Альфред Тарский ( / ˈ t ɑːr s k i / , урожденный Альфред Тейтельбаум ; [1] [2] [3] 14 января 1901 — 26 октября 1983 ) — американский логик и математик польского происхождения . [5] Плодовитый автор, наиболее известный своими работами по теории моделей , метаматематике и алгебраической логике , он также внес вклад в абстрактную алгебру , топологию , геометрию , теорию меры , математическую логику , теорию множеств и аналитическую философию .
Получив образование в Польше в Варшавском университете и член Львовско -Варшавской школы логики и Варшавской школы математики , он иммигрировал в Соединенные Штаты в 1939 году, где стал натурализованным гражданином в 1945 году. Тарский преподавал и проводил исследования. изучал математику в Калифорнийском университете в Беркли с 1942 года до своей смерти в 1983 году .
Его биографы Анита Бурдман Феферман и Соломон Феферман заявляют, что «вместе со своим современником Куртом Гёделем он изменил облик логики в двадцатом веке, особенно благодаря своей работе над концепцией истины и теорией моделей». [7]
Альфред Тарский родился Альфред Тейтельбаум ( польское написание: «Тайтелбаум») в семье польских евреев , живущих в комфортных условиях. Впервые свои математические способности он проявил во время учебы в средней школе, в Варшавской школе Мазовецкой . [8] Тем не менее, в 1918 году он поступил в Варшавский университет , намереваясь изучать биологию . [9]
После восстановления независимости Польши в 1918 году Варшавский университет перешел под руководство Яна Лукасевича , Станислава Лесневского и Вацлава Серпинского и быстро стал ведущим мировым исследовательским учреждением в области логики, фундаментальной математики и философии математики. Лесневский признал потенциал Тарского как математика и призвал его отказаться от биологии. [9] С тех пор Тарский посещал курсы Лукасевича, Серпинского, Стефана Мазуркевича и Тадеуша Котарбинского , а в 1924 году стал единственным человеком, когда-либо получившим докторскую степень под руководством Лесневского. Его диссертация называлась « О примитивном термине логистики » , опубликована в 1923 году. Тарский и Лесневский вскоре охладели друг к другу, главным образом из-за растущего антисемитизма последнего. [7] Однако в более позднем возрасте Тарский оставил самые теплые похвалы Котарбинскому, на что ему ответили взаимностью.
В 1923 году Альфред Тейтельбаум и его брат Вацлав сменили фамилию на «Тарский». Братья Тарские также обратились в католицизм , доминирующую религию в Польше. Альфред сделал это, хотя был признанным атеистом . [10] [11]
Став самым молодым человеком, когда-либо получившим докторскую степень в Варшавском университете, Тарский преподавал логику в Польском педагогическом институте, математику и логику в университете и работал ассистентом Лукасевича. Поскольку эти должности плохо оплачивались, Тарский также преподавал математику в варшавской средней школе; [12] До Второй мировой войны европейские интеллектуалы исследовательского уровня нередко преподавали в средней школе. Таким образом, между 1923 годом и отъездом в Соединенные Штаты в 1939 году Тарский не только написал несколько учебников и множество статей, многие из которых были новаторскими, но и делал это, зарабатывая на жизнь, главным образом, преподаванием математики в средней школе. В 1929 году Тарский женился на своей коллеге-учительнице Марии Витковской, поляке католического происхождения. Она работала курьером в армии во время польско-советской войны . У них было двое детей; сын Ян Тарский, ставший физиком, и дочь Ина, вышедшая замуж за математика Анджея Эренфойхта . [13]
Тарский подал заявку на должность кафедры философии во Львовском университете , но по рекомендации Бертрана Рассела она была присуждена Леону Хвистеку . [14] В 1930 году Тарский посетил Венский университет , читал лекции на коллоквиуме Карла Менгера и встретился с Куртом Гёделем . Благодаря стипендии он смог вернуться в Вену в первой половине 1935 года, чтобы работать с исследовательской группой Менгера. Из Вены он отправился в Париж, чтобы представить свои идеи об истине на первом собрании движения « Единство науки» , выросшего из Венского кружка . На академическую карьеру Тарского в Польше сильно и неоднократно влияло его наследие. Например, в 1937 году Тарский подал заявку на должность кафедры в Познанском университете , но кафедру упразднили, чтобы не передать ее Тарскому (который, несомненно, был самым сильным претендентом), потому что он был евреем. [15] Связи Тарского с движением «Единство науки», вероятно, спасли ему жизнь, поскольку они привели к тому, что его пригласили выступить на Конгрессе «Единство науки», состоявшемся в сентябре 1939 года в Гарвардском университете . Таким образом, он покинул Польшу в августе 1939 года на последнем корабле, отправившемся из Польши в Соединенные Штаты до вторжения Германии и СССР в Польшу и начала Второй мировой войны . Тарский ушел неохотно, потому что Лесневский умер за несколько месяцев до этого, образовав вакансию, которую Тарский надеялся заполнить. Не обращая внимания на нацистскую угрозу, он оставил жену и детей в Варшаве. Он не видел их снова до 1946 года. Во время войны почти вся его еврейская большая семья была убита немецкими оккупационными властями.
Оказавшись в США, Тарский занимал ряд временных преподавательских и исследовательских должностей: в Гарвардском университете (1939), Городском колледже Нью-Йорка (1940), а благодаря стипендии Гуггенхайма — в Институте перспективных исследований в Принстоне (1942), где он снова встретил Гёделя. В 1942 году Тарский поступил на математический факультет Калифорнийского университета в Беркли , где и провёл остаток своей карьеры. Тарский стал американским гражданином в 1945 году . кандидатов до своей смерти. [17] В Беркли Тарский приобрел репутацию поразительного и требовательного учителя, и этот факт отмечали многие наблюдатели:
Его семинары в Беркли быстро стали известны в мире математической логики. Его ученики, многие из которых стали выдающимися математиками, отмечали потрясающую энергию, с которой он уговаривал и уговаривал их получить лучшие работы, всегда требуя высочайших стандартов ясности и точности. [18]
Тарский был экстравертом, сообразительным, волевым, энергичным и острым на язык. Он предпочитал совместные исследования — иногда работал всю ночь с коллегой — и очень разборчиво относился к приоритетам. [19]
Харизматичный лидер и учитель, известный своим блестяще точным, но в то же время напряженным стилем изложения, Тарский предъявлял пугающе высокие требования к ученикам, но в то же время он мог очень воодушевлять, особенно женщин, — в отличие от общей тенденции. Некоторые студенты были напуганы, но кружок учеников остался, многие из которых стали всемирно известными лидерами в этой области. [20]
Тарский руководил двадцатью четырьмя докторами философии. диссертации, включая (в хронологическом порядке) диссертации Анджея Мостовского , Бьярни Йонссона , Джулии Робинсон , Роберта Вота , Соломона Фефермана , Ричарда Монтегю , Джеймса Дональда Монка, Хаима Гейфмана , Дональда Пигоцци и Роджера Мэддукса , а также Чена Чунг Чанга и Джерома Кейслера . , авторы «Теории моделей» (1973), [21] — классический текст в этой области. [22] [23] Он также сильно повлиял на диссертации Альфреда Линденбаума, Даны Скотт и Стивена Гиванта. Пять студентов Тарского были женщинами, что примечательно, учитывая, что в то время мужчины составляли подавляющее большинство аспирантов. [23] Однако у него были внебрачные связи как минимум с двумя из этих студентов. После того, как он показал еще одну свою ученицу [ кто? ] работа коллеге-мужчине [ кто? ] , коллега опубликовал это сам, в результате чего она бросила аспирантуру, а затем перешла в другой университет и к другому научному руководителю. [24]
Тарский читал лекции в Университетском колледже Лондона (1950, 1966), Институте Анри Пуанкаре в Париже (1955), Институте фундаментальных научных исследований Миллера в Беркли (1958–60), Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе (1967), и Папский католический университет Чили (1974–75). Среди многих наград, полученных за свою карьеру, Тарский был избран в Национальную академию наук США , Британскую академию и Королевскую нидерландскую академию искусств и наук в 1958 году, [25] получил почетные степени Папского католического университета Чили в 1975 году, из Марсельского университета Поля Сезанна в 1977 году и из Университета Калгари , а также из Беркли Citation в 1981 году. Тарский председательствовал в Ассоциации символической логики в 1944–46 годах и в Международном союзе истории и философии. науки, 1956–57. Он также был почетным редактором журнала Algebra Universalis . [26]
Математические интересы Тарского были исключительно широки. Его собрание статей насчитывает около 2500 страниц, большинство из них посвящено математике, а не логике. Краткий обзор математических и логических достижений Тарского, сделанный его бывшим учеником Соломоном Феферманом, см. в «Интерлюдиях I–VI» у Фефермана и Фефермана. [27]
Первая статья Тарского, опубликованная, когда ему было 19 лет, была посвящена теории множеств , предмету, к которому он возвращался на протяжении всей своей жизни. [28] В 1924 году он и Стефан Банах доказали, что, если принять аксиому выбора , шар можно разрезать на конечное число частей, а затем снова собрать в шар большего размера или, альтернативно, его можно снова собрать в два шара, каждый из которых равен размеру исходного. Этот результат теперь называется парадоксом Банаха-Тарского . [29]
В книге «Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии » Тарский с помощью метода исключения кванторов показал , что теория действительных чисел первого порядка при сложении и умножении разрешима . (Хотя этот результат появился только в 1948 году, он датируется 1930 годом и упоминался у Тарского (1931).) Это очень любопытный результат, поскольку Алонсо Чёрч доказал в 1936 году, что арифметика Пеано (теория натуральных чисел ) неразрешима . . Арифметика Пеано также является неполной по теореме Гёделя о неполноте . В своей книге «Неразрешимые теории» 1953 года Тарский и др. показал, что многие математические системы, включая теорию решеток , абстрактную проективную геометрию и алгебры замыканий , неразрешимы. Теория абелевых групп разрешима, а теория неабелевых групп — нет.
В 1920-30-е годы Тарский часто преподавал в средней школе геометрию . [ где? Используя некоторые идеи Марио Пьери , в 1926 году Тарский разработал оригинальную аксиоматизацию плоской евклидовой геометрии , значительно более краткую, чем аксиоматизация Гильберта . [30] Аксиомы Тарского образуют теорию первого порядка, лишенную теории множеств, индивидуумы которой являются точками и имеющую только два примитивных отношения . В 1930 году он доказал, что эта теория разрешима, поскольку ее можно отобразить в другую теорию, разрешимость которой он уже доказал, а именно в его теорию действительных чисел первого порядка.
В 1929 году он показал, что большая часть евклидовой твердотельной геометрии может быть преобразована в теорию второго порядка, индивидуумы которой представляют собой сферы ( примитивное понятие ), в которых «содержится» одно примитивное бинарное отношение и две аксиомы, которые, среди прочего, подразумевают это сдерживание частично упорядочивает сферы. Ослабление требования, чтобы все индивиды были сферами, приводит к формализации мереологии, которую гораздо легче изложить, чем вариант Лесневского . Ближе к концу своей жизни Тарский написал очень длинное письмо, опубликованное под названием «Тарский и Гивант» (1999), в котором подвел итог своей работе по геометрии. [31]
Кардинальные алгебры изучали алгебры, модели которых включают арифметику кардинальных чисел . Порядковые алгебры представляют собой алгебру для аддитивной теории порядковых типов . Кардинальное, но не порядковое сложение коммутирует.
В 1941 году Тарский опубликовал важную статью о бинарных отношениях , положившую начало работе по алгебре отношений и ее метаматематике , которая занимала Тарского и его учеников большую часть его жизни. Хотя это исследование (и тесно связанная с ним работа Роджера Линдона ) выявило некоторые важные ограничения алгебры отношений, Тарский также показал (Тарски и Гивант, 1987), что алгебра отношений может выражать большую часть аксиоматической теории множеств и арифметики Пеано . Введение в алгебру отношений см. в Maddux (2006). В конце 1940-х годов Тарский и его ученики разработали цилиндрические алгебры , которые для логики первого порядка являются тем же, чем двухэлементная булева алгебра для классической логики предложений . Кульминацией этой работы стали две монографии Тарского, Хенкина и Монка (1971, 1985). [32]
Ученик Тарского, Роберт Лоусон Воут , включил Тарского в число четырех величайших логиков всех времен — наряду с Аристотелем , Готтлобом Фреге и Куртом Гёделем . [7] [33] [34] Однако Тарский часто выражал большое восхищение Чарльзом Сандерсом Пирсом , особенно за его новаторскую работу в области логики отношений .
Тарский разработал аксиомы для логических выводов и работал над дедуктивными системами , алгеброй логики и теорией определимости. Его семантические методы, кульминацией которых стала теория моделей, которую он и ряд его студентов из Беркли разработали в 1950-х и 60-х годах, радикально изменили теоретико-доказательную метаматематику Гильберта. Примерно в 1930 году Тарский разработал абстрактную теорию логических выводов, моделирующую некоторые свойства логических исчислений. Математически то, что он описал, — это просто оператор финитного замыкания множества (множества предложений ). В абстрактной алгебраической логике операторы финитного замыкания до сих пор изучаются под названием «оператор следствия» , который был придуман Тарским. Множество S представляет собой набор предложений, подмножество T теории S , а cl( T ) — это набор всех предложений, которые следуют из теории. Этот абстрактный подход был применен к нечеткой логике (см. Gerla 2000).
По мнению [Тарского], метаматематика стала похожа на любую математическую дисциплину. Его концепции и результаты можно не только математизировать, но и фактически интегрировать в математику. ... Тарский разрушил грань между метаматематикой и математикой. Он возражал против ограничения роли метаматематики основами математики. [35]
В статье Тарского 1936 года «О концепции логического следствия» утверждалось, что вывод аргумента будет логически следовать из его посылок тогда и только тогда, когда каждая модель посылок является моделью заключения. [36] В 1937 году он опубликовал статью, в которой четко изложил свои взгляды на природу и цель дедуктивного метода, а также на роль логики в научных исследованиях. [28] Его преподавание логики и аксиоматики в средней школе и бакалавриате завершилось классическим коротким текстом, опубликованным сначала на польском языке, затем в немецком переводе и, наконец, в английском переводе 1941 года под названием « Введение в логику и методологию дедуктивных наук» . [37]
В книге Тарского «Истина и доказательство» 1969 года рассматривались как теоремы Гёделя о неполноте , так и теорема Тарского о неопределимости , а также размышлялись их последствия для аксиоматического метода в математике.
В 1933 году Тарский опубликовал на польском языке очень длинную статью под названием «Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych», [38] «Изложение математического определения истины для формальных языков». Немецкий перевод 1935 года назывался «Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen», «Концепция истины в формализованных языках», иногда сокращаемая до «Wahrheitsbegriff». Английский перевод появился в первом издании тома « Логика, семантика, метаматематика» 1956 года . Этот сборник статей с 1923 по 1938 год является событием в аналитической философии 20-го века , вкладом в символическую логику , семантику и философию языка . Краткое обсуждение его содержания см. в Конвенции Т (а также Т-схеме ).
Некоторые недавние [ когда? Философские дебаты исследуют, в какой степени теорию истины Тарского для формализованных языков можно рассматривать как корреспондентную теорию истины . Дебаты сосредоточены на том, как интерпретировать условие Тарского о материальной адекватности истинного определения. Это условие требует, чтобы теория истинности имела следующие теоремы для всех предложений p языка, для которого определяется истина:
(где p — предложение, выраженное буквой «p»)
Спор сводится к тому, следует ли читать предложения такой формы, например:
Выражение «Снег бел» истинно тогда и только тогда, когда снег бел.
как выражение просто дефляционной теории истины или как воплощение истины как более существенного свойства (см. Kirkham 1992). Важно понимать, что теория истины Тарского предназначена для формализованных языков, поэтому примеры на естественном языке не являются иллюстрациями [ почему? ] использования теории истины Тарского. [ нужна цитата ]
В 1936 году Тарский опубликовал польскую и немецкую версии лекции «О концепции логического следования» [39] , которую он прочитал годом ранее на Международном конгрессе научной философии в Париже. Новый английский перевод этой статьи Тарский (2002), подчеркивает многочисленные различия между немецкой и польской версиями статьи и исправляет ряд неправильных переводов у Тарского (1983) [39] .
Эта публикация [ какая? ] изложил современное теоретико-модельное определение (семантического) логического следствия или, по крайней мере, основу для него. Была ли идея Тарского полностью современной, зависит от того, намеревался ли он допускать модели с различными областями (и, в частности, модели с областями различной мощности ). [ нужна цитация ] Этот вопрос является предметом некоторых дебатов в настоящее время [ когда? ] философская литература. Джон Этчеменди стимулировал большую часть недавней дискуссии о подходе Тарского к различным областям. [40]
Тарский заканчивает, указывая, что его определение логического следствия зависит от разделения терминов на логические и внелогические, и выражает некоторый скептицизм по поводу того, что такое объективное разделение произойдет. «Что такое логические понятия?» таким образом, можно рассматривать как продолжение «О концепции логического следствия». [ нужна цитата ]
Еще одна теория о привлечении внимания Тарского в последнее время [ когда? ] философская литература - это то, что изложено в его книге «Что такое логические понятия?» (Тарский 1986). Это опубликованная версия выступления, которое он произнес первоначально в 1966 году в Лондоне, а затем в 1973 году в Буффало ; его отредактировал без его прямого участия Джон Коркоран . Эта статья стала самой цитируемой статьей в журнале History and Philosophy of Logic . [41]
В докладе Тарский предложил разграничить логические операции (которые он называет «понятиями») от нелогических. Предложенные критерии были выведены из Эрлангенской программы немецкого математика XIX века Феликса Кляйна . Маутнер (в 1946 году) и, возможно, [ нужны разъяснения ] статья португальского математика Хосе Себастьяна и Силвы предвосхитили Тарского в применении Эрлангенской программы к логике. [ нужна цитата ]
Эта программа [ какая? ] классифицировал различные виды геометрии ( евклидову геометрию , аффинную геометрию , топологию и др.) по типу одно-единственного преобразования пространства в себя, оставляющего объекты этой геометрической теории инвариантными. (Преобразование «один к одному» — это функциональное отображение пространства на самого себя, так что каждая точка пространства связана с другой точкой пространства или отображается в нее. Итак, «поверните на 30 градусов» и «увеличьте в раз». из 2» являются интуитивными описаниями простых однородных преобразований «один-один».) Непрерывные преобразования порождают объекты топологии, преобразования подобия объектам евклидовой геометрии и так далее. [ нужна цитата ]
По мере того как диапазон допустимых преобразований становится шире, диапазон объектов, которые можно различить, сохраняя их путем применения преобразований, становится уже. Преобразования подобия довольно узки (они сохраняют относительное расстояние между точками) и, таким образом, позволяют нам отличать относительно многие объекты (например, равносторонние треугольники от неравносторонних треугольников). Непрерывные преобразования (которые интуитивно можно рассматривать как преобразования, допускающие неравномерное растяжение, сжатие, изгиб и скручивание, но не разрывание или склеивание) позволяют нам отличить многоугольник от кольца ( кольца с отверстием в центре), но не позволяют нам отличить два полигона друг от друга. [ нужна цитата ]
Предложение Тарского [ какое? ] заключалось в разграничении логических понятий путем рассмотрения всех возможных однозначных преобразований ( автоморфизмов ) области на себя. Под областью понимается вселенная дискурса модели семантической теории логики. Если кто-то отождествляет значение истинности True с набором доменов и значение истинности False с пустым набором, то следующие операции считаются логическими в рамках предложения:
В каком-то смысле настоящее предложение является противоположностью предложению Линденбаума и Тарского (1936), которые доказали, что все логические операции « Principia Mathematica » Бертрана Рассела и Уайтхеда инвариантны относительно взаимно-однозначных преобразований области в сам. Настоящее предложение также используется Тарским и Гивантом (1987). [42]
Соломон Феферман и Ванн МакГи далее обсудили предложение Тарского [ какое? ] в работе, опубликованной после его смерти. Феферман (1999) поднимает проблемы для этого предложения и предлагает решение: заменить сохранение Тарского автоморфизмами сохранением произвольными гомоморфизмами . По сути, это предложение позволяет обойти трудности, с которыми сталкивается предложение Тарского при рассмотрении одинаковости логических операций в различных областях заданной мощности и в областях различной мощности. Предложение Фефермана приводит к радикальному ограничению логических терминов по сравнению с первоначальным предложением Тарского. В частности, в конечном итоге логическими считаются только те операторы стандартной логики первого порядка, которые не имеют тождества. [ нужна цитата ]
Ванн МакГи (1996) дает точное описание того, какие операции являются логическими в смысле предложения Тарского с точки зрения выразимости на языке, который расширяет логику первого порядка, допуская сколь угодно длинные соединения и дизъюнкции, а также количественную оценку произвольного числа переменных. «Произвольно» включает в себя счетную бесконечность. [43]
