Связь Галуа

В математике , особенно в теории порядка , связь Галуа — это особое соответствие (обычно) между двумя частично упорядоченными множествами (Чуст-множествами). Связи Галуа находят применение в различных математических теориях. Они обобщают фундаментальную теорему теории Галуа о соответствии между подгруппами и подполями , открытую французским математиком Эваристом Галуа .

Связность Галуа также может быть определена на заранее упорядоченных множествах или классах ; в этой статье представлен общий случай частично упорядоченных наборов. В литературе встречаются два тесно связанных понятия «связи Галуа». В этой статье мы будем называть их (монотонными) связями Галуа и антитонными связями Галуа .

Связность Галуа довольно слаба по сравнению с порядковым изоморфизмом между задействованными частично упорядоченными множествами, но каждая связность Галуа приводит к изоморфизму определенных подмножеств, как будет объяснено ниже. Термин «соответствие Галуа» иногда используется для обозначения биективной связи Галуа ; это просто изоморфизм порядка (или изоморфизм двойственного порядка, в зависимости от того, берем ли мы монотонные или антитонные связности Галуа).

Определения

(Монотонное) Связь Галуа

Пусть $(A, \leq )$ и $(B, \leq )$ — два частично упорядоченных множества . Монотонная связь Галуа между этими ЧУМ состоит из двух монотонных ^[1] функций : $F : A \to B$ и $G : B \to A$ , таких, что для всех $a$ в $A$ и $b$ в $B$ имеем

F (а) \leq б

тогда и только тогда, когда

а \leq G (б)

В этой ситуации $F$ называется нижним сопряженным к $G$ , а $G$ называется верхним сопряженным к F . Мнемонически верхняя/нижняя терминология относится к тому месту, где появляется приложение функции относительно ≤. ^[2] Термин «сопряженный» относится к тому факту, что монотонные связи Галуа являются особыми случаями пар сопряженных функторов в теории категорий , как обсуждается ниже. Другая терминология, встречающаяся здесь, — это левый сопряженный (соответственно правый сопряженный ) для нижнего (соответственно верхнего) сопряженного.

Существенным свойством связности Галуа является то, что верхний/нижний сопряженный связности Галуа однозначно определяет другую:

F (a)

— наименьший элемент

~ б

a \leq G (~ б)

, и

G (b)

— самый большой элемент

~ а

F (~ а) \leq б

Следствием этого является то, что если $F$ или $G$ взаимно однозначны , то каждый из них является инверсией другого, т.е. $F = G -1$ .

Учитывая связность Галуа с нижним сопряженным $F$ и верхним сопряженным $G$ , мы можем рассмотреть композиции $GF : A \to A$ , известные как ассоциированный оператор замыкания , и $FG : B \to B$ , известные как ассоциированный оператор ядра. Оба монотонны и идемпотентны , и мы имеем $a \leq GF (a)$ для всех $a$ в $A$ и $FG (b) \leq b$ для всех $b$ в $B.$

Вставка Галуа B в A $-$ это связность Галуа, в которой ядерный оператор $FG$ является тождественным на $B$ , и, следовательно, $G$ является $порядковым$ изоморфизмом $B$ на множество замкнутых элементов $GF$ [ $A$ ] из $A.$ ^[3]

Связь с Антитоном Галуа

Приведенное выше определение сегодня распространено во многих приложениях и широко распространено в теории решеток и доменов . Однако исходное понятие теории Галуа немного отличается. В этом альтернативном определении связь Галуа представляет собой пару антитонов , то есть изменяющих порядок функций $F : A \to B$ и $G : B \to A$ между двумя частично упорядоченными множествами $A$ и $B$ , такие, что

б \leq F (а)

тогда и только тогда, когда

а \leq G (б)

Симметрия $F$ и $G$ в этой версии стирает различие между верхней и нижней, и эти две функции тогда называются полярностями , а не сопряженными. ^[4] Каждая полярность однозначно определяет другую, поскольку

F (a)

— наибольший элемент

b

a \leq G (b)

, и

G (b)

— наибольший элемент

a

b \leq F (a)

Композиции $GF : A \to A$ и $FG : B \to B$ являются ассоциированными операторами замыкания; это монотонные идемпотентные отображения со свойством a $⩽ GF (a) для$ всех $a$ в $A$ и $b ⩽ FG (b)$ для всех $b$ в $B.$

Последствия двух определений связей Галуа очень похожи, поскольку антитонная связь Галуа между $A$ и $B$ - это просто монотонная связь Галуа между $A$ и двойственным порядком $B op$ $B$ . Таким образом, все приведенные ниже утверждения о связях Галуа можно легко преобразовать в утверждения об антитонных связях Галуа.

Примеры

Монотонные связи Галуа

Силовой набор; импликация и союз

В качестве примера теории порядка пусть $U$ — некоторое множество , а $A$ и $B$ — степенное множество U $,$ упорядоченное по включению . Выберите фиксированное подмножество $L$ из $U$ . Тогда отображения $F$ и $G$ , где $F (M) = L \cap M$ и $G ( N ) = N ∪ ( U \ L )$ , образуют монотонную связность Галуа, причем $F$ является нижним сопряженным. Подобную связность Галуа, нижний сопряженный которой задается операцией встречи ( нижней границы ), можно найти в любой алгебре Гейтинга . В частности, оно присутствует в любой булевой алгебре , где два отображения могут быть описаны как $F (x) = (a \land x)$ и $G (y) = (y \lor \neg a) = (a \Rightarrow y)$ . Говоря логическим языком: «вывод из $a$ » является верхним сопряженным к «соединению с $a$ ».

Решетки

Дальнейшие интересные примеры связностей Галуа описаны в статье о свойствах полноты . Грубо говоря, оказывается, что обычные функции ∨ и ∧ являются нижним и верхним сопряжениями к диагональному отображению $X \to X \times X$ . Наименьший и наибольший элементы частичного порядка задаются нижним и верхним сопряженными к единственной функции $X \to {1}.$ Идя дальше, даже полные решетки можно охарактеризовать наличием подходящих сопряженных. Эти соображения создают некоторое впечатление о повсеместном распространении связей Галуа в теории порядка.

Транзитивные групповые действия

Пусть $G$ действует транзитивно на $X$ и выбирает некоторую точку $x$ в $X$ . Учитывать

{\mathcal {B}}=\{B\subseteq X:x\in B;\forall g\in G,gB=B\ \mathrm {or} \ gB\cap B=\emptyset \},

набор блоков , содержащих $x$ . Далее, пусть состоит из подгрупп группы $G$ $,$ содержащих стабилизатор x . ${\mathcal {G}}$

Далее переписка : ${\mathcal {B}}\to {\mathcal {G}}$

B\mapsto H_{B}=\{g\in G:gx\in B\}

является монотонной взаимно однозначной связностью Галуа. ^[5] Как следствие , можно установить, что дважды транзитивные действия не имеют блоков, кроме тривиальных (одиночных элементов или всего $X$ ): это следует из того, что в этом случае стабилизаторы максимальны в $G.$ См. дальнейшее обсуждение в разделе «Дважды транзитивная группа» .

Изображение и обратное изображение

Если $f$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ — функция , то для любого подмножества $M$ из $X$ мы можем сформировать образ $F$ $($ $M$ $) =$ $f$ $M$ $= {$ $f$ $($ $m$ $) |$ $m$ $\in$ $M$ $}$ и для любого подмножества $N$ из $Y$ мы можем сформировать прообраз $G$ $($ $N$ $) =$ $f$ $-1$ $N$ $= {$ $x$ $\in$ $X$ $|$ $ж$ $($ $Икс$ $) \in$ $N$ $}.$ Тогда $F$ и $G$ образуют монотонную связь Галуа между набором степеней $X$ и набором степеней $Y$ , упорядоченными по включению ⊆. В этой ситуации существует еще одна сопряженная пара: для подмножества $M$ из $X$ определите $H$ $($ $M$ $) = {$ $y$ $\in$ $Y$ $|$ $ж$ $-1$ ${$ $у$ $} \subseteq$ $М$ $}.$ Тогда $G$ и $H$ образуют монотонную связь Галуа между набором степеней $Y$ и набором степеней $X$ . В первой связности Галуа $G$ является верхним сопряженным, а во второй связности Галуа — нижним сопряженным.

В случае фактор-отображения между алгебраическими объектами (такими как группы ) эта связь называется теоремой о решетке : подгруппы $G$ соединяются с подгруппами $G / N$ , а оператор замыкания на подгруппах $G$ задается формулой $H = HN$ .

Пролет и закрытие

Выберите некоторый математический объект $X$ , который имеет базовый набор , например, группу, кольцо , векторное пространство и т. д. Для любого подмножества $S$ $X$ $пусть$ F ( $S$ $)$ $будет$ $наименьшим$ подобъектом X , который содержит $S$ , т.е. подгруппу , подкольцо . или подпространство , порожденное $S$ . Для любого подобъекта $U$ в $X$ пусть $G$ $($ $U$ $)$ будет базовым множеством $U.$ (Мы можем даже считать $X$ топологическим пространством , пусть $F$ $($ $S$ $)$ — замыканием S , а в качестве «подобъектов $X$ » — замкнутые подмножества X. ) Теперь $F и G$ $образуют$ монотонную $связь$ Галуа между $подмножествами$ $X.$ и подобъекты $X$ , если оба упорядочены путем включения. $F$ – нижний сопряженный.

Синтаксис и семантика

Очень общий комментарий Уильяма Лоувера ^[6] заключается в том, что синтаксис и семантика сопряжены: возьмите $A$ за множество всех логических теорий (аксиоматизаций), обратно упорядоченных по силе, а $B$ за степенной набор множества всех математических структур. Для теории $T \in A$ пусть $Mod(T)$ — множество всех структур, удовлетворяющих аксиомам $T$ ; для набора математических структур $S \in B$ пусть $Th(S)$ будет минимумом аксиоматизаций, аппроксимирующих $S$ (в логике первого порядка это набор предложений, которые истинны во всех структурах из $S$ ). Тогда мы можем сказать, что $S$ является подмножеством $Mod(T)$ тогда и только тогда, когда $Th(S)$ логически влечет за собой $T$ : «семантический функтор» $Mod$ и «синтаксический функтор» $Th$ образуют монотонную связь Галуа, причем семантика является верхней примыкающий.

Связи с Антитоном Галуа

Теория Галуа

Мотивирующий пример взят из теории Галуа: предположим, что $L / K$ — расширение поля . Пусть $A$ — множество всех подполей $L$ , содержащих $K$ , упорядоченных по включению ⊆. Если $E$ такое подполе, напишите $Gal(L / E)$ для группы полевых автоморфизмов L $,$ которые фиксируют $E.$ Пусть $B$ — множество подгрупп $Gal(L / K)$ , упорядоченных по включению ⊆. Для такой подгруппы $G$ определите $Fix(G)$ как поле, состоящее из всех элементов $L$ , которые удерживаются фиксированными всеми элементами $G$ . Тогда отображения $E \mapsto Gal(L / E)$ и $G \mapsto Fix(G)$ образуют антитонную связность Галуа.

Алгебраическая топология: покрытие пространств

Аналогично, для линейно-связного топологического пространства $X$ существует антитонная связь Галуа между подгруппами фундаментальной $группы$ π $1 (X) и$ линейно-связными накрывающими пространствами X . В частности, если $X$ полулокально односвязно , то для каждой подгруппы $G$ группы $π$ $1$ $($ $X$ $)$ существует накрывающее пространство, фундаментальной группой которого является $G.$

Линейная алгебра: аннуляторы и ортогональные дополнения

Учитывая внутреннее пространство $V$ , мы можем сформировать ортогональное дополнение $F (X)$ любого подпространства $X$ из $V.$ Это дает антитонную связь Галуа между множеством подпространств $V$ и самим собой, упорядоченную путем включения; обе полярности равны $F$ .

Учитывая векторное пространство $V$ и подмножество $X$ в $V$ , мы можем определить его аннулятор $F (X)$ , состоящий из всех элементов двойственного пространства $V *$ к $V$ , которые обращаются в нуль на $X.$ Аналогично, учитывая подмножество $Y$ из $V *$ , мы определяем его аннулятор $G (Y) = {x \in V | φ (Икс) знак равно 0 \forall φ \in Y}.$ Это дает антитонную связь Галуа между подмножествами $V$ и подмножествами $V *$ .

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии связь между множествами многочленов и их нулевыми множествами представляет собой антитонную связь Галуа.

Зафиксируйте натуральное число $n$ и поле $K$ , и пусть $A$ — множество всех подмножеств кольца многочленов $K [X 1, ..., X n]$ , упорядоченных включением ⊆, и пусть $B$ — множество всех подмножеств кольца $K n$ упорядочено по включению ⊆. Если $S$ — набор полиномов, определите многообразие нулей как

V(S)=\{x\in K^{n}:f(x)=0{\mbox{для всех }}f\in S\},

множество общих нулей многочленов из $S$ . Если $U$ — подмножество $Kn$ , определите $I (U)$ как идеал полиномов, исчезающих на $U$ $,$ то есть

I(U)=\{f\in K[X_{1},\dots,X_{n}]:f(x)=0{\mbox{для всех }}x\in U\}.

Тогда $V$ и I образуют антитонную связь Галуа.

Замыкание на Kn $есть$ замыкание в топологии Зарисского , а если поле $K$ алгебраически замкнуто , $то$ замыкание на кольце многочленов есть радикал идеала, порождённый $S.$

В более общем смысле, учитывая коммутативное кольцо $R$ (не обязательно полиномиальное кольцо), существует антитонная связь Галуа между радикальными идеалами в кольце и подмногообразиями аффинного многообразия $Spec (R)$ .

В более общем смысле существует антитонная связь Галуа между идеалами в кольце и подсхемами соответствующего аффинного многообразия .

Связности на степенных множествах, возникающие из бинарных отношений.

Предположим, что $X$ и $Y$ — произвольные множества и задано бинарное отношение $R$ над $X$ и $Y.$ Для любого подмножества $M$ из $X$ мы определяем $F (M) = {y \in Y | mRy \forall m \in M}.$ Аналогично, для любого подмножества $N$ из $Y$ определите $G (N) = {x \in X | xRn \forall n \in N}.$ Тогда $F$ и $G$ образуют антитонную связь Галуа между множествами степеней $X$ и $Y$ , упорядоченными по включению ⊆. ^[7]

Таким образом с точностью до изоморфизма возникают все антитонные связи Галуа между степенными множествами. Это следует из «Основной теоремы о концептуальных решетках». ^[8] Теория и приложения связей Галуа, возникающих из бинарных отношений, изучаются в анализе формальных понятий . Это поле использует связи Галуа для математического анализа данных. Многие алгоритмы связностей Галуа можно найти в соответствующей литературе, например, в ^{[9] .}

Характеристики

Далее мы рассматриваем (монотонную) связность Галуа $f$ $= ($ $f$ $*$ $,$ $f$ $*$ $)$ , где $f$ $*$ $:$ $A$ $\to$ $B$ — нижний сопряженный элемент, введенный выше. Некоторые полезные и поучительные основные свойства можно получить сразу. По определяющему свойству связностей Галуа $f$ $*$ $($ $x$ $) \leq$ $f$ $*$ $($ $x$ $)$ эквивалентно $x$ $\leq$ $f$ $*$ $($ $f$ $*$ $($ $x$ $))$ для всех $x$ в $A$ . По аналогичным рассуждениям (или просто применив принцип двойственности для теории порядка ) можно найти, что $f$ $*$ $($ $f$ $*$ $($ $y$ $)) ⩽$ $y$ для всех $y$ в $B$ . Эти свойства можно описать, сказав, что композит $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ является дефляционным , а $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ является инфляционным (или экстенсивным ).

Теперь рассмотрим $x, y \in A$ такие, что $x \leq y$ . Затем, используя вышеизложенное, получаем $x \leq f * (f * (y))$ . Применяя основное свойство связностей Галуа, теперь можно заключить, что $f$ $*$ $($ $x$ $) \leq$ $f$ $*$ $($ $y$ $)$ . Но это как раз и показывает, что $f$ $*$ сохраняет порядок любых двух элементов, т.е. является монотонной. Опять же, аналогичные рассуждения приводят к монотонности $f$ $*$ . Таким образом, монотонность не обязательно включать в определение явно. Однако упоминание монотонности помогает избежать путаницы в отношении двух альтернативных понятий связностей Галуа.

Другим основным свойством связностей Галуа является тот факт, что f $*$ $($ $f$ $*$ $($ $f$ $*$ $($ $x$ $)$ $)) =$ $f$ $*$ $($ $x$ $)$ для всех $x$ в $B.$ Очевидно, мы находим, что

ж * (ж * (ж * (Икс))) \geq ж * (Икс)

потому что $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ является инфляционным, как показано выше. С другой стороны, поскольку $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ является дефляционным, а $f$ $*$ монотонным, получается, что

ж * (ж * (ж * (Икс))) \leq ж * (Икс)

Это показывает желаемое равенство. Более того, мы можем использовать это свойство, чтобы заключить, что

ж * (ж * (ж * (ж * (Икс)))) знак равно ж * (ж * (Икс))

ж * (ж * (ж * (ж * (Икс)))) знак равно ж * (ж * (Икс))

т. е . $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ и $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ идемпотентны .

Можно показать (доказательства см. у Блита или Эрне), что функция $f$ является нижним (соответственно верхним) сопряженным тогда и только тогда, когда $f$ является остаточным отображением (соответственно остаточным отображением). Следовательно, понятия результирующего отображения и монотонной связности Галуа по существу совпадают.

Операторы замыкания и связности Галуа

Приведенные выше выводы можно резюмировать следующим образом: для связности Галуа композиция $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ является монотонной (являющейся композицией монотонных функций), инфляционной и идемпотентной. Это означает, что $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ на самом деле является оператором замыкания на $A$ . Двойственным образом $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ монотонно, дефляционно и идемпотентно. Такие отображения иногда называют операторами ядра . В контексте фреймов и локалей композиция $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ называется ядром , индуцированным $f$ . Ядра индуцируют гомоморфизмы репера; подмножество локали называется сублокалем, если оно задано ядром.

И наоборот , любой оператор замыкания $c$ в некотором частично упорядоченном множестве $A$ приводит к связности Галуа с нижним сопряженным $f$ $*$ , являющимся просто ко-сужением $c$ на образ $c$ (т.е. как сюръективное отображение системы замыкания $c$ $($ $A$ $)$ ). Тогда верхнее сопряженное $f$ $*$ задается включением c ( $A$ $)$ $в$ A $,$ которое отображает каждый замкнутый элемент в себя, рассматриваемый $как$ элемент $A.$ Таким образом, операторы замыкания и связи Галуа кажутся тесно связанными, каждый из которых определяет экземпляр другого. Аналогичные выводы справедливы и для операторов ядра.

Приведенные выше соображения также показывают, что замкнутые элементы $A$ (элементы $x$ с $f$ $*$ $($ $f$ $*$ $($ $x$ $)) =$ $x$ ) отображаются в элементы в пределах диапазона оператора ядра $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ , и наоборот.

Существование и уникальность связностей Галуа.

Другое важное свойство связностей Галуа состоит в том, что нижние сопряженные сохраняют все верхние числа , существующие в пределах их области определения . Двойственным образом верхние сопряженные сохраняют все существующие infima . Из этих свойств можно также сразу сделать вывод о монотонности сопряженных. Теорема о присоединенном функторе для теории порядка утверждает, что обратная импликация также справедлива в некоторых случаях: в частности, любое отображение между полными решетками , сохраняющее все верхние точки, является нижним сопряженным связностью Галуа.

В этой ситуации важной особенностью связностей Галуа является то, что одно сопряженное однозначно определяет другое. Следовательно, можно усилить приведенное выше утверждение, чтобы гарантировать, что любое сохраняющее супремум отображение между полными решетками является нижним сопряженным к единственной связности Галуа. Основным свойством, позволяющим получить эту уникальность, является следующее: для каждого x $в$ A $f$ $*$ $($ $x$ $)$ $является$ наименьшим элементом $y$ из $B$ таким, что $x$ $\leq$ $f$ $*$ $($ $y$ $)$ . Двойственно, для любого $y$ в $B$ $f$ $*$ $($ y $)$ — это наибольший $x$ в $A$ такой, что $f$ $*$ $($ $x$ $)$ $⩽$ $y$ . Существование определенной связи Галуа теперь подразумевает существование соответствующих наименьших или наибольших элементов, независимо от того, удовлетворяют ли соответствующие частично упорядоченные множества каким-либо свойствам полноты . Таким образом, когда дан один верхний сопряженный связности Галуа, другой верхний сопряженный может быть определен с помощью этого же свойства.

С другой стороны, некоторая монотонная функция $f$ является сопряженной снизу тогда и только тогда, когда каждое множество вида ${$ $x$ $\in$ $A$ $|$ $f$ $($ $x$ $) \leq$ $b$ $}$ для $b$ в $B$ содержит наибольший элемент. Опять же, это можно дуализировать для верхнего сопряженного.

Связности Галуа как морфизмы

Связи Галуа также предоставляют интересный класс отображений между частично упорядоченными множествами, которые можно использовать для получения категорий частично упорядоченных множеств. В частности, можно составить связи Галуа: учитывая связи Галуа $(f *, f *)$ между частично упорядоченными множествами $A$ и $B$ и $(g *, g *)$ между $B$ и $C$ , композиция $(g * \circ f *, f * \circ g *)$ также является связностью Галуа. При рассмотрении категорий полных решеток это можно упростить до рассмотрения только отображений, сохраняющих все супремумы (или, альтернативно, инфимы). Сопоставляя полные решетки с их двойниками, эти категории демонстрируют автодвойственность , которая весьма важна для получения других теорем двойственности. Более специальные виды морфизмов , которые вызывают присоединенные отображения в другом направлении, — это морфизмы, обычно рассматриваемые для фреймов (или локалей).

Связь с теорией категорий

Каждое частично упорядоченное множество можно естественным образом рассматривать как категорию: существует уникальный морфизм x в y тогда и только тогда, когда $x ⩽ y$ . Тогда монотонная связность Галуа представляет собой не что иное, как пару сопряженных функторов между двумя категориями, возникающими из частично упорядоченных множеств. В этом контексте верхнее сопряженное является правым , а нижнее — левым . Однако этой терминологии избегают для связей Галуа, поскольку было время, когда ЧУПы трансформировались в категории двойным способом, т. е. с морфизмами, указывающими в противоположном направлении. Это привело к дополнительным обозначениям левого и правого сопряженных, которые сегодня неоднозначны.

Приложения в теории программирования

Связи Галуа могут использоваться для описания многих форм абстракции в теории абстрактной интерпретации языков программирования . ^[10]^[11]

Примечания

^ Монотонность следует из следующего условия. Смотрите обсуждение свойств. В определении четко указано только отличие его от альтернативного определения антитона . Можно также определить связи Галуа как пару монотонных функций, которые удовлетворяют более мягкому условию, что для всех $x$ в $A$ , $x ⩽ g (f (x))$ и для всех $y$ в $B$ , $f (g (y)) ⩽ y$ .
^ Гирц, с. 23
^ Бистарелли, Стефано (2004). Полукольца для решения и программирования мягких ограничений . Конспекты лекций по информатике. Том. 2962. Шпрингер-Верлаг . п. 102. arXiv : cs/0208008 . дои : 10.1007/978-3-540-25925-1_8. ISBN 3-540-21181-0. ISSN 0302-9743.
^ Галатос, с. 145
^ См. Альперин, Белл, Группы и представления (GTM 162), с. 32
^ Уильям Ловер , Сопряженность в основаниях, Диалектика, 1969, доступно здесь. Сегодня обозначения другие; более простое введение Питера Смита в этих конспектах лекций, в которых эта концепция также соотносится с цитируемой статьей.
^ Биркгоф, 1-е издание (1940): §32, 3-е издание (1967): Гл. V, §7 и §8
^ Гантер, Б. и Вилле, Р. Анализ формальных концепций - математические основы , Springer (1999), ISBN 978-3-540-627715
^ Гантер, Б. и Объедков, С. Концептуальное исследование , Springer (2016), ISBN 978-3-662-49290-1
^ Патрик Кусо; Радия Кусо (январь 1977 г.). «Абстрактная интерпретация: унифицированная решетчатая модель для статического анализа программ путем построения или аппроксимации фиксированных точек» (PDF) . Учеб. 4-й симпозиум ACM по принципам языков программирования (POPL) . стр. 238–252.
Контрпример к ложной теореме в разделе 7 (стр. 243 вверху справа) см.: Йохен Бургхардт; Флориан Каммюллер; Джефф В. Сандерс (декабрь 2000 г.). Изоморфизм вложений Галуа (Технический отчет). Том. 122. ГМД . п. 9-14. ISSN 1435-2702.(Однако в исходной статье рассматриваются только полные решетки)
^ Патрик Кусо; Радия Кусо (январь 1979 г.). «Систематическое проектирование структур программного анализа» (PDF) . Учеб. 6-й симпозиум ACM. по принципам языков программирования (POPL) . АКМ Пресс. стр. 269–282.