Теория множеств Цермело – Френкеля

Стандартная система аксиоматической теории множеств

В теории множеств теория множеств Цермело-Френкеля , названная в честь математиков Эрнста Цермело и Авраама Френкеля , представляет собой аксиоматическую систему , которая была предложена в начале двадцатого века, чтобы сформулировать теорию множеств, свободную от парадоксов, таких как парадокс Рассела . Сегодня теория множеств Цермело-Френкеля, включающая исторически спорную аксиому выбора (AC), является стандартной формой аксиоматической теории множеств и, как таковая, является наиболее распространенной основой математики . Теория множеств Цермело-Френкеля с включенной аксиомой выбора сокращенно ZFC , где C означает «выбор», ^[1] и ZF относится к аксиомам теории множеств Цермело-Френкеля с исключенной аксиомой выбора.

Неформально ^[2] теория множеств Цермело-Френкеля призвана формализовать одно примитивное понятие — наследственное обоснованное множество , так что все сущности во вселенной дискурса являются такими множествами. Таким образом, аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля относятся только к чистым множествам и не позволяют ее моделям содержать урэлементы (элементы множеств, которые сами по себе не являются множествами). Более того, правильные классы (коллекции математических объектов, определяемые свойством, общим для их членов, где коллекции слишком велики, чтобы их можно было рассматривать как наборы) можно обрабатывать только косвенно. В частности, теория множеств Цермело-Френкеля не допускает ни существования универсального множества (множества, содержащего все множества), ни неограниченного понимания , тем самым избегая парадокса Рассела. Теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя (НБГ) – это широко используемое консервативное расширение теории множеств Цермело–Френкеля, которое допускает явную трактовку собственных классов.

Существует множество эквивалентных формулировок аксиом теории множеств Цермело – Френкеля. Большинство аксиом утверждают существование определенных множеств, определенных из других множеств. Например, аксиома спаривания гласит, что для любых двух наборов существует новый набор , содержащий ровно и . Другие аксиомы описывают свойства членства во множестве. Цель аксиом состоит в том, что каждая аксиома должна быть истинной, если ее интерпретировать как утверждение о совокупности всех множеств во вселенной фон Неймана (также известной как кумулятивная иерархия). Формально ZFC — односортная теория в логике первого порядка . Сигнатура имеет равенство и единственное примитивное бинарное отношение , предназначенное для формализации членства в множестве , которое обычно обозначается как . Формула означает, что набор является членом множества (что также читается как « является элементом » или « находится в »). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle a\in b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Метаматематика теории множеств Цермело – Френкеля широко изучается. Знаменательные результаты в этой области установили логическую независимость аксиомы выбора от остальных аксиом Цермело-Френкеля (см. Аксиома выбора § Независимость ) и гипотезы континуума от ZFC. Непротиворечивость такой теории, как ZFC, не может быть доказана внутри самой теории, как показывает вторая теорема Гёделя о неполноте .

История

Современное исследование теории множеств было инициировано Георгом Кантором и Рихардом Дедекиндом в 1870-х годах. Однако открытие парадоксов в наивной теории множеств , таких как парадокс Рассела , привело к стремлению к более строгой форме теории множеств, свободной от этих парадоксов.

В 1908 году Эрнст Цермело предложил первую аксиоматическую теорию множеств — теорию множеств Цермело . Однако, как впервые отметил Абрахам Френкель в письме Цермело в 1921 году, эта теория была неспособна доказать существование определенных множеств и кардинальных чисел , существование которых считалось само собой разумеющимся большинством теоретиков множеств того времени, особенно кардинального числа и количественных чисел. set где – любое бесконечное множество и – операция набора мощности . ^[3] Более того, одна из аксиом Цермело задействовала концепцию «определенного» свойства, операционное значение которого не было ясно. В 1922 году Френкель и Торальф Скулем независимо друг от друга предложили использовать «определенное» свойство как свойство, которое можно сформулировать как правильно сформированную формулу в логике первого порядка , атомарные формулы которой были ограничены набором членства и идентичности. Они также независимо предложили заменить схему аксиом спецификации на схему аксиом замены . Присоединение этой схемы, а также аксиомы регулярности (впервые предложенной Джоном фон Нейманом ) ^[4] к теории множеств Цермело дает теорию, обозначенную ZF . Добавление к ZF аксиомы выбора (AC) или эквивалентного ей утверждения дает ZFC. ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \{Z_{0},{\mathcal {P}}(Z_{0}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0}))),...\},}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Аксиомы

Существует множество эквивалентных формулировок аксиом ZFC; обсуждение этого вопроса см. в Fraenkel, Bar-Hillel & Lévy 1973. Следующий конкретный набор аксиом взят из Kunen (1980). Аксиомы сами по себе выражаются в символике логики первого порядка . Соответствующая английская проза предназначена только для помощи интуиции.

Аксиомы 1–8 образуют ZF, а аксиома 9 превращает ZF в ZFC. Следуя Кунену (1980), мы используем эквивалентную теорему о хорошем порядке вместо аксиомы выбора для аксиомы 9 .

Все формулировки ZFC предполагают, что существует хотя бы одно множество. Кунен включает аксиому, которая прямо утверждает существование множества, в дополнение к аксиомам, приведенным ниже (хотя он отмечает, что делает это только «для акцента»). ^[5] Его отсутствие здесь можно оправдать двояко. Во-первых, в стандартной семантике логики первого порядка, в которой обычно формализуется ZFC, область дискурса должна быть непустой. Следовательно, это логическая теорема логики первого порядка о том, что что-то существует, обычно выражаемая как утверждение о том, что что-то идентично самому себе . Следовательно, теоремой любой теории первого порядка является то, что что-то существует. Однако, как отмечалось выше, поскольку в предполагаемой семантике ZFC существуют только множества, интерпретация этой логической теоремы в контексте ZFC заключается в том, что некоторое множество существует. Следовательно, нет необходимости в отдельной аксиоме, утверждающей, что множество существует. Во-вторых, однако, даже если ZFC сформулирован в так называемой свободной логике , в которой с помощью одной только логики невозможно доказать существование чего-либо, аксиома бесконечности (ниже) утверждает, что бесконечное множество существует. Это подразумевает, что множество существует, и поэтому, опять же, излишне включать аксиому, утверждающую это. ${\displaystyle \exists x(x=x)}$

1. Аксиома экстенсиональности

Два множества равны (являются одним и тем же набором), если они содержат одинаковые элементы.

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}$

Обратное утверждение этой аксиомы следует из свойства подстановки равенства . ZFC построен на логике первого порядка. Некоторые формулировки логики первого порядка включают тождество; другие этого не делают. Если разновидность логики первого порядка, в которой вы строите теорию множеств, не включает равенство " ", его можно определить как сокращение следующей формулы: ^[6] ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].}$

В этом случае аксиому экстенсиональности можно переформулировать как

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall w(x\in w\Leftrightarrow y\in w)],}$

который говорит, что если и имеют одинаковые элементы, то они принадлежат одним и тем же множествам. ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

2. Аксиома регулярности (также называемая аксиомой обоснованности)

Каждое непустое множество содержит такой элемент, что и являются непересекающимися множествами . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].}$^[8]

или в современных обозначениях: ${\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).}$

Это (наряду с аксиомой спаривания) подразумевает, например, что ни одно множество не является элементом самого себя и что каждое множество имеет порядковый ранг .

3. Схема аксиом спецификации (или разделения, или ограниченного понимания)

Подмножества обычно создаются с использованием нотации построителя множеств . Например, четные целые числа могут быть построены как подмножество целых чисел, удовлетворяющих предикату сравнения по модулю : ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x\equiv 0{\pmod {2}}}$

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.}$

В общем случае подмножество множества, подчиняющееся формуле с одной свободной переменной, можно записать как: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \{x\in z:\varphi (x)\}.}$

Схема аксиом спецификации утверждает, что это подмножество всегда существует (это схема аксиом , поскольку для каждого ) существует одна аксиома . Формально, пусть – любая формула языка ZFC со всеми свободными переменными среди ( не является свободной в ). Затем: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \varphi (x,w_{1},w_{2},...,w_{n},z))].}$

Обратите внимание, что схема аксиом спецификации может строить только подмножества и не позволяет строить сущности более общего вида:

${\displaystyle \{x:\varphi (x)\}.}$

Это ограничение необходимо, чтобы избежать парадокса Рассела (пусть тогда ) и его вариантов, сопровождающих наивную теорию множеств с неограниченным пониманием . ${\displaystyle y=\{x:x\notin x\}}$ ${\displaystyle y\in y\Leftrightarrow y\notin y}$

В некоторых других аксиоматизациях ZF эта аксиома избыточна, поскольку следует из схемы аксиом замены и аксиомы пустого множества .

С другой стороны, схема аксиом спецификации может использоваться для доказательства существования пустого множества , обозначенного , если известно, что существует хотя бы одно множество (см. выше). Один из способов сделать это — использовать свойство , которого нет ни в одном наборе. Например, если существует какой-либо набор, пустой набор может быть построен как ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}.}$

Таким образом, аксиома пустого множества подразумевается девятью аксиомами, представленными здесь. Аксиома экстенсиональности подразумевает, что пустое множество уникально (не зависит от ). Обычно к языку ZFC добавляют дефиниционное расширение , добавляющее символ " ". ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \varnothing }$

4. Аксиома спаривания

Если и являются множествами, то существует набор, который содержит элементы и , например, если x = {1,2} и y = {2,3}, то z будет {{1,2},{2,3} } ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).}$

Схема аксиом спецификации должна использоваться, чтобы свести это к множеству, состоящему именно из этих двух элементов. Аксиома спаривания является частью Z, но она избыточна в ZF, поскольку она следует из схемы аксиом замены, если нам дан набор, состоящий как минимум из двух элементов. Существование множества хотя бы с двумя элементами обеспечивается либо аксиомой бесконечности , либо схемой аксиом спецификации ^{[ сомнительно ]} и аксиомой степенного множества , примененной дважды к любому множеству.

5. Аксиома объединения

Объединение элементов множества существует. Например, объединение элементов множества имеет вид ${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}.}$

Аксиома объединения гласит, что для любого набора множеств существует набор, содержащий каждый элемент, который является членом некоторого члена : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].}$

Хотя эта формула не утверждает напрямую существование , набор можно построить из приведенного выше, используя схему аксиом спецификации: ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}=\{x\in A:\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\}.}$

6. Схема аксиом замены.

Схема аксиом замены утверждает, что образ множества при любой определимой функции также попадет внутрь множества.

Формально, пусть это любая формула языка ZFC, свободные переменные которой входят в число таких, что, в частности, не являются свободными в . Затем: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n},}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\varphi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \varphi ){\bigr )}{\bigr ]}.}$

(Квантор уникальности означает существование ровно одного элемента, такого, что он следует данному утверждению. Дополнительную информацию см. в разделе Квантование уникальности .) ${\displaystyle \exists !}$

Другими словами, если отношение представляет определимую функцию , представляет ее область определения и является набором для каждого , то диапазон является подмножеством некоторого набора . Изложенную здесь форму, которая может быть больше, чем строго необходимо, иногда называют схемой аксиом коллекции . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

7. Аксиома бесконечности

Обозначим где какое- то множество. (Мы можем увидеть, что это допустимый набор, применив аксиому спаривания с так, что набор z равен ). Тогда существует множество X такое, что пустое множество , определенное аксиоматически, является членом X , и всякий раз, когда множество y является членом X , тогда оно также является членом X. ${\displaystyle S(w)}$ ${\displaystyle w\cup \{w\},}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \{w\}}$ ${\displaystyle x=y=w}$ ${\displaystyle \{w\}}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle S(y)}$

${\displaystyle \exists X\left[\exists e(\forall z\,\neg (z\in e)\land e\in X)\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

Говоря более разговорно, существует множество X , имеющее бесконечное число членов. (Однако необходимо установить, что все эти члены различны, поскольку, если два элемента одинаковы, последовательность будет циклически повторяться в конечном цикле множеств. Аксиома регулярности предотвращает это.) Минимальный набор X, удовлетворяющий аксиомой бесконечности является ординал фон Неймана ω , который также можно рассматривать как набор натуральных чисел. ${\displaystyle \mathbb {N} .}$

8. Аксиома набора мощности

По определению, множество является подмножеством множества тогда и только тогда, когда каждый элемент также является элементом : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (z\subseteq x)\Leftrightarrow (\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)).}$

Аксиома степенного множества гласит, что для любого множества существует множество , содержащее каждое подмножество : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\Rightarrow z\in y).}$

Схема аксиом спецификации затем используется для определения набора степеней как подмножества такого набора, содержащего точно подмножества : ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)=\{z\in y:z\subseteq x\}.}$

Аксиомы 1–8 определяют ZF. Часто встречаются альтернативные формы этих аксиом, некоторые из которых перечислены в Jech (2003). Некоторые аксиоматизации ZF включают аксиому, утверждающую, что пустое множество существует . Аксиомы спаривания, объединения, замены и степенного набора часто формулируются таким образом, что члены набора, существование которого утверждается, являются именно теми наборами, которые, как утверждает аксиома, должны содержать. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Для превращения ZF в ZFC добавляется следующая аксиома:

9. Аксиома упорядоченности (выбора)

Последняя аксиома, широко известная как аксиома выбора , представлена ​​здесь как свойство хорошо организованного порядка , как у Кунена (1980). Для любого множества существует бинарное отношение , которое хорошо упорядочивает . Это означает линейный порядок на таком, что каждое непустое подмножество имеет элемент, минимальный относительно . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X).}$

 Учитывая  аксиомы 1–8 , многие утверждения доказуемо эквивалентны аксиоме 9 . Самый распространенный из них заключается в следующем. Пусть множество, все члены которого непусты. Тогда существует функция от к объединению членов , называемая « функцией выбора », такая, что для всех имеется . Третья версия аксиомы, также эквивалентная, — это лемма Цорна . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\in X}$ ${\displaystyle f(Y)\in Y}$

Поскольку существование функции выбора при конечном множестве легко доказывается из аксиом 1–8 , AC имеет значение только для некоторых бесконечных множеств . AC характеризуется как неконструктивный , поскольку он утверждает существование функции выбора, но ничего не говорит о том, как эта функция выбора должна быть «построена». ${\displaystyle X}$

Мотивация через накопительную иерархию

Одной из причин использования аксиом ZFC является кумулятивная иерархия множеств, введенная Джоном фон Нейманом . ^[9] С этой точки зрения, вселенная теории множеств строится поэтапно, по одному этапу для каждого порядкового числа . На этапе 0 наборов еще нет. На каждом следующем этапе во вселенную добавляется набор, если все его элементы были добавлены на предыдущих этапах. Таким образом, пустой набор добавляется на этапе 1, а набор, содержащий пустой набор, добавляется на этапе 2. ^[10] Коллекция всех наборов, полученных таким образом на всех этапах, известна как V . Наборы в V можно организовать в иерархию, назначив каждому набору первый этап, на котором этот набор был добавлен в V.

Доказуемо, что множество находится в V тогда и только тогда, когда оно чисто и обосновано . И V удовлетворяет всем аксиомам ZFC, если класс ординалов обладает соответствующими свойствами отражения. Например, предположим, что набор x добавляется на этапе α, а это означает, что каждый элемент x был добавлен на этапе, предшествующем α. Затем каждое подмножество x также добавляется на этапе α (или до него), поскольку все элементы любого подмножества x также были добавлены до этапа α. Это означает, что любое подмножество x , которое может построить аксиома разделения, добавляется на этапе α (или до него), и что набор степеней x будет добавлен на следующем этапе после α. Полный аргумент в пользу того, что V удовлетворяет ZFC, см. в Shoenfield (1977).

Картина вселенной множеств, стратифицированных в кумулятивную иерархию, характерна для ZFC и связанных с ней аксиоматических теорий множеств, таких как теория множеств Фон Неймана-Бернейса-Гёделя (часто называемая NBG) и теория множеств Морса-Келли . Кумулятивная иерархия несовместима с другими теориями множеств, такими как «Новые основания» .

Можно изменить определение V так, чтобы на каждом этапе вместо добавления всех подмножеств объединения предыдущих этапов подмножества добавлялись только в том случае, если они определимы в определенном смысле. Это приводит к более «узкой» иерархии, что дает конструктивную вселенную L , которая также удовлетворяет всем аксиомам ZFC, включая аксиому выбора. От аксиом ZFC не зависит, будет ли V  =  L . Хотя структура L более регулярна и хорошо ведет себя, чем структура  V , немногие математики утверждают, что  V =  L следует добавить в ZFC в качестве дополнительной « аксиомы конструктивности ».

Метаматематика

Виртуальные занятия

Собственные классы (коллекции математических объектов, определенные свойством, общим для их членов, которое слишком велико для того, чтобы быть множествами) могут обрабатываться в ZF (и, следовательно, ZFC) только косвенно. Альтернативой собственным классам, оставаясь в пределах ZF и ZFC, является нотационная конструкция виртуального класса , введенная Куайном (1969), где вся конструкция y ∈ { x | F x } просто определяется как F y . ^[11] Это обеспечивает простую нотацию для классов, которые могут содержать множества, но не обязательно сами должны быть множествами, при этом не привязываясь к онтологии классов (поскольку нотация может быть синтаксически преобразована в ту, которая использует только множества). Подход Куайна основан на более раннем подходе Бернейса и Френкеля (1958). Виртуальные классы также используются в Levy (2002), Takeuti & Zaring (1982) и в реализации ZFC Metamath .

Конечная аксиоматизация

Каждая из схем аксиом замены и разделения содержит бесконечное множество примеров. Монтегю (1961) включил результат, впервые доказанный в его докторскую диссертацию 1957 года. тезис: если ZFC непротиворечив, невозможно аксиоматизировать ZFC, используя только конечное число аксиом. С другой стороны, теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя (НБГ) может быть конечно аксиоматизирована. Онтология NBG включает в себя как собственные классы , так и множества; набор — это любой класс, который может быть членом другого класса. NBG и ZFC являются эквивалентными теориями множеств в том смысле, что любая теорема , не упоминающая классы и доказуемая в одной теории, может быть доказана в другой.

Последовательность

Вторая теорема Гёделя о неполноте гласит, что рекурсивно аксиоматизируемая система, которая может интерпретировать арифметику Робинсона, может доказать свою непротиворечивость только в том случае, если она несовместима. Более того, арифметику Робинсона можно интерпретировать в общей теории множеств — небольшом фрагменте ZFC. Следовательно, непротиворечивость ZFC не может быть доказана внутри самого ZFC (если только он не является фактически несовместимым). Таким образом, в той степени, в которой ZFC отождествляется с обычной математикой, непротиворечивость ZFC не может быть продемонстрирована в обычной математике. Непротиворечивость ZFC действительно следует из существования слабо недостижимого кардинала , что недоказуемо в ZFC, если ZFC непротиворечив. Тем не менее, маловероятно, что ZFC таит в себе непредвиденное противоречие; широко распространено мнение, что если бы ZFC был непоследователен, этот факт уже был бы раскрыт. Это совершенно очевидно: ZFC невосприимчив к классическим парадоксам наивной теории множеств : парадоксу Рассела , парадоксу Бурали-Форти и парадоксу Кантора .

Абиан и Ламаккиа (1978) изучили подтеорию ZFC, состоящую из аксиом экстенсиональности, объединения, набора степеней, замены и выбора. Используя модели , они доказали непротиворечивость этой подтеории и доказали, что каждая из аксиом экстенсиональности, замены и набора степеней независима от четырех оставшихся аксиом этой подтеории. Если эту подтеорию дополнить аксиомой бесконечности, каждая из аксиом союза, выбора и бесконечности не зависит от пяти оставшихся аксиом. Поскольку существуют необоснованные модели, которые удовлетворяют каждой аксиоме ZFC, кроме аксиомы регулярности, эта аксиома не зависит от других аксиом ZFC.

Если ZFC непротиворечив, он не сможет доказать существование недоступных кардиналов , которых требует теория категорий . Огромные множества такого рода возможны, если ZF дополнить аксиомой Тарского . ^[12] Предполагая, что аксиома превращает аксиомы бесконечности , набора степеней и выбора ( 7  –  9 выше) в теоремы.

Независимость

Многие важные утверждения не зависят от ZFC (см. список утверждений, независимых от ZFC ). Независимость обычно доказывается форсированием , посредством чего показывается, что каждая счетная транзитивная модель ZFC (иногда дополненная большими кардинальными аксиомами ) может быть расширена, чтобы удовлетворить рассматриваемому утверждению. Затем показано другое расширение, удовлетворяющее отрицанию утверждения. Доказательство независимости путем принуждения автоматически доказывает независимость от арифметических утверждений, других конкретных утверждений и больших кардинальных аксиом. Можно доказать, что некоторые утверждения, независимые от ZFC, справедливы для конкретных внутренних моделей , например, в конструируемой вселенной . Однако некоторые утверждения, верные в отношении конструктивных множеств, не согласуются с предполагаемыми большими кардинальными аксиомами.

Форсирование доказывает, что следующие утверждения независимы от ZFC:

• Аксиома конструктивности (V=L) (которая также не является аксиомой ZFC)
• Гипотеза континуума
• Алмазный принцип
• Аксиома Мартина (которая не является аксиомой ZFC)
• Гипотеза Суслина

Примечания:

• Непротиворечивость V=L доказывается внутренними моделями , но не принудительно: каждую модель ZF можно обрезать, чтобы она стала моделью ZFC + V=L.
• Принцип ромба подразумевает гипотезу континуума и отрицание гипотезы Суслина.
• Аксиома Мартина плюс отрицание гипотезы континуума подразумевают гипотезу Суслина.
• Конструируемая вселенная удовлетворяет гипотезе обобщенного континуума , принципу ромба, аксиоме Мартина и гипотезе Курепы.
• Несостоятельность гипотезы Курепы равнозначна существованию сильно недоступного кардинала .

Вариацию метода принуждения можно также использовать для демонстрации непротиворечивости и недоказуемости аксиомы выбора , т. е. того, что аксиома выбора не зависит от ZF. Последовательность выбора можно (относительно) легко проверить, доказав, что внутренняя модель L удовлетворяет выбору. (Таким образом, каждая модель ZF содержит подмодель ZFC, так что Con(ZF) влечет Con(ZFC).) Поскольку принуждение сохраняет выбор, мы не можем напрямую создать модель, противоречащую выбору, из модели, удовлетворяющей выбору. Однако мы можем использовать форсирование для создания модели, которая содержит подходящую подмодель, а именно удовлетворяющую ZF, но не удовлетворяющую C.

Другой метод доказательства независимости результатов, не зависящий ни от чего, основан на второй теореме Гёделя о неполноте. Этот подход использует утверждение, независимость которого исследуется, чтобы доказать существование модели множества ZFC, и в этом случае Con(ZFC) истинно. Поскольку ZFC удовлетворяет условиям второй теоремы Гёделя, непротиворечивость ZFC в ZFC недоказуема (при условии, что ZFC действительно непротиворечива). Следовательно, ни одно утверждение, допускающее такое доказательство, не может быть доказано в ZFC. Этот метод может доказать, что существование больших кардиналов недоказуемо в ZFC, но не может доказать, что предположение о таких кардиналах с учетом ZFC не противоречит.

Предлагаемые дополнения

Проект по объединению теоретиков множеств вокруг дополнительных аксиом для разрешения гипотезы континуума или других метаматематических двусмысленностей иногда называют «программой Гёделя». ^[13] Математики в настоящее время спорят о том, какие аксиомы являются наиболее правдоподобными или «самоочевидными», какие аксиомы наиболее полезны в различных областях и о том, в какой степени полезность следует сочетать с правдоподобием; некоторые сторонники теории множеств « мультивселенной » утверждают, что полезность должна быть единственным окончательным критерием, в котором обычно принимаются аксиомы. Одна школа мысли опирается на расширение «итеративной» концепции множества для создания теоретико-множественной вселенной с интересной и сложной, но достаточно гибкой структурой путем принятия вынуждающих аксиом; другая школа выступает за более аккуратную и менее захламленную вселенную, возможно, сосредоточенную на «основной» внутренней модели. ^[14]

Критика

Критику теории множеств в целом см. в разделе « Возражения против теории множеств».

ZFC критиковали как за чрезмерную силу, так и за чрезмерную слабость, а также за неспособность охватить такие объекты, как правильные классы и универсальное множество .

Многие математические теоремы могут быть доказаны в гораздо более слабых системах, чем ZFC, таких как арифметика Пеано и арифметика второго порядка (как это исследуется программой обратной математики ). Сондерс Мак Лейн и Соломон Феферман высказали эту точку зрения. Часть «основной математики» (математика, не связанная напрямую с аксиоматической теорией множеств) находится за пределами арифметики Пеано и арифметики второго порядка, но, тем не менее, вся такая математика может быть выполнена в ZC ( теория множеств Цермело с выбором), еще одной теории, более слабой, чем ЗФК. Большая часть возможностей ZFC, включая аксиому регулярности и схему аксиом замены, включена в первую очередь для облегчения изучения самой теории множеств.

С другой стороны, среди аксиоматических теорий множеств ZFC сравнительно слаба. В отличие от новых тональных средств , ZFC не допускает существования универсального набора. Следовательно, вселенная множеств под действием ZFC не замкнута относительно элементарных операций алгебры множеств . В отличие от теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя (НБГ) и теории множеств Морса–Келли (МК), ZFC не допускает существования собственных классов . Еще одним сравнительным недостатком ZFC является то, что аксиома выбора, включенная в ZFC, слабее, чем аксиома глобального выбора , включенная в NBG и MK.

Существует множество математических утверждений, независимых от ZFC . К ним относятся гипотеза континуума , проблема Уайтхеда и гипотеза нормального пространства Мура . Некоторые из этих гипотез доказуемы с добавлением в ZFC аксиом, таких как аксиома Мартина или больших кардинальных аксиом . Некоторые другие решаются в ZF+AD, где AD — аксиома детерминированности , сильное предположение, несовместимое с выбором. Одна из привлекательных сторон больших кардинальных аксиом состоит в том, что они позволяют установить многие результаты из ZF + AD в ZFC, к которому примыкает некоторая большая кардинальная аксиома (см. Проективная детерминированность ). Система Мицара и метаматематика приняли теорию множеств Тарского-Гротендика , расширение ZFC, так что доказательства, включающие вселенные Гротендика (встречающиеся в теории категорий и алгебраической геометрии), могут быть формализованы.

Смотрите также

• Основы математики
• Внутренняя модель
• Большая кардинальная аксиома

Связанные аксиоматические теории множеств :

• Теория множеств Морса – Келли
• Теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя
• Теория множеств Тарского – Гротендика
• Конструктивная теория множеств
• Теория внутренних множеств

Примечания

1. Ciesielski 1997. «Аксиомы Цермело-Френкеля (сокращенно ZFC, где C означает аксиому выбора»
2. К. Кунен, Основы математики (стр. 10). Доступ осуществлен 26 апреля 2022 г.
3. Эббингауз 2007, с. 136.
4. Halbeisen 2011, стр. 62–63.
5. Кунен (1980, стр. 10).
6. Хэтчер 1982, с. 138, попр. 1.
7. Френкель, Бар-Гилель и Леви 1973.
8. Шенфилд 2001, с. 239.
9. Шонфилд 1977, раздел 2.
10. Хинман 2005, с. 467.
11. (Ссылка 2014)
12. Тарский 1939.
13. Феферман 1996.
14. Вулчовер 2013.

Цитируемые работы

• Абиан, Александр (1965). Теория множеств и трансфинитная арифметика . УБ Сондерс.
• ———; ЛаМаккья, Сэмюэл (1978). «О непротиворечивости и независимости некоторых теоретико-множественных аксиом». Журнал формальной логики Нотр-Дама . 19 : 155–58. дои : 10.1305/ndjfl/1093888220 .
• Бернейс, Пол; Френкель, А.А. (1958). Аксиоматическая теория множеств . Амстердам: Северная Голландия.
• Чесельский, Кшиштоф (1997). Теория множеств для работающего математика. Издательство Кембриджского университета. п. 4. ISBN 0-521-59441-3.
• Девлин, Кейт (1996) [Впервые опубликовано в 1984 году]. Радость наборов . Спрингер .
• Эббингауз, Хайнц-Дитер (2007). Эрнст Цермело: подход к его жизни и творчеству . Спрингер. ISBN 978-3-540-49551-2.
• Феферман, Соломон (1996). «Программа Гёделя для новых аксиом: почему, где, как и что?». В Гайке, Петр (ред.). Гёдель '96: Логические основы математики, информатики и физики – наследие Курта Гёделя. Спрингер-Верлаг. стр. 3–22. ISBN 3-540-61434-6..
• Френкель, Авраам ; Бар-Хилель, Иегошуа ; Леви, Азриэль (1973) [Впервые опубликовано в 1958 году]. Основы теории множеств . Северная Голландия .Последнее слово Френкеля о ZF и ZFC.
• Хальбайзен, Лоренц Дж. (2011). Комбинаторная теория множеств: с мягким введением в принуждение. Спрингер. стр. 62–63. ISBN 978-1-4471-2172-5.
• Хэтчер, Уильям (1982) [Впервые опубликовано в 1968 году]. Логические основы математики . Пергамон Пресс .
• ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета .Включает аннотированные английские переводы классических статей Цермело , Френкеля и Сколема , касающихся ZFC .
• Хинман, Питер (2005). Основы математической логики . АК Петерс . ISBN 978-1-56881-262-5.
• Джех, Томас (2003). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN 3-540-44085-2.
• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир . ISBN 0-444-86839-9.
• Леви, Азриэль (2002). Базовая теория множеств . Дуврские публикации. ISBN 048642079-5.
• Линк, Годехард (2014). Формализм и не только: о природе математического дискурса . Вальтер де Грюйтер ГмбХ & Ко КГ. ISBN 978-1-61451-829-7.
• Монтегю, Ричард (1961). «Семантическая замкнутость и неконечная аксиоматизируемость». Инфинистические методы . Лондон: Пергамон Пресс. стр. 45–69.
• Куайн, Уиллард ван Орман (1969). Теория множеств и ее логика (пересмотренная ред.). Кембридж, Массачусетс и Лондон, Англия: Издательство Belknap Press Гарвардского университета. ISBN 0-674-80207-1.
• Шонфилд, Джозеф Р. (1977). «Аксиомы теории множеств». В Barwise, KJ (ред.). Справочник по математической логике . Издательство Северной Голландии. ISBN 0-7204-2285-Х.
• Шенфилд, Джозеф Р. (2001) [Впервые опубликовано в 1967 году]. Математическая логика (2-е изд.). АК Петерс . ISBN 978-1-56881-135-2.
• Суппес, Патрик (1972) [Впервые опубликовано в 1960 году]. Аксиоматическая теория множеств . Дуврское переиздание.Возможно, лучшее изложение ZFC до независимости AC и гипотезы континуума, а также появления крупных кардиналов. Содержит множество теорем.
• Такеути, Гаиси ; Заринг, ВМ (1971). Введение в аксиоматическую теорию множеств . Спрингер-Верлаг .
• Такеути, Гаиси; Заринг, ВМ (1982). Введение в аксиоматическую теорию множеств . Спрингер. ISBN 9780387906836.
• Тарский, Альфред (1939). «О вполне упорядоченных подмножествах любого множества». Фундамента Математика . 32 : 176–83. дои : 10.4064/fm-32-1-176-783 .
• Плитка, Мэри (1989). Философия теории множеств . Дуврское переиздание.
• Турлакис, Джордж (2003). Лекции по логике и теории множеств, Vol. 2 . Издательство Кембриджского университета .
• Волховер, Натали (2013). «Чтобы разрешить спор о бесконечности, новый закон логики». Журнал Кванта ..
• Цермело, Эрнст (1908). «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I». Математические Аннален . 65 (2): 261–281. дои : 10.1007/BF01449999. S2CID  120085563.Английский перевод в Heijenoort, Jean van (1967). «Исследования по основам теории множеств». От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Справочники по истории наук. Издательство Гарвардского университета. стр. 199–215. ISBN 978-0-674-32449-7.
• Цермело, Эрнст (1930). «Über Grenzzahlen und Mengenbereiche». Фундамента Математика . 16 : 29–47. дои : 10.4064/fm-16-1-29-47 . ISSN  0016-2736.

Внешние ссылки

• Аксиомы теории множеств - Lec 02 - Фредерик Шуллер на YouTube
• «ZFC», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Статьи Джоан Багария в Стэнфордской энциклопедии философии :
  • Багария, Джоан (31 января 2023 г.). «Теория множеств». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
  • - (31 января 2023 г.). — (ред.). «Аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля». Стэнфордская энциклопедия философии .
• Метаматематическая версия аксиом ZFC — краткая и неизбыточная аксиоматизация. Фоновая логика первого порядка определена специально для облегчения машинной проверки доказательств.
  • Вывод в Metamath версии схемы разделения из версии схемы замены.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теория множеств Цермело-Френкеля». Математический мир .