Курт Фридрих Гёдель ( / ˈ ɡ ɜːr d əl / GUR -dəl , [2] немецкий: [kʊʁt ˈɡøːdl̩] ⓘ ; 28 апреля 1906 — 14 января 1978) — логик,математикифилософ. Считающийся наряду сАристотелемиГоттлобом Фрегеодним из самых значительных логиков в истории, Гёдель оказал огромное влияние на научное и философское мышление в 20 веке, в то время, когда другие, такие какБертран Рассел,[3] Альфред Норт Уайтхед,[ 3]иДэвид Гильбертиспользовалилогикуитеорию множествдля исследованияоснов математики, основываясь на более ранних работах таких ученых, какРихард Дедекинд,Георг КанториГоттлоб Фреге.
Открытия Гёделя в основах математики привели к доказательству его теоремы о полноте в 1929 году в рамках его диссертации на получение докторской степени в Венском университете и публикации теорем Гёделя о неполноте два года спустя, в 1931 году. Первая теорема о неполноте утверждает, что для любой ω-согласованной рекурсивной аксиоматической системы, достаточно мощной для описания арифметики натуральных чисел (например, арифметики Пеано ), существуют истинные утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью аксиом. [4] Чтобы доказать это, Гёдель разработал метод, ныне известный как нумерация Гёделя , который кодирует формальные выражения как натуральные числа. Вторая теорема о неполноте, вытекающая из первой, утверждает, что система не может доказать свою непротиворечивость. [5]
Гёдель также показал, что ни аксиома выбора , ни гипотеза континуума не могут быть опровергнуты принятой теорией множеств Цермело-Френкеля , если предположить, что ее аксиомы непротиворечивы. Первый результат открыл математикам возможность использовать аксиому выбора в своих доказательствах. Он также внес важный вклад в теорию доказательств , прояснив связи между классической логикой , интуиционистской логикой и модальной логикой .
Гёдель родился 28 апреля 1906 года в Брюнне, Австро-Венгрия (ныне Брно , Чехия ), в немецкоязычной семье Рудольфа Гёделя (1874–1929), управляющего директора и совладельца крупной текстильной фирмы. Марианна Гёдель ( урожденная Хандшу, 1879–1966). [6] На момент его рождения в городе было немецкоязычное большинство, в том числе и его родители. [7] Его отец был католиком, а мать была протестанткой, и дети были воспитаны как протестанты. Предки Курта Гёделя часто принимали активное участие в культурной жизни Брюнна. Например, его дед Йозеф Гёдель был известным в свое время певцом и в течение нескольких лет был членом Brünner Männergesangverein (Мужской хоровой союз Брюнна). [8]
Гёдель автоматически стал гражданином Чехословакии в 12 лет, когда Австро-Венгерская империя распалась после ее поражения в Первой мировой войне . По словам его одноклассника Клепетара , как и многие жители преимущественно немецких Судетских земель , «Гёдель всегда считал себя австрийцем и изгнанником в Чехословакии». [9] В феврале 1929 года он был освобожден от чехословацкого гражданства, а затем, в апреле, получил австрийское гражданство. [10] Когда Германия аннексировала Австрию в 1938 году, Гёдель автоматически стал гражданином Германии в возрасте 32 лет. В 1948 году, после Второй мировой войны , в возрасте 42 лет он стал гражданином Америки. [11]
В семье юного Гёделя из-за его ненасытного любопытства прозвали герр Варум («Мистер Зачем»). По словам его брата Рудольфа, в возрасте шести или семи лет Курт заболел ревматизмом ; он полностью выздоровел, но на всю оставшуюся жизнь оставался убежденным, что его сердце необратимо повреждено. Начиная с четырех лет, Гёдель страдал от «частых приступов плохого здоровья», которые продолжались всю его жизнь. [12]
Гёдель посещал Evangelische Volksschule , лютеранскую школу в Брюнне с 1912 по 1916 год, а с 1916 по 1924 год был зачислен в Deutsches Staats-Realgymnasium , отличившись с отличием по всем предметам, особенно по математике, языкам и религии. Хотя Гёдель сначала преуспел в языках, позже он стал больше интересоваться историей и математикой. Его интерес к математике возрос, когда в 1920 году его старший брат Рудольф (род. 1902) уехал в Вену , где посещал медицинскую школу Венского университета . В подростковом возрасте Гёдель изучал стенографию Габельсбергера , [13] и критику Исаака Ньютона , а также труды Иммануила Канта . [14]
В 18 лет Гёдель присоединился к своему брату в Венском университете . Он уже освоил математику университетского уровня. [15] Хотя первоначально он намеревался изучать теоретическую физику , он также посещал курсы по математике и философии. [16] За это время он усвоил идеи математического реализма . Он читал « Метафизические исследования природы» Канта и участвовал в Венском кружке с Морицем Шликом , Гансом Ханом и Рудольфом Карнапом . Затем Гёдель изучал теорию чисел , но когда он принял участие в семинаре Морица Шлика , на котором изучалась книга Бертрана Рассела «Введение в математическую философию» , он заинтересовался математической логикой . По мнению Гёделя, математическая логика была «наукой, предшествующей всем остальным, которая содержит идеи и принципы, лежащие в основе всех наук». [17]
Посещение лекции Давида Гильберта в Болонье о полноте и непротиворечивости математических систем, возможно, определило жизненный путь Гёделя. В 1928 году Гильберт и Вильгельм Акерманн опубликовали Grundzüge der theoretischen Logik ( «Принципы математической логики »), введение в логику первого порядка , в котором была поставлена проблема полноты: «Достаточно ли аксиом формальной системы, чтобы вывести каждое утверждение, которое является верно во всех моделях системы?" [18]
Эта проблема стала темой, которую Гёдель выбрал для своей докторской работы. [18] В 1929 году, в возрасте 23 лет, он защитил докторскую диссертацию под руководством Ханса Хана. В ней он установил свою одноименную теорему о полноте относительно логики первого порядка . [18] Ему была присуждена докторская степень в 1930 году, [18] и его диссертация (сопровождаемая дополнительной работой) была опубликована Венской академией наук .
Достижение Курта Гёделя в современной логике уникально и монументально — на самом деле это больше, чем памятник, это веха, которая останется видимой далеко в пространстве и времени. ... Предмет логики, конечно, полностью изменил свою природу и возможности с достижением Гёделя.
- Джон фон Нейман [19]
В 1930 году Гёдель присутствовал на Второй конференции по эпистемологии точных наук , проходившей в Кенигсберге 5–7 сентября. Здесь он изложил свои теоремы о неполноте . [20]
Гёдель опубликовал свои теоремы о неполноте в книге « Über formally unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme » (названной на английском языке « О формально неразрешимых утверждениях принципов математики и родственных систем »). В этой статье он доказал для любой вычислимой аксиоматической системы , достаточно мощной для описания арифметики натуральных чисел (например, аксиом Пеано или теории множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора ), что:
Эти теоремы положили конец полувековым попыткам, начавшимся с работы Готлоба Фреге и завершившимся «Началами математики » и «Программой Гильберта» , найти неотносительно непротиворечивую аксиоматизацию, достаточную для теории чисел (которая должна была послужить основой для других областей теории чисел). математика).
Идея, лежащая в основе теоремы о неполноте, проста. Гёдель построил формулу, утверждающую, что она недоказуема в данной формальной системе. Если бы это было доказуемо, это было бы ложью. Таким образом, всегда будет хотя бы одно истинное, но недоказуемое утверждение. То есть для любого вычислимо перечислимого набора аксиом арифметики (то есть набора, который в принципе может быть распечатан идеализированным компьютером с неограниченными ресурсами) существует формула, которая верна для арифметики, но недоказуема в этой системе. . Чтобы сделать это точным, Гёделю пришлось разработать метод кодирования (в виде натуральных чисел) утверждений, доказательств и концепции доказуемости; он сделал это с помощью процесса, известного как нумерация Гёделя .
В своей двухстраничной статье Zum intuitionistischen Aussagenkalkül (1932) Гёдель опроверг конечнозначность интуиционистской логики . В доказательстве он неявно использовал то, что позже стало известно как промежуточная логика Гёделя – Даммета (или нечеткая логика Гёделя ).
Гёдель получил степень магистра в Вене в 1932 году, а в 1933 году стал там приват-доцентом (неоплачиваемым лектором). В 1933 году к власти в Германии пришёл Адольф Гитлер , и в последующие годы влияние нацистов возросло в Австрии и среди венских математиков. В июне 1936 года Мориц Шлик , семинар которого пробудил интерес Гёделя к логике, был убит одним из его бывших учеников, Иоганном Нельбеком . Это спровоцировало у Гёделя «тяжелый нервный кризис». [21] У него развились параноидальные симптомы, в том числе страх быть отравленным, и он провел несколько месяцев в санатории по поводу нервных заболеваний. [22]
В 1933 году Гёдель впервые побывал в США, где встретил Альберта Эйнштейна , который стал его хорошим другом. [23] Он выступил с речью на ежегодном собрании Американского математического общества . В течение этого года Гёдель также развил идеи вычислимости и рекурсивных функций до такой степени, что смог прочитать лекцию об общих рекурсивных функциях и концепции истины. Эта работа была развита в теории чисел с использованием нумерации Гёделя .
В 1934 году Гёдель прочитал серию лекций в Институте перспективных исследований (IAS) в Принстоне, штат Нью-Джерси , под названием «О неразрешимых утверждениях формальных математических систем ». Стивен Клини , который только что защитил докторскую диссертацию в Принстоне, сделал записи этих лекций, которые впоследствии были опубликованы.
Осенью 1935 года Гёдель снова посетил ИАС. Путешествия и тяжелая работа утомили его, и в следующем году он взял перерыв, чтобы оправиться от депрессивного эпизода. Он вернулся к преподаванию в 1937 году. За это время он работал над доказательством непротиворечивости аксиомы выбора и гипотезы континуума ; Далее он показал, что эти гипотезы нельзя опровергнуть с помощью общей системы аксиом теории множеств.
Он женился на Адель Нимбурски (урожденная Поркерт, 1899–1981), которую он знал более 10 лет, 20 сентября 1938 года. Родители Гёделя были против их отношений, потому что она была разведенной танцовщицей и на шесть лет старше его.
Впоследствии он уехал в очередной визит в Соединенные Штаты, проведя осень 1938 года в ИАС и опубликовав « Согласованность аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств» [24] классика современной математики. . В этой работе он представил конструируемую вселенную — модель теории множеств , в которой существуют только те множества, которые можно построить из более простых множеств. Гёдель показал, что как аксиома выбора (AC), так и обобщенная гипотеза континуума (GCH) верны в конструируемой вселенной и, следовательно, должны быть совместимыми с аксиомами Цермело – Френкеля для теории множеств (ZF). Этот результат имел серьезные последствия для работающих математиков, поскольку это означает, что они могут принять аксиому выбора при доказательстве теоремы Хана-Банаха . Пол Коэн позже построил модель ZF, в которой AC и GCH являются ложными; вместе эти доказательства означают, что AC и GCH независимы от аксиом ZF теории множеств.
Весну 1939 года Гёдель провел в Университете Нотр-Дам . [25]
После аншлюса 12 марта 1938 года Австрия стала частью нацистской Германии . Германия отменила звание приват-доцента , поэтому Гёделю пришлось претендовать на другую должность в соответствии с новым приказом. Его прежние связи с еврейскими членами Венского кружка, особенно с Ханом, играли против него. Венский университет отклонил его заявку.
Его затруднительное положение усугубилось, когда немецкая армия признала его годным к призыву. Вторая мировая война началась в сентябре 1939 года. Еще до конца года Гёдель и его жена уехали из Вены в Принстон . Чтобы избежать трудностей, связанных с пересечением Атлантического океана, Гёдели поехали по Транссибирской магистрали в Тихий океан, отплыли из Японии в Сан-Франциско (которого они достигли 4 марта 1940 года), а затем пересекли США на поезде до Принстона. Там Гёдель принял должность в Институте перспективных исследований (IAS), который он ранее посещал в 1933–34 годах. [26]
Альберт Эйнштейн в это время также жил в Принстоне. Гёдель и Эйнштейн подружились и, как известно, вместе совершали длительные прогулки в Институт перспективных исследований и обратно. Характер их разговоров оставался загадкой для остальных членов Института. Экономист Оскар Моргенштерн вспоминает, что к концу своей жизни Эйнштейн признался, что «его собственная работа больше не имела большого значения, что он пришел в Институт просто… чтобы иметь честь идти домой с Гёделем». [27]
Гёдель и его жена Адель провели лето 1942 года в Блю-Хилл, штат Мэн , в гостинице Blue Hill Inn на вершине залива. Гёдель не просто отдыхал, но и провел очень продуктивное лето на работе. Используя Heft 15 [том 15] еще неопубликованных Arbeitshefte [рабочих тетрадей] Гёделя , Джон В. Доусон-младший предполагает, что Гёдель обнаружил доказательство независимости аксиомы выбора от теории конечных типов, ослабленной формы теории множеств, находясь в Блю-Хилле в 1942 году. Близкий друг Гёделя Хао Ван поддерживает эту гипотезу, отмечая, что записные книжки Гёделя в Блю-Хилле содержат его наиболее подробное рассмотрение проблемы.
5 декабря 1947 года Эйнштейн и Моргенштерн сопровождали Гёделя на экзамене на гражданство США , где они выступали в качестве свидетелей. Гёдель признался им, что обнаружил несоответствие в Конституции США , которое может позволить США стать диктатурой; с тех пор это было названо лазейкой Гёделя . Эйнштейн и Моргенштерн были обеспокоены тем, что непредсказуемое поведение их друга могло поставить под угрозу его заявку. Судьей оказался Филип Форман , который знал Эйнштейна и давал присягу на слушании по делу о гражданстве Эйнштейна. Все шло гладко, пока Форман случайно не спросил Гёделя, думает ли он, что в США может возникнуть диктатура, подобная нацистскому режиму, а затем Гёдель начал объяснять свое открытие Форману. Форман понял, что происходит, прервал Гёделя и перевел слушание на другие вопросы и рутинное заключение. [28] [29]
Гёдель стал постоянным членом Института перспективных исследований в Принстоне в 1946 году. Примерно в это же время он прекратил публиковаться, хотя продолжал работать. Он стал профессором института в 1953 году и почетным профессором в 1976 году .
Во время учебы в институте интересы Гёделя обратились к философии и физике. В 1949 году он продемонстрировал существование решений, включающих замкнутые времениподобные кривые , для уравнений поля Эйнштейна в общей теории относительности . [31] Говорят, что он подарил эту разработку Эйнштейну на его 70-летие. [32] Его «вращающиеся вселенные» позволили бы путешествовать во времени в прошлое и заставили Эйнштейна усомниться в своей собственной теории. Его решения известны как метрика Гёделя (точное решение уравнения поля Эйнштейна ).
Он изучал работы Готфрида Лейбница и восхищался ими, но пришел к выводу, что враждебный заговор привел к запрету некоторых работ Лейбница. [33] В меньшей степени он изучал Иммануила Канта и Эдмунда Гуссерля . В начале 1970-х годов Гёдель распространил среди своих друзей разработку лейбницевской версии онтологического доказательства существования Бога Ансельма Кентерберийского . Теперь это известно как онтологическое доказательство Гёделя .
Гёдель был награжден (вместе с Джулианом Швингером ) первой премией Альберта Эйнштейна в 1951 году, а также был награжден Национальной медалью науки в 1974 году. [34] Гёдель был избран постоянным членом Американского философского общества в 1961 году и иностранным членом Королевское общество (ForMemRS) в 1968 году . [35] [1] Он был пленарным спикером ICM в 1950 году в Кембридже, штат Массачусетс. [36]
Позже в своей жизни Гёдель переживал периоды психической нестабильности и болезней. После убийства своего близкого друга Морица Шлика [37] у Гёделя развился навязчивый страх быть отравленным , и он ел только пищу, приготовленную его женой Адель. Адель попала в больницу в конце 1977 года, и в ее отсутствие Гёдель отказывался есть; [38] он весил 29 килограммов (65 фунтов), когда умер от «недоедания и истощения , вызванного расстройством личности» в Принстонской больнице 14 января 1978 года . [39] Он был похоронен на Принстонском кладбище . Адель умерла в 1981 году. [40]
Гёдель считал, что Бог [41] личностн, и называл свою философию «рационалистической, идеалистической, оптимистической и теологической». [42]
Гёдель верил в загробную жизнь, говоря: «Конечно, это предполагает, что существует множество отношений, о которых сегодняшняя наука и общепринятая мудрость не имеют ни малейшего представления. Но я убежден в этом [загробной жизни] независимо от какой-либо теологии». «Сегодня можно с помощью чистого рассуждения понять», что это «полностью соответствует известным фактам». «Если мир устроен рационально и имеет смысл, то должна существовать такая вещь [как загробная жизнь]». [43]
В неотправленном ответе на анкету Гёдель описал свою религию как «крещеную лютеранскую веру (но не член какой-либо религиозной общины). Моя вера теистическая , а не пантеистическая , и я следую Лейбницу , а не Спинозе ». [44] О религии в целом он сказал: «Религии по большей части плохие, но религия - нет». [45] По словам его жены Адель, «Хотя он и не ходил в церковь, он был религиозен и читал Библию в постели каждое воскресное утро», [46] будучи приверженцем ислама , он сказал: «Мне нравится ислам: это последовательная [или последовательная] идея религии и непредвзятости». [47]
Дуглас Хофштадтер написал в 1979 году книгу «Гедель, Эшер, Бах» , чтобы прославить работу и идеи Гёделя, М. К. Эшера и Иоганна Себастьяна Баха . Он частично исследует последствия того факта, что теорема Гёделя о неполноте может быть применена к любой полной по Тьюрингу вычислительной системе, которая может включать человеческий мозг .
Общество Курта Гёделя , основанное в 1987 году, является международной организацией, занимающейся продвижением исследований в области логики, философии и истории математики . В Венском университете находится Исследовательский центр математической логики Курта Гёделя. Ассоциация символической логики проводит ежегодную лекцию Гёделя каждый год, начиная с 1990 года. Философские тетради Гёделя, архивированные 14 мая 2019 года в Wayback Machine , редактируются в Исследовательском центре Курта Гёделя. Архивировано 14 мая 2019 года в Wayback Machine , который находится в Берлинско-Бранденбургской академии наук и гуманитарных наук в Германии.
Вышло в свет пять томов собрания сочинений Гёделя. Первые два включают его публикации; третий включает неопубликованные рукописи из его Нахласа , а последние два включают переписку.
В 2005 году Джон Доусон опубликовал биографию Гёделя « Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя» ( AK Peters , Wellesley, MA, ISBN 1-56881-256-6 ). Книга Стивена Будянски о жизни Гёделя « Путешествие на грани разумного: жизнь Курта Гёделя» ( WW Norton & Company , Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN 978-0-393-35820-9 ) была опубликована в New York Times. Лучшая книга критиков 2021 года. [48]
Гёдель также был одним из четырех математиков, рассмотренных в документальном фильме BBC «Опасные знания» Дэвида Мэлоуна в 2008 году . [49]
Премия Гёделя вручается ежегодно за выдающуюся работу в области теоретической информатики.
В фильме 2023 года «Оппенгеймер » Гёдель, которого играет Джеймс Урбаниак , ненадолго появляется, прогуливаясь с Эйнштейном в садах Принстона.
На немецком:
По-английски:
В английском переводе:
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )Весной 1939 года на математическом факультете Университета Нотр-Дам ... в течение одного семестра принимал Курта Гёделя.
У Гёделя было счастливое детство, и его семья называла его «мистер Почему» из-за его многочисленных вопросов. Он был крещен как лютеранин и оставался теистом (верующим в личного Бога) на протяжении всей своей жизни.
