Основы математики — это изучение философско -логических [1] и/или алгоритмических основ математики или, в более широком смысле, математическое исследование того, что лежит в основе философских теорий, касающихся природы математики. [2] В этом последнем смысле различие между основаниями математики и философией математики оказывается расплывчатым. Основы математики можно понимать как изучение основных математических понятий (множества, функции, геометрической фигуры, числа и т. д.) и того, как они образуют иерархии более сложных структур и понятий, особенно фундаментально важных структур, образующих язык математики. (формулы, теории и их модели , придающие смысл формулам, определениям, доказательствам, алгоритмам и т. д.), также называемые метаматематическими понятиями , с прицелом на философские аспекты и единство математики. Поиск оснований математики — центральный вопрос философии математики; Абстрактная природа математических объектов представляет собой особые философские проблемы.
«Основы математики» в целом не претендуют на то, чтобы содержать основы каждой математической темы. Как правило, основы области исследования относятся к более или менее систематическому анализу ее наиболее основных или фундаментальных концепций, ее концептуального единства и ее естественного порядка или иерархии концепций, которые могут помочь связать ее с остальной частью человеческой деятельности. знание. Развитие, возникновение и выяснение основ могут произойти на позднем этапе истории области и не всеми могут рассматриваться как ее наиболее интересная часть.
Математика играет особую роль в научной мысли, служа с древних времен образцом истины и строгости рациональных исследований и давая инструменты или даже основу для других наук (особенно физики). Многие достижения математики в направлении более высоких абстракций в XIX веке принесли с собой новые проблемы и парадоксы, требующие более глубокого и систематического изучения природы и критериев математической истины , а также объединения различных разделов математики в единое целое.
Систематический поиск основ математики начался в конце 19 века и сформировал новую математическую дисциплину, называемую математической логикой , которая позже имела прочные связи с теоретической информатикой . Она прошла через ряд кризисов с парадоксальными результатами, пока открытия не стабилизировались в течение XX века как большой и связный массив математических знаний с несколькими аспектами или компонентами ( теория множеств , теория моделей , теория доказательств и т. д.), подробные свойства которых и возможные варианты все еще являются активной областью исследований. Его высокий уровень технической сложности вдохновил многих философов на мысль, что он может служить моделью или образцом для основ других наук.
Хотя практика математики ранее развивалась в других цивилизациях, особый интерес к ее теоретическим и фундаментальным аспектам был явно очевиден в работах древних греков.
Ранние греческие философы спорили о том, что является более фундаментальным: арифметика или геометрия. Зенон Элейский (490 – ок. 430 до н. э.) выдвинул четыре парадокса, которые, кажется, показывают невозможность перемен. Пифагорейская школа математики первоначально настаивала на том, что существуют только натуральные и рациональные числа. Открытие иррациональности √ 2 , отношения диагонали квадрата к его стороне (около V века до н. э.) было для них шоком, который они приняли лишь неохотно . Несоответствие между рациональным и реальным было окончательно разрешено Евдоксом Книдским (408–355 до н.э.), учеником Платона , который свел сравнение двух иррациональных отношений к сравнению кратных соответствующих величин. Его метод предвосхитил метод Дедекинда в современном определении действительных чисел Ричардом Дедекиндом (1831–1916). [3]
В « Апостериорной аналитике» Аристотель (384–322 до н. э.) заложил аксиоматический метод логической организации области знания с помощью примитивных понятий, аксиом, постулатов, определений и теорем. Для этого Аристотель взял большинство своих примеров из арифметики и геометрии. Этот метод достиг своего апогея в «Началах » Евклида (300 г. до н. э.), трактате по математике, структурированном с очень высокими стандартами строгости: Евклид обосновывает каждое предложение демонстрацией в форме цепочек силлогизмов ( хотя они не всегда строго соответствуют к аристотелевским шаблонам). Силлогическая логика Аристотеля вместе с аксиоматическим методом, примером которого служат « Начала » Евклида , признаны научными достижениями Древней Греции.
С конца XIX века среди практикующих математиков стал распространяться платонический взгляд на математику. [ нужна цитата ]
Концепции или, как говорят платоники, объекты математики абстрактны и далеки от повседневного опыта восприятия: геометрические фигуры понимаются как идеальности, которые следует отличать от эффективных рисунков и форм объектов, а числа не путают с подсчетом конкретных чисел. объекты. Их существование и природа представляют собой особые философские проблемы: чем математические объекты отличаются от своего конкретного представления? Находятся ли они в их представлении, или в нашем сознании, или где-то еще? Как мы можем их узнать?
Древнегреческие философы очень серьезно относились к таким вопросам. Действительно, многие из их общефилософских дискуссий проводились с обширными ссылками на геометрию и арифметику. Платон (424/423 до н. э. – 348/347 до н. э.) настаивал на том, что математические объекты, как и другие платонические идеи (формы или сущности), должны быть совершенно абстрактными и иметь отдельный, нематериальный вид существования в мире независимых математических объектов. людей. Он считал, что истины об этих объектах также существуют независимо от человеческого разума, но открываются людьми . В «Меноне» учитель Платона Сократ утверждает, что познать эту истину можно с помощью процесса, похожего на восстановление памяти.
Над воротами академии Платона появилась знаменитая надпись: «Пусть сюда не войдет тот, кто не знает геометрии». Таким образом Платон выразил свое высокое мнение о геометрии. Он считал геометрию «первым необходимым элементом подготовки философов» из-за ее абстрактного характера.
Эту философию платонического математического реализма разделяют многие математики. [ нужна цитата ] Некоторые авторы утверждают, что платонизм каким-то образом становится необходимым предположением, лежащим в основе любой математической работы. [4]
С этой точки зрения законы природы и законы математики имеют одинаковый статус, и эффективность перестает быть необоснованной. Не наши аксиомы, а вполне реальный мир математических объектов составляют основу.
Аристотель разобрал и отверг эту точку зрения в своей «Метафизике» . Эти вопросы дают много топлива для философского анализа и дискуссий.
На протяжении более 2000 лет «Начала» Евклида служили совершенно прочной основой математики, поскольку содержащаяся в них методология рациональных исследований направляла математиков, философов и ученых вплоть до XIX века.
В средние века разгорелся спор об онтологическом статусе универсалий (платонических идей): реализм утверждал их существование независимо от восприятия; концептуализм утверждал их существование только в уме; номинализм отрицал и то, и другое, рассматривая универсалии только как имена совокупностей отдельных объектов (следуя более старым предположениям о том, что это слова, « logoi »).
Рене Декарт опубликовал «Геометрию» (1637 г.), целью которой было свести геометрию к алгебре с помощью систем координат, придав алгебре более основополагающую роль (в то время как греки использовали длины для определения чисел, которые в настоящее время называются действительными числами ). Книга Декарта стала знаменитой после 1649 года и проложила путь к исчислению бесконечно малых.
Исаак Ньютон (1642–1727) в Англии и Лейбниц (1646–1716) в Германии независимо друг от друга разработали исчисление бесконечно малых на основе, потребовавшей новых основ. В частности, Лейбниц описал бесконечно малые числа как числа, бесконечно близкие к нулю, - концепция, которая не вписывается в предыдущие основополагающие рамки математики и не была формализована до 20 века. Сильное влияние исчисления бесконечно малых на основы математики иллюстрируется брошюрой протестантского философа Джорджа Беркли (1685–1753), который писал: «[Бесконечно малые] не являются ни конечными величинами, ни бесконечно малыми величинами, ни ничем. Можем ли мы не называть их призраками ушедших величин?». [5] Лейбниц также работал над логикой, но большинство его работ по ней оставались неопубликованными до 1903 года.
В последующие столетия математика очень быстро и успешно развивалась в физических приложениях.
В XIX веке математика становилась все более абстрактной. Обеспокоенность по поводу логических пробелов и несоответствий в различных областях привела к развитию аксиоматических систем.
Коши (1789–1857) начал проект строгой формулировки и доказательства теорем исчисления бесконечно малых , отвергая эвристический принцип общности алгебры , использовавшийся более ранними авторами. В своей работе 1821 года «Кур д'Анализ» он определяет бесконечно малые величины в терминах убывающих последовательностей, сходящихся к 0, которые он затем использовал для определения непрерывности. Но он не формализовал свое понятие конвергенции.
Современное (ε, δ)-определение предельных и непрерывных функций было впервые разработано Больцано в 1817 году, но оставалось относительно неизвестным. Он дает строгую основу исчисления бесконечно малых, основанную на наборе действительных чисел, возможно, разрешая парадоксы Зенона и аргументы Беркли.
Такие математики, как Карл Вейерштрасс (1815–1897), открыли патологические функции, такие как непрерывные, нигде не дифференцируемые функции . Предыдущие представления о функции как правиле вычислений или о гладком графике уже не были адекватными. Вейерштрасс начал выступать за арифметизацию анализа , аксиоматизировать анализ с использованием свойств натуральных чисел.
В 1858 году Дедекинд предложил определение действительных чисел как разрезов рациональных чисел. Это сокращение действительных чисел и непрерывных функций в терминах рациональных чисел и, следовательно, натуральных чисел, было позже интегрировано Кантором в его теории множеств и аксиоматизировано в терминах арифметики второго порядка Гильбертом и Бернейсом.
Впервые были исследованы пределы математики. Нильс Хенрик Абель (1802–1829), норвежец, и Эварист Галуа (1811–1832) француз исследовали решения различных полиномиальных уравнений и доказали, что не существует общего алгебраического решения уравнений степени выше четырех ( Абель – Теорема Руффини ). С помощью этих концепций Пьер Ванцель (1837) доказал, что линейка и циркуль сами по себе не могут разделить произвольный угол на три части или удвоить куб . В 1882 году Линдеманн , опираясь на работы Эрмита , показал, что квадратура круга линейкой и циркулем (построение квадрата, равного по площади данному кругу) также невозможна, доказав, что π — трансцендентное число . Математики тщетно пытались решить все эти проблемы со времен древних греков.
Работы Абеля и Галуа открыли путь для развития теории групп (которая позже будет использоваться для изучения симметрии в физике и других областях) и абстрактной алгебры . Концепции векторных пространств возникли из концепции барицентрических координат Мёбиуса в 1827 году до современного определения векторных пространств и линейных карт Пеано в 1888 году. Геометрия больше не ограничивалась тремя измерениями . Эти понятия не обобщали числа, а объединяли еще не формализованные представления о функциях и множествах, отрываясь от привычных математических объектов.
После многих неудачных попыток вывести постулат о параллельности из других аксиом, изучение все еще гипотетической гиперболической геометрии Иоганном Генрихом Ламбертом (1728–1777) привело его к введению гиперболических функций и вычислению площади гиперболического треугольника (где сумма углы меньше 180°). Затем русский математик Николай Лобачевский (1792–1856) установил в 1826 г. (и опубликовал в 1829 г.) непротиворечивость этой геометрии (таким образом, независимость постулата параллельности ) , параллельно с венгерским математиком Яношем Больяи (1802–1860) в 1832 г. и с Гауссом . Позже, в 19 веке, немецкий математик Бернхард Риман разработал эллиптическую геометрию , еще одну неевклидову геометрию , в которой невозможно найти параллели, а сумма углов в треугольнике превышает 180°. Это оказалось непротиворечивым, определив точку как пару противоположных точек на фиксированной сфере, а линию как большой круг на сфере. В то время основным методом доказательства непротиворечивости набора аксиом было создание для него модели .
Одной из ловушек дедуктивной системы является круговое рассуждение , проблема, которая, казалось, случалась с проективной геометрией, пока она не была решена Карлом фон Штаудтом . Как объясняют российские историки: [6]
В середине девятнадцатого века между сторонниками синтетических и аналитических методов в проективной геометрии шла острая полемика, причем обе стороны обвиняли друг друга в смешении проективных и метрических понятий. Действительно, основная концепция, которая применяется в синтетическом представлении проективной геометрии, перекрестное отношение четырех точек прямой, была введена посредством рассмотрения длин интервалов.
Чисто геометрический подход фон Штаудта был основан на полном четырехугольнике для выражения отношения проективных гармонических сопряжений . Затем он создал средство выражения знакомых числовых свойств с помощью своей «Алгебры бросков» . Англоязычные версии этого процесса определения свойств поля можно найти либо в книге Освальда Веблена и Джона Янга « Проективная геометрия» (1938), либо, совсем недавно, в книге Джона Стиллвелла « Четыре столпа геометрии» (2005). Стиллвелл пишет на странице 120:
... проективная геометрия в определенном смысле проще алгебры, потому что мы используем только пять геометрических аксиом для вывода девяти аксиом поля.
Алгебра бросков обычно рассматривается как особенность перекрестных отношений, поскольку учащиеся обычно полагаются на числа , не беспокоясь об их основе. Однако в расчетах перекрестных отношений используются метрические особенности геометрии, особенности, не допускаемые пуристами. Например, в 1961 году Коксетер написал «Введение в геометрию» без упоминания о перекрестном отношении.
Попытки формального рассмотрения математики начались с Лейбница и Ламберта (1728–1777) и продолжились работами алгебраистов, таких как Джордж Пикок (1791–1858). Систематическая математическая обработка логики пришла с британским математиком Джорджем Булем (1847), который разработал алгебру, которая вскоре превратилась в то, что сейчас называется булевой алгеброй , в которой единственными числами были 0 и 1, а также логические комбинации (конъюнкция, дизъюнкция, импликация и отрицание). ) — операции, аналогичные сложению и умножению целых чисел. Кроме того, Де Морган опубликовал свои законы в 1847 году. Таким образом, логика стала разделом математики. Булева алгебра является отправной точкой математической логики и имеет важные приложения в информатике .
Чарльз Сандерс Пирс опирался на работу Буля по разработке логической системы отношений и кванторов , которую он опубликовал в нескольких статьях с 1870 по 1885 год.
Немецкий математик Готтлоб Фреге (1848–1925) представил независимое развитие логики с помощью кванторов в своей книге Begriffsschrift (язык формул), опубликованной в 1879 году, работе, которую обычно считают поворотным моментом в истории логики. Он выявил недостатки «Логики» Аристотеля и указал на три ожидаемых свойства математической теории .
Затем он показал в Grundgesetze der Arithmetik («Основные законы арифметики»), как арифметика может быть формализована в его новой логике.
Работы Фреге были популяризированы Бертраном Расселом на рубеже веков. Но двумерная система обозначений Фреге успеха не имела. Популярными обозначениями были (x) для универсального и (∃x) для кванторов существования, пришедшие от Джузеппе Пеано и Уильяма Эрнеста Джонсона до тех пор, пока символ ∀ не был введен Герхардом Генценом в 1935 году и не стал каноническим в 1960-х годах.
С 1890 по 1905 год Эрнст Шредер опубликовал «Vorlesungen über die Algebra der Logik» в трех томах. Эта работа обобщила и расширила работы Буля, Де Моргана и Пирса и представляла собой всеобъемлющую ссылку на символическую логику , как ее понимали в конце XIX века.
Формализация арифметики (теории натуральных чисел ) как аксиоматической теории началась с Пирса в 1881 году и продолжилась Ричардом Дедекиндом и Джузеппе Пеано в 1888 году. Это все еще была аксиоматизация второго порядка (выражающая индукцию через произвольные подмножества, т. е. с неявное использование теории множеств ), поскольку проблемы выражения теорий в логике первого порядка еще не были поняты. В работе Дедекинда этот подход выглядит как полностью характеризующий натуральные числа и обеспечивающий рекурсивные определения сложения и умножения на основе функции-преемника и математической индукции .
Фундаментальный кризис математики (по- немецки Grundlagenkrise der Mathematik ) возник в конце 19-го и начале 20-го веков с открытием нескольких парадоксов или противоречивых результатов.
Первым было доказательство того, что постулат о параллельности не может быть доказан. Это является результатом построения неевклидовой геометрии внутри евклидовой геометрии , несогласованность которой подразумевала бы несогласованность евклидовой геометрии. Хорошо известным парадоксом является парадокс Рассела , который показывает, что фраза «множество всех множеств, которые не содержат самих себя» противоречит самому себе. Другими философскими проблемами были доказательство существования математических объектов , которые невозможно вычислить или явно описать, а также доказательство существования арифметических теорем , которые невозможно доказать с помощью арифметики Пеано .
Несколько школ философии математики столкнулись с этими проблемами в 20 веке, и они описаны ниже.
В начале 20 века друг другу противостояли три школы философии математики: формализм, интуиционизм и логицизм. Вторая конференция по эпистемологии точных наук, состоявшаяся в Кенигсберге в 1930 году, дала место этим трем школам.
Утверждалось, что формалисты, такие как Дэвид Гильберт (1862–1943), считают, что математика — это всего лишь язык и серия игр. Действительно, он использовал слова «игра по формулам» в своем ответе 1927 года на критику Л. Дж. Брауэра :
И в какой степени стала успешной формульная игра? Эта формульная игра дает возможность единообразно выразить все мыслительное содержание математической науки и развить ее так, чтобы в то же время стали ясны взаимосвязи между отдельными положениями и фактами... Формула Игра, которую так осуждает Брауэр, имеет, помимо своей математической ценности, важное общефилософское значение. Ибо по этой формуле игра осуществляется по некоторым определенным правилам, в которых выражается техника нашего мышления . Эти правила образуют закрытую систему, которую можно обнаружить и окончательно сформулировать. [7]
Таким образом, Гильберт настаивает на том, что математика — это не произвольная игра с произвольными правилами; скорее, оно должно согласовываться с тем, как протекает наше мышление, а затем и наша речь и письмо. [7]
Мы не говорим здесь о произволе ни в каком смысле. Математика не похожа на игру, задачи которой определяются произвольно установленными правилами. Скорее, это концептуальная система, обладающая внутренней необходимостью, которая может быть только так и ни в коем случае не иначе. [8]
Основополагающая философия формализма, примером которой является Дэвид Гильберт , является ответом на парадоксы теории множеств и основана на формальной логике . Практически все математические теоремы сегодня можно сформулировать как теоремы теории множеств. С этой точки зрения истинность математического утверждения определяется тем фактом, что это утверждение можно вывести из аксиом теории множеств с использованием правил формальной логики.
Простое использование формализма само по себе не объясняет несколько вопросов: почему мы должны использовать те аксиомы, которые мы используем, а не некоторые другие, почему мы должны использовать те логические правила, которые мы используем, а не некоторые другие, почему «истинные» математические утверждения (например, законы арифметики ) кажутся истинными и так далее. Герман Вейль задал Гильберту именно такие вопросы:
Какая «истина» или объективность может быть приписана этой теоретической конструкции мира, которая выходит далеко за пределы данности, является глубокой философской проблемой. Он тесно связан с дальнейшим вопросом: что побуждает нас взять за основу именно ту систему аксиом, которую разработал Гильберт? Согласованность действительно является необходимым, но не достаточным условием. Ответить на этот вопрос мы, вероятно, пока не можем... [9]
В некоторых случаях на эти вопросы можно получить исчерпывающие ответы посредством изучения формальных теорий в таких дисциплинах, как обратная математика и теория сложности вычислений . Как заметил Вейль, формальные логические системы также подвержены риску противоречивости ; в арифметике Пеано это, возможно, уже было решено с помощью нескольких доказательств непротиворечивости , но ведутся споры о том, являются ли они достаточно финитными , чтобы иметь смысл. Вторая теорема Гёделя о неполноте устанавливает, что логические системы арифметики никогда не могут содержать достоверного доказательства своей собственной непротиворечивости . Гильберт хотел доказать непротиворечивость логической системы S , основанной на принципах P , которые составляли лишь небольшую часть S. Но Гёдель доказал , что принципы P не могут доказать непротиворечивость даже P , не говоря уже о S.
Интуиционисты, такие как Л. Дж. Брауэр (1882–1966), считают, что математика является творением человеческого разума. Числа, как и сказочные персонажи, — всего лишь мысленные сущности, которых не было бы, если бы о них не думал человеческий разум.
Основополагающая философия интуиционизма или конструктивизма , в крайних проявлениях Брауэра и Стивена Клини , требует, чтобы доказательства были «конструктивными» по своей природе – существование объекта должно быть продемонстрировано, а не выведено из демонстрации невозможности его не-существования. существование. Например, вследствие этого подозрительной является форма доказательства, известная как доведение до абсурда .
Некоторые современные теории философии математики отрицают существование оснований в первоначальном смысле. Некоторые теории, как правило, сосредотачиваются на математической практике и стремятся описать и проанализировать реальную работу математиков как социальной группы . Другие пытаются создать когнитивную науку о математике , сосредоточив внимание на человеческом познании как источнике надежности математики применительно к реальному миру. Эти теории предлагали найти основу только в человеческом мышлении, а не в какой-либо объективной внешней конструкции. Вопрос остается спорным.
Логицизм — это школа мысли и исследовательская программа в философии математики, основанная на тезисе о том, что математика является расширением логики или что часть или вся математика может быть выведена в подходящей формальной системе, аксиомы и правила вывода которой логичный» по своей природе. Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед отстаивали эту теорию, инициированную Готтлобом Фреге и под влиянием Ричарда Дедекинда .
Многие исследователи аксиоматической теории множеств присоединились к так называемому теоретико-множественному платонизму , примером которого является Курт Гёдель .
Несколько теоретиков множеств следовали этому подходу и активно искали аксиомы, которые можно было бы считать истинными по эвристическим причинам и которые могли бы решить гипотезу континуума . Было изучено множество больших кардинальных аксиом, но гипотеза всегда оставалась независимой от них, и сейчас считается маловероятным, что CH можно разрешить с помощью новой большой кардинальной аксиомы. Рассматривались и другие типы аксиом, но ни одна из них пока не достигла консенсуса по гипотезе континуума. Недавняя работа Хэмкинса предлагает более гибкую альтернативу: теоретико- множественную мультивселенную , позволяющую свободный переход между теоретико-множественными вселенными, удовлетворяющими гипотезе континуума, и другими вселенными, которые этого не делают.
Этот аргумент Уилларда Куайна и Хилари Патнэма гласит (короткими словами Патнэма):
... количественная оценка математических объектов необходима для науки ... поэтому мы должны принять такую количественную оценку; но это обязывает нас признать существование рассматриваемых математических объектов.
Однако Патнэм не был платоником.
Лишь немногие математики обычно в повседневной работе озабочены логицизмом, формализмом или любой другой философской позицией. Вместо этого их главная забота состоит в том, чтобы математическое предприятие в целом всегда оставалось продуктивным. Обычно они считают, что этого можно добиться, если оставаться непредубежденным, практичным и занятым; как потенциально угрожает стать чрезмерно идеологизированным, фанатично редукционистским или ленивым.
Подобную точку зрения высказывали и некоторые известные физики.
Например, лауреат Нобелевской премии по физике Ричард Фейнман сказал:
Люди говорят мне: «Вы ищете окончательные законы физики?» Нет, я не... Если окажется, что существует простой окончательный закон, объясняющий все, пусть будет так – было бы очень приятно его обнаружить. Если получится, что это как луковица с миллионами слоев... значит, так оно и есть. Но в любом случае есть Природа, и она выйдет такой, какая Она есть. Поэтому, когда мы приступаем к исследованию, нам не следует заранее решать, что именно мы ищем, только для того, чтобы узнать об этом больше. [10]
И Стивен Вайнберг : [11]
Прозрения философов иногда приносили пользу физикам, но в основном в отрицательной форме – защищая их от предубеждений других философов. ... без какого-либо руководства со стороны наших предубеждений мы вообще ничего не могли бы сделать. Просто философские принципы обычно не дают нам правильных предубеждений.
Вайнберг считал, что любая неразрешимость в математике, такая как гипотеза континуума, потенциально может быть решена, несмотря на теорему о неполноте, путем нахождения подходящих дополнительных аксиом для добавления к теории множеств.
Теорема Гёделя о полноте устанавливает в логике первого порядка эквивалентность формальной доказуемости формулы и ее истинности во всех возможных моделях. Именно, для любой непротиворечивой теории первого порядка она дает «явную конструкцию» модели, описываемой этой теорией; эта модель будет счетной, если счетен язык теории. Однако эта «явная конструкция» не является алгоритмической. Он основан на итеративном процессе завершения теории, где каждый шаг итерации состоит в добавлении формулы к аксиомам, если это обеспечивает непротиворечивость теории; но этот вопрос о непротиворечивости разрешим лишь наполовину (существует алгоритм, позволяющий найти любое противоречие, но если его нет, этот факт непротиворечивости может оставаться недоказуемым).
Это можно рассматривать как своего рода оправдание платонистской точки зрения о том, что объекты наших математических теорий реальны. Точнее, он показывает, что простого предположения о существовании множества натуральных чисел как совокупности (действительной бесконечности) достаточно, чтобы подразумевать существование модели (мира объектов) любой непротиворечивой теории. Однако остается ряд трудностей:
Другое следствие теоремы о полноте состоит в том, что она оправдывает концепцию бесконечно малых как реальных бесконечно малых ненулевых величин, основанную на существовании нестандартных моделей, столь же законных, как и стандартные. Эта идея была формализована Абрахамом Робинсоном в теории нестандартного анализа .
Ниже перечислены некоторые примечательные результаты в метаматематике. Теория множеств Цермело–Френкеля является наиболее широко изученной аксиоматизацией теории множеств. Сокращенно ZFC, если включает аксиому выбора , и ZF, если аксиома выбора исключена.
Начиная с 1935 года группа французских математиков Бурбаки начала публиковать серию книг, призванных формализовать многие области математики на новом фундаменте теории множеств.
Интуиционистская школа не привлекала многих приверженцев, и только после работы Бишопа в 1967 году конструктивная математика стала на более прочную основу. [13]
Можно считать, что программа Гильберта частично завершена , так что кризис по существу разрешен, удовлетворившись более низкими требованиями, чем первоначальные амбиции Гильберта. Его амбиции были выражены в то время, когда ничего не было ясно: не было ясно, может ли математика вообще иметь строгую основу.
Существует много возможных вариантов теории множеств, которые различаются по силе непротиворечивости, где более сильные версии (постулирующие высшие типы бесконечностей) содержат формальные доказательства непротиворечивости более слабых версий, но ни одна из них не содержит формального доказательства своей собственной непротиворечивости. Таким образом, единственное, чего у нас нет, — это формального доказательства непротиворечивости любой версии теории множеств, которую мы предпочитаем, например ZF.
На практике большинство математиков либо не работают с аксиоматическими системами, либо, если и работают, не сомневаются в непротиворечивости ZFC , обычно предпочитаемой ими аксиоматической системы. В большинстве областей математики, в том виде, в каком она практикуется, неполнота и парадоксы лежащих в ее основе формальных теорий никогда не играли роли, а в тех областях, в которых они играют или чьи попытки формализации сопряжены с риском формирования противоречивых теорий (таких как логика и категориальная теория), теории), к ним можно относиться осторожно.
Развитие теории категорий в середине 20-го века показало полезность теорий множеств, гарантирующих существование более крупных классов, чем ZFC, таких как теория множеств Фон Неймана-Бернейса-Гёделя или теория множеств Тарского-Гротендика , хотя в очень многих В таких случаях использование больших кардинальных аксиом или вселенных Гротендика формально исключено.
Одна из целей программы обратной математики — определить, существуют ли области «основной математики», в которых фундаментальные проблемы могут снова спровоцировать кризис.
СМИ, связанные с основами математики, на Викискладе?
