Дедекинд огранка

Метод построения действительных чисел

Дедекинд использовал свое сечение для построения иррациональных действительных чисел .

В математике сечения Дедекинда , названные в честь немецкого математика Рихарда Дедекинда (но ранее рассмотренные Йозефом Бертраном ^{[1] [2]} ), являются методом построения действительных чисел из рациональных чисел . Сечение Дедекинда — это разбиение рациональных чисел на два множества A и B , такое, что каждый элемент A меньше каждого элемента B , и A не содержит наибольшего элемента . Множество B может иметь или не иметь наименьший элемент среди рациональных чисел. Если B имеет наименьший элемент среди рациональных чисел, то сечение соответствует этому рациональному числу. В противном случае это сечение определяет уникальное иррациональное число , которое, грубо говоря, заполняет «пробел» между A и  B . ^[3] Другими словами, A содержит каждое рациональное число, меньшее сечение, а B содержит каждое рациональное число, большее или равное сечение. Иррациональное сечение приравнивается к иррациональному числу, которое не входит ни в одно из множеств. Каждое действительное число, рациональное или нет, приравнивается к одному и только одному сечению рациональных чисел. ^[3]

Дедекиндовы разрезы можно обобщить с рациональных чисел на любое полностью упорядоченное множество , определив дедекиндово разрез как разбиение полностью упорядоченного множества на две непустые части A и B , так что A замкнуто сверху вниз (это означает, что для всех a из A , x ≤ a означает, что x также принадлежит A ), а B замкнуто снизу вверх, и A не содержит наибольшего элемента. См. также полнота (теория порядка) .

Легко показать, что сечение Дедекинда среди действительных чисел однозначно определяется соответствующим сечением среди рациональных чисел. Аналогично, каждое сечение действительных чисел идентично сечению, произведенному определенным действительным числом (которое может быть идентифицировано как наименьший элемент множества B ) . Другими словами, числовая прямая , где каждое действительное число определяется как сечение Дедекинда среди рациональных чисел, является полным континуумом без дополнительных пробелов.

Определение

Дедекиндово сечение — это разбиение рациональных чисел на два подмножества , причём такое, что ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle A}$непусто.
2. ${\displaystyle A\neq \mathbb {Q} }$(эквивалентно, непусто). ${\displaystyle B}$
3. Если , , и , то . ( «замкнуто вниз».) ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle A}$
4. Если , то существует такое, что . ( не содержит наибольшего элемента.) ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle y>x}$ ${\displaystyle A}$

Опуская первые два требования, мы формально получаем расширенную действительную числовую прямую .

Представления

Более симметрично использовать обозначение ( A , B ) для разрезов Дедекинда, но каждое из A и B определяет другое. Это может быть упрощением, с точки зрения обозначений, если не более, сосредоточиться на одной «половине» — скажем, нижней — и назвать любое замкнутое вниз множество A без наибольшего элемента «разрезом Дедекинда».

Если упорядоченное множество S является полным, то для каждого сечения Дедекинда ( A , B ) множества S множество B должно иметь минимальный элемент b , следовательно, мы должны иметь, что A является интервалом (−∞, b ), а B — интервалом [ b , +∞). В этом случае мы говорим, что b представлено сечением ( A , B ).

Важной целью разреза Дедекинда является работа с неполными числовыми множествами . Сам разрез может представлять число, не входящее в исходный набор чисел (чаще всего рациональные числа ). Разрез может представлять число b , даже если числа, содержащиеся в двух множествах A и B, на самом деле не включают число b , которое представляет их разрез.

Например, если A и B содержат только рациональные числа , их все равно можно разрезать , поместив в A каждое отрицательное рациональное число вместе с каждым неотрицательным рациональным числом, квадрат которого меньше 2; аналогично B будет содержать каждое положительное рациональное число, квадрат которого больше или равен 2. Даже если для нет рационального значения , если рациональные числа разбить на A и B таким образом, то само разбиение будет представлять иррациональное число . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Заказ разрезов

Рассматривайте одно сечение Дедекинда ( A , B ) как меньшее, чем другое сечение Дедекинда ( C , D ) (того же надмножества), если A является собственным подмножеством C . Эквивалентно, если D является собственным подмножеством B , сечение ( A , B ) снова меньше, чем ( C , D ). Таким образом, включение множеств может быть использовано для представления упорядочения чисел, и все другие отношения ( больше чем , меньше или равно , равно и т. д.) могут быть аналогичным образом созданы из отношений множеств.

Множество всех разрезов Дедекинда само по себе является линейно упорядоченным множеством (множеств). Более того, множество разрезов Дедекинда обладает свойством наименьшей верхней границы , т. е. каждое его непустое подмножество, имеющее любую верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу. Таким образом, построение множества разрезов Дедекинда служит цели вложения исходного упорядоченного множества S , которое могло не иметь свойства наименьшей верхней границы, в (обычно большее) линейно упорядоченное множество, которое обладает этим полезным свойством.

Построение действительных чисел

Типичное сечение Дедекинда рациональных чисел задается разбиением с ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (A,B)}$

${\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} :a^{2}<2{\text{ or }}a<0\},}$

${\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}\geq 2{\text{ and }}b\geq 0\}.}$^[4]

Это сечение представляет иррациональное число в конструкции Дедекинда. Основная идея заключается в том, что мы используем множество , которое является множеством всех рациональных чисел, квадраты которых меньше 2, для «представления» числа , и далее, путем определения надлежащим образом арифметических операторов над этими множествами (сложение, вычитание, умножение и деление), эти множества (вместе с этими арифметическими операциями) образуют знакомые нам действительные числа. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Чтобы установить это, нужно показать, что действительно является разрезом (согласно определению), а квадрат , то есть (пожалуйста, обратитесь к ссылке выше для точного определения того, как определяется умножение разрезов), равен (обратите внимание, что строго говоря, это число 2 представлено разрезом ). Чтобы показать первую часть, мы покажем, что для любого положительного рационального числа с , существует рациональное число с и . Выбор работает, таким образом, действительно является разрезом. Теперь, вооружившись умножением между разрезами, легко проверить, что (по сути, это потому , что ). Поэтому, чтобы показать, что , мы покажем, что , и достаточно показать, что для любого , существует , . Для этого мы замечаем, что если , то для построенного выше это означает, что у нас есть последовательность, в квадрате которой может стать сколь угодно близкой к , что завершает доказательство. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}<2}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y^{2}<2}$ ${\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A\leq 2}$ ${\displaystyle x\times y\leq 2,\forall x,y\in A,x,y\geq 0}$ ${\displaystyle A\times A=2}$ ${\displaystyle A\times A\geq 2}$ ${\displaystyle r<2}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x^{2}>r}$ ${\displaystyle x>0,2-x^{2}=\epsilon >0}$ ${\displaystyle 2-y^{2}\leq {\frac {\epsilon }{2}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 2}$

Обратите внимание, что равенство b ²  = 2 не может выполняться, так как не является рациональным . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Отношение к интервальной арифметике

Если сечение Дедекинда представляет действительное число путем разбиения рациональных чисел на , где рациональные числа в меньше , а рациональные числа в больше , то его можно эквивалентно представить как множество пар с и , причем нижнее и верхнее сечения задаются проекциями. Это в точности соответствует множеству интервалов, приближающих . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle r}$

Это позволяет определить основные арифметические операции над действительными числами в терминах интервальной арифметики . Это свойство и его связь с действительными числами, заданными только в терминах и, особенно важны в более слабых основах, таких как конструктивный анализ . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Обобщения

Произвольные линейно упорядоченные множества

В общем случае произвольного линейно упорядоченного множества X разрез — это пара такая, что и , подразумевают . Некоторые авторы добавляют требование, чтобы и A , и B были непустыми. ^[5] ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle A\cup B=X}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a<b}$

Если ни A не имеет максимума, ни B не имеет минимума, разрез называется зазором . Линейно упорядоченное множество, наделенное топологией порядка, компактно тогда и только тогда, когда оно не имеет зазора. ^[6]

Сюрреалистические числа

Конструкция, напоминающая разрезы Дедекинда, используется для (одной из многих возможных) конструкций сюрреалистических чисел . Соответствующее понятие в этом случае — разрез Куэсты-Дутари ^[7] , названный в честь испанского математика Норберто Куэсты Дутари  [es] .

Частично упорядоченные множества

В более общем смысле, если S — частично упорядоченное множество , то пополнение S означает полную решетку L с упорядоченным вложением S в L. Понятие полной решетки обобщает свойство наименьшей верхней границы действительных чисел.

Одно пополнение S — это множество его замкнутых вниз подмножеств, упорядоченное по включению . Связанное пополнение, которое сохраняет все существующие sups и infs S , получается с помощью следующей конструкции: для каждого подмножества A из S пусть A ^u обозначает множество верхних границ A , и пусть A ^l обозначает множество нижних границ A . (Эти операторы образуют связь Галуа .) Тогда пополнение Дедекинда –МакНейла S состоит из всех подмножеств A , для которых ( A ^u ) ^l = A ; оно упорядочено по включению. Пополнение Дедекинда–МакНейла — это наименьшая полная решетка с вложенным в нее S.

Примечания

1. Бертран, Жозеф (1849). Traité d'Arithmétique. стр. 203. Несоизмеримое число может быть определено только указанием того, как выражаемая им величина может быть образована посредством единицы. В дальнейшем мы предполагаем, что это определение состоит в указании того, какие соизмеримые числа меньше или больше его ....
2. Спалт, Детлеф (2019). Eine kurze Geschichte der Analysis . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-662-57816-2. ISBN 978-3-662-57815-5.
3. Dedekind, Richard (1872). Непрерывность и иррациональные числа (PDF) . Раздел IV. Всякий раз, когда мы имеем дело с сечением, произведенным никаким рациональным числом, мы создаем новое иррациональное число, которое мы считаем полностью определенным этим сечением... . Поэтому отныне каждому определенному сечению соответствует определенное рациональное или иррациональное число...
4. Во второй строке можно заменить на без разницы, так как нет решения для и уже запрещено первым условием. Это приводит к эквивалентному выражению ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle >}$ ${\displaystyle x^{2}=2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle b=0}$

   ${\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}>2{\text{ and }}b>0\}.}$

5. Р. Энгелькинг, Общая топология, I.3
6. Джун-Ити Нагата, Современная общая топология, Второе пересмотренное издание, Теорема VIII.2, стр. 461. На самом деле, теорема верна в случае обобщенных упорядоченных пространств, но в этом более общем случае следует учитывать псевдощели.
7. Аллинг, Норман Л. (1987). Основы анализа над сюрреальными числовыми полями . Математические исследования 141. Северная Голландия. ISBN 0-444-70226-1.

Ссылки

• Дедекинд, Ричард, Очерки теории чисел , «Непрерывность и иррациональные числа», Dover Publications: Нью-Йорк, ISBN 0-486-21010-3 . Также доступно на Project Gutenberg. 

Внешние ссылки

• «Разрез Дедекинда», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]