В философии математики формализм — это точка зрения, согласно которой утверждения математики и логики можно рассматривать как утверждения о последствиях манипуляции строками (буквенно - цифровыми последовательностями символов, обычно в виде уравнений) с использованием установленных правил манипуляции . Центральная идея формализма «состоит в том, что математика — это не совокупность предложений, представляющих абстрактный сектор реальности, а гораздо более похожа на игру, не привнося с собой больше обязательств по онтологии объектов или свойств, чем лудо или шахматы ». [1] Согласно формализму, истины, выраженные в логике и математике, не касаются чисел, множеств, треугольников или любого другого соразмерного предмета — на самом деле, они вообще не «о чем-либо». Скорее, математические утверждения — это синтаксические формы, формы и местоположения которых не имеют смысла, если им не дана интерпретация (или семантика ). В отличие от математического реализма , логицизма или интуиционизма , контуры формализма менее определены из-за широких подходов, которые можно отнести к категории формалистических.
Наряду с реализмом и интуиционизмом, формализм является одной из основных теорий в философии математики, которая развивалась в конце девятнадцатого и начале двадцатого века. Среди формалистов наиболее выдающимся сторонником был Давид Гильберт . [2]
Ранние математические формалисты пытались «заблокировать, избежать или обойти (каким-либо образом) любую онтологическую приверженность проблемной сфере абстрактных объектов». [1] Немецкие математики Эдуард Гейне и Карл Иоганнес Томаэ считаются ранними сторонниками математического формализма. [1] Формализм Гейне и Томаэ можно найти в критике Готтлоба Фреге в «Основаниях арифметики» .
По словам Алана Вейра, формализм Гейне и Томаэ, на который нападает Фреге, можно «описать как формализм терминов или игровой формализм». [1] Формализм терминов — это точка зрения, согласно которой математические выражения относятся к символам, а не к числам. Гейне выразил эту точку зрения следующим образом: «Когда дело доходит до определения, я занимаю чисто формальную позицию, называя некоторые осязаемые знаки числами, так что существование этих чисел не подвергается сомнению». [3]
Томае характеризуется как игровой формалист, который утверждал, что «[для] формалиста арифметика — это игра со знаками, которые называются пустыми. Это означает, что они не имеют иного содержания (в вычислительной игре), кроме того, которое им предписано их поведением по отношению к определенным правилам комбинирования (правилам игры)». [4]
Фреге приводит три критических замечания в адрес формализма Гейне и Томэ: «что [формализм] не может объяснить применение математики; что он путает формальную теорию с метатеорией; [и] что он не может дать связного объяснения концепции бесконечной последовательности». [5] Критика Фреге формализма Гейне заключается в том, что его формализм не может объяснить бесконечные последовательности. Дамметт утверждает, что более развитые описания формализма, чем описание Гейне, могли бы избежать возражений Фреге, заявив, что они имеют дело с абстрактными символами, а не с конкретными объектами. [6] Фреге возражает против сравнения формализма с игрой, например, с шахматами. [7] Фреге утверждает, что формализм Томэ не различает игру и теорию.
Крупной фигурой формализма был Давид Гильберт , чья программа была призвана стать полной и последовательной аксиоматизацией всей математики. [8] Гильберт стремился показать непротиворечивость математических систем из предположения, что «финитарная арифметика» (подсистема обычной арифметики положительных целых чисел , выбранная как философски бесспорная) является непротиворечивой (т. е. из системы не может быть выведено никаких противоречий ).
Способ, которым Гильберт пытался показать, что аксиоматическая система непротиворечива, заключался в ее формализации с использованием определенного языка. [9] Чтобы формализовать аксиоматическую систему, вы должны сначала выбрать язык, на котором вы можете выражать и выполнять операции в этой системе. Этот язык должен включать пять компонентов:
Приняв этот язык, Гильберт полагал, что мы можем доказать все теоремы в рамках любой аксиоматической системы, не используя ничего, кроме самих аксиом и выбранного формального языка.
Вывод Гёделя в его теоремах о неполноте состоял в том, что невозможно доказать непротиворечивость в рамках какой-либо непротиворечивой аксиоматической системы, достаточно богатой, чтобы включать классическую арифметику. С одной стороны, необходимо использовать только формальный язык, выбранный для формализации этой аксиоматической системы; с другой стороны, невозможно доказать непротиворечивость этого языка самого по себе. [9] Гильберт изначально был разочарован работой Гёделя, поскольку она разрушила цель его жизни — полностью формализовать все в теории чисел. [10] Однако Гёдель не чувствовал, что он противоречит всему в формалистской точке зрения Гильберта . [11] После того, как Гёдель опубликовал свою работу, стало очевидно, что теория доказательств все еще имеет некоторое применение, единственное отличие состоит в том, что ее нельзя было использовать для доказательства непротиворечивости всей теории чисел, как надеялся Гильберт . [10]
Гильберт изначально был дедуктивистом, [ требуется цитата ], но он считал, что некоторые метаматематические методы дают внутренне значимые результаты, и был реалистом в отношении финитной арифметики. Позже он придерживался мнения, что не существует никакой другой осмысленной математики вообще, независимо от интерпретации.
Другие формалисты, такие как Рудольф Карнап , считали математику исследованием формальных систем аксиом . [12]
Хаскелл Карри определяет математику как «науку о формальных системах». [13] Формализм Карри отличается от формализма терминов, игровых формалистов или формализма Гильберта. Для Карри математический формализм касается формальной структуры математики, а не формальной системы. [13] Стюарт Шапиро описывает формализм Карри как исходящий из «исторического тезиса о том, что по мере развития раздела математики он становится все более и более строгим в своей методологии, конечным результатом чего является кодификация раздела в формальных дедуктивных системах». [14]
Курт Гёдель указал на одно из слабых мест формализма, обратившись к вопросу о непротиворечивости аксиоматических систем.
Бертран Рассел утверждал, что формализм не в состоянии объяснить, что подразумевается под лингвистическим применением чисел в таких утверждениях, как «в комнате находятся три человека» [15] .
Медиа, связанные с Формализм (дедуктивный) на Wikimedia Commons