В философии математики интуиционизм или неоинтуиционизм (в отличие от преинтуиционизма ) — это подход, при котором математика считается чисто результатом конструктивной умственной деятельности людей, а не открытием фундаментальных принципов, которые, как утверждается, существуют в объективной реальности. [1] То есть логика и математика не считаются аналитической деятельностью, в которой выявляются и применяются глубокие свойства объективной реальности, а рассматриваются как применение внутренне непротиворечивых методов, используемых для реализации более сложных мыслительных конструкций, независимо от их возможного независимого существования в объективная реальность.
Фундаментальной отличительной характеристикой интуиционизма является его интерпретация того, что означает истинность математического утверждения. В оригинальном интуиционизме Брауэра истинность математического утверждения является субъективным утверждением: математическое утверждение соответствует ментальной конструкции, и математик может утверждать истинность утверждения, только проверив истинность этой конструкции с помощью интуиции . Неясность интуиционистского понятия истины часто приводит к неверным толкованиям ее значения. Клини формально определил интуиционистскую истину с реалистической позиции, однако Брауэр, вероятно, отверг бы эту формализацию как бессмысленную, учитывая его отказ от реалистической/платонистской позиции. Таким образом, интуиционистская истина остается несколько нечетко определенной. Однако, поскольку интуиционистское понятие истины является более ограничительным, чем понятие истины классической математики, интуиционист должен отвергнуть некоторые предположения классической логики, чтобы гарантировать, что все, что они доказывают, на самом деле является интуиционистски истинным. Это порождает интуиционистскую логику .
Для интуициониста утверждение о существовании объекта с определенными свойствами — это утверждение о том, что объект с этими свойствами может быть создан. Любой математический объект считается продуктом конструкции разума , и, следовательно, существование объекта эквивалентно возможности его построения. Это контрастирует с классическим подходом, который утверждает, что существование объекта можно доказать, опровергнув его несуществование. Для интуициониста это неверно; опровержение несуществования не означает, что можно найти конструкцию предполагаемого объекта, как это требуется для утверждения его существования. По существу, интуиционизм является разновидностью математического конструктивизма ; но это не единственный вид.
Интерпретация отрицания в интуиционистской логике иная, чем в классической логике. В классической логике отрицание утверждения утверждает, что это утверждение ложно ; для интуициониста это означает, что утверждение опровержимо . [2] Таким образом, в интуиционизме существует асимметрия между позитивными и негативными утверждениями. Если утверждение P доказуемо, то P заведомо не может быть опровержимым. Но даже если можно показать, что P невозможно опровергнуть, это не является доказательством P. Таким образом, P является более сильным утверждением, чем not-not-P .
Аналогично, утверждать, что А или В верны, для интуициониста значит утверждать, что либо А , либо В можно доказать . В частности, закон исключенного третьего : « А или не А » не принимается в качестве действующего принципа. Например, если А — какое-то математическое утверждение, которое интуиционист еще не доказал или не опроверг, то этот интуиционист не будет утверждать истинность утверждения « А или не А ». Однако интуиционист согласится с тем, что « А и не А » не может быть истинным. Таким образом, связки «и» и «или» интуиционистской логики не удовлетворяют законам де Моргана , как в классической логике.
Интуиционистская логика заменяет абстрактную истину конструктивностью и связана с переходом от доказательства теории моделей к абстрактной истине в современной математике . Логическое исчисление сохраняет обоснование, а не истину, во всех преобразованиях, приводящих к производным суждениям. Это было воспринято как оказание философской поддержки нескольким философским школам, в первую очередь антиреализму Майкла Даммета . Таким образом, вопреки первому впечатлению, которое может произвести ее название, и как это реализуется в конкретных подходах и дисциплинах (например, нечетких множествах и системах), интуиционистская математика является более строгой, чем традиционно основанная математика, где, по иронии судьбы, основополагающие элементы, которые интуиционизм пытается построить, /refute/refound воспринимаются как интуитивно заданные.
Среди различных формулировок интуиционизма существует несколько различных позиций относительно смысла и реальности бесконечности.
Термин «потенциальная бесконечность» относится к математической процедуре, в которой существует бесконечная серия шагов. После завершения каждого шага всегда необходимо выполнить еще один шаг. Например, рассмотрим процесс счета: 1, 2, 3,...
Термин «фактическая бесконечность» относится к завершенному математическому объекту, который содержит бесконечное количество элементов. Примером может служить набор натуральных чисел N = {1 , 2, ...}.
В формулировке теории множеств Кантора существует множество различных бесконечных множеств, некоторые из которых больше других. Например, набор всех действительных чисел R больше, чем N , потому что любая процедура, которую вы попытаетесь использовать для приведения натуральных чисел во взаимно-однозначное соответствие с действительными числами, всегда потерпит неудачу: всегда будет бесконечное число. действительных чисел «осталось». Любое бесконечное множество, которое можно поставить во взаимно однозначное соответствие натуральным числам, называется «счетным» или «счётным». Бесконечные множества большего размера называются «несчетными». [3]
Теория множеств Кантора привела к созданию аксиоматической системы теории множеств Цермело-Френкеля (ZFC), которая теперь является наиболее распространенной основой современной математики . Интуиционизм возник отчасти как реакция на теорию множеств Кантора.
Современная конструктивная теория множеств включает аксиому бесконечности из ZFC (или пересмотренную версию этой аксиомы) и множество N натуральных чисел. Большинство современных конструктивных математиков признают реальность счетных бесконечных множеств (однако контрпример см . у Александра Есенина-Вольпина ).
Брауэр отверг концепцию актуальной бесконечности, но признал идею потенциальной бесконечности.
Согласно Вейлю 1946, «Брауэр ясно дал понять, и я думаю, вне всякого сомнения, что нет никаких доказательств, подтверждающих веру в экзистенциальный характер совокупности всех натуральных чисел... достигаемый переходом к следующему числу, представляет собой множество возможностей, открытых до бесконечности; оно навсегда остается в статусе творения, но не является замкнутой областью вещей, существующих сами по себе. То, что мы слепо конвертировали одно в другое, является истинным источником наших трудностей, включая антиномии – источником более фундаментального характера, чем указывал принцип порочного круга Рассела. Брауэр открыл нам глаза и заставил нас увидеть, насколько далеко классическая математика, питаемая верой в «абсолют», превосходящий все человеческие возможности реализации, выходит за рамки таких утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истину, основанную на доказательствах.
- Клини 1991, стр. 48–49.
Историю интуиционизма можно проследить до двух противоречий в математике девятнадцатого века.
Первым из них было изобретение трансфинитной арифметики Георгом Кантором и последующий отказ от нее рядом выдающихся математиков, включая наиболее известного его учителя Леопольда Кронекера — убежденного финитиста .
Вторым из них была попытка Готлоба Фреге свести всю математику к логической формулировке с помощью теории множеств и ее срыв юным Бертраном Расселом , открывшим парадокс Рассела . Фреге планировал написать трехтомную окончательную работу, но как раз перед выходом в печать второго тома Рассел отправил Фреге письмо, в котором излагался его парадокс, который продемонстрировал, что одно из правил самореференции Фреге противоречило самому себе. В приложении ко второму тому Фреге признал, что одна из аксиом его системы действительно привела к парадоксу Рассела. [4]
Фреге, как гласит история, погрузился в депрессию и не опубликовал третий том своего труда, как планировал. Подробнее см. Дэвис (2000), главы 3 и 4: Фреге: от прорыва к отчаянию и Кантор: Обход через бесконечность. См. оригинальные работы и комментарии ван Хейеноорта.
Эти противоречия тесно связаны между собой, поскольку логические методы, использованные Кантором для доказательства своих результатов в трансфинитной арифметике, по существу такие же, как те, которые использовал Рассел при построении своего парадокса. Следовательно, то, как человек решает разрешить парадокс Рассела, имеет прямое влияние на статус, присвоенный трансфинитной арифметике Кантора.
В начале двадцатого века Л. Дж. Брауэр представлял позицию интуиционизма , а Дэвид Гильберт — формалистскую позицию (см. ван Хейеноорта). Курт Гёдель высказал мнения, называемые платонистами (см. Различные источники о Гёделе). Алан Тьюринг считает: «Неконструктивные логические системы , в которых не все этапы доказательства являются механическими, а некоторые являются интуитивными». [5] . Позже Стивен Коул Клини выдвинул более рациональное рассмотрение интуиционизма в своем «Введении в метаматематику» (1952). [6]
Николя Жизен использует интуиционистскую математику для новой интерпретации квантовой неопределенности , теории информации и физики времени . [7]
Частичный перевод: Монтгомери Фюрт, 1964. Основные законы арифметики. унив. из Калифорнии Пресс. Перевод избранных разделов у Фреге (1960). Полный перевод обоих томов: Филип А. Эберт и Маркус Россберг, 2013 г., Основные законы арифметики. Издательство Оксфордского университета.
Перевод избранных разделов у Фреге (1960). Полный перевод обоих томов: Филип А. Эберт и Маркус Россберг, 2013 г., Основные законы арифметики. Издательство Оксфордского университета.
