппу, а базовая аддитивная группа действительного числа является факторгруппой. Чтобы сложить действительные числа, определенные таким образом, мы добавляем почти гомоморфизмы, которые их представляют. Умножение действительных чисел соответствует функциональной композиции почти гомоморфизмов. Если обозначает действительное число, представленное почти гомоморфизмом, мы говорим, что если ограничено или принимает бесконечное число положительных значений на . Это определяет отношение линейного порядка на множестве действительных чисел, построенном таким образом. ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle f(n)=\lfloor \alpha n\rfloor }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle \{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0\leq [f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$

Другие конструкции

Фалтин и др. (1975) пишут: «Немногие математические структуры подверглись стольким пересмотрам или были представлены в стольких обличьях, как действительные числа. Каждое поколение пересматривает действительные числа в свете своих ценностей и математических целей». ^[17]

Был дан ряд других конструкций:

• де Брейн (1976), де Брейн (1977)
• Ригер (1982)
• Кнопфмахер и Кнопфмахер (1987), Кнопфмахер и Кнопфмахер (1988)

Обзор см. в Weiss (2015).

Как заметил один из рецензентов: «Все подробности включены, но, как обычно, они утомительны и не слишком поучительны». ^[18]

Смотрите также

• Конструктивизм (математика)#Пример из реального анализа  – Математическая точка зрения, что доказательства существования должны быть конструктивнымиPages displaying short descriptions of redirect targets
• Разрешимость теорий первого порядка действительных чисел

Ссылки

1. Вайс 2015.
2. "Действительные числа" (PDF) . Университет Колорадо в Боулдере .
3. Сондерс, Бонни (21 августа 2015 г.). «Интерактивные заметки для реального анализа» (PDF) . Иллинойсский университет в Чикаго .
4. "Axioms of the Real Number System" (PDF) . Калифорнийский университет в Ирвайне . Архивировано из оригинала (PDF) 26 декабря 2010 г.
5. Для пополнений относительно других метрик см. p -адические числа ). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
6. Кемп 2016.
7. Математика 25 упражнений ucdavis.edu
8. 1.2–Сокращения furman.edu
9. Пью 2002.
10. Херш 1997.
11. Кракофф, Джанни (8 июня 2015 г.). «Гиперреальные числа и краткое введение в нестандартный анализ» (PDF) . Кафедра математики, Вашингтонский университет .
12. Голдблатт, Роберт (1998). "Упражнение 5.7 (4)". Лекции о гиперреальных числах: введение в нестандартный анализ . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 188. New York: Springer-Verlag. стр. 54. doi :10.1007/978-1-4612-0615-6. ISBN 0-387-98464-X. МР  1643950.
13. Артан 2004.
14. А'Кампо 2003.
15. Улица 2003.
16. IsarMathLib.
17. Фалтин и др. 1975.
18. MR 693180 (84j:26002) обзор Rieger1982.

Библиография

• А'Кампо, Норберт (2003). "Естественная конструкция для действительных чисел". arXiv : math/0301015 .

• Артан, РД (2004). «Действительные числа Евдокса». arXiv : math/0405454 .

• de Bruijn, NG (1976). «Определение действительных чисел без использования рациональных». Indagationes Mathematicae (Proceedings) . 79 (2): 100–108. doi :10.1016/1385-7258(76)90055-X.также на http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597556.pdf

• де Брейн, НГ (1977). «Построение системы действительных чисел». Недерл. Акад. Ветенш. Верслаг Афд. Натуурк . 86 (9): 121–125.

• Фалтин, Ф.; Метрополис, М.; Росс, Б.; Рота, Г.-К. (1975). «Действительные числа как сплетенное произведение». Успехи математики . 16 (3): 278–304. doi : 10.1016/0001-8708(75)90115-2 .

• Херш, Рубен (1997). Что такое математика на самом деле?. Нью-Йорк: Oxford University Press, США. стр. 274. ISBN 978-0-19-513087-4.

• IsarMathLib (2022). «ИсарМатемлиб».

• Кемп, Тодд (2016). «Конструкция R по Коши» (PDF) .

• Кнопфмахер, Арнольд; Кнопфмахер, Джон (1987). «Новая конструкция действительных чисел (через бесконечные произведения)». Nieuw Arch. Wisk . 4 (5): 19–31.

• Кнопфмахер, Арнольд; Кнопфмахер, Джон (1988). «Две конкретные новые конструкции действительных чисел». Rocky Mountain Journal of Mathematics . 18 (4): 813–824. doi : 10.1216/RMJ-1988-18-4-813 . S2CID  122161507.

• Pugh, Charles Chapman (2002). Реальный математический анализ . Нью-Йорк: Springer. С. 11–15. ISBN 978-0-387-95297-0.

• Ригер, Георг Иоганн (1982). «Новый подход к действительным числам (на основе цепных дробей)» (PDF) . Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft . 33 : 205–217.

• Шенитцер, А. (1987). «Тематический курс по математике». The Mathematical Intelligencer . 9 (3): 44–52. doi :10.1007/bf03023955. S2CID  122199850.

• Стрит, Росс (сентябрь 2003 г.). "Обновление эффективных реалов" (PDF) . Получено 2010-10-23 .

• Вайс, Иттай (2015). «Действительные числа — обзор конструкций». Rocky Mountain Journal of Mathematics . 45 (3): 737–762. arXiv : 1506.03467 . doi : 10.1216/RMJ-2015-45-3-737 .