Финитизм — философия математики , признающая существование только конечных математических объектов . Лучше всего это понять в сравнении с господствующей философией математики, где бесконечные математические объекты (например, бесконечные множества ) считаются законными.
Основная идея финитистской математики — неприятие существования бесконечных объектов, таких как бесконечные множества. Хотя все натуральные числа принимаются как существующие, набор всех натуральных чисел не считается существующим как математический объект. Поэтому количественная оценка в бесконечных областях не считается значимой. Математической теорией, часто ассоциируемой с финитизмом, является примитивная рекурсивная арифметика Торальфа Скулема .
Введение бесконечных математических объектов произошло несколько столетий назад, когда использование бесконечных объектов уже было спорной темой среди математиков. Проблема вступила в новую фазу, когда Георг Кантор в 1874 году представил то, что сейчас называется наивной теорией множеств, и использовал ее в качестве основы для своей работы по трансфинитным числам . Когда в наивной теории множеств Кантора были обнаружены такие парадоксы, как парадокс Рассела , парадокс Берри и парадокс Бурали-Форти , этот вопрос стал горячей темой среди математиков.
Математики занимали различные позиции. Все согласились с конечными математическими объектами, такими как натуральные числа. Однако были разногласия относительно бесконечных математических объектов. Одной из позиций была интуиционистская математика , которую отстаивал Л. Дж. Брауэр , которая отвергала существование бесконечных объектов до тех пор, пока они не будут построены.
Другая позиция была поддержана Дэвидом Гильбертом : конечные математические объекты являются конкретными объектами, бесконечные математические объекты являются идеальными объектами, и принятие идеальных математических объектов не вызывает проблем, касающихся конечных математических объектов. Говоря более формально, Гильберт считал, что можно показать, что любая теорема о конечных математических объектах, которую можно получить с использованием идеальных бесконечных объектов, можно получить и без них. Следовательно, разрешение бесконечных математических объектов не вызовет проблем с конечными объектами. Это привело к программе Гильберта по доказательству непротиворечивости и полноты теории множеств с использованием финитистских средств, поскольку это означало бы, что добавление идеальных математических объектов консервативно по сравнению с финитистской частью. Взгляды Гильберта также связаны с формалистической философией математики . Цель Гильберта — доказать непротиворечивость и полноту теории множеств или даже арифметики с помощью финитистских средств оказалась невыполнимой задачей из-за теорем Курта Гёделя о неполноте . Однако великая гипотеза Харви Фридмана подразумевает , что большинство математических результатов доказуемы с использованием финитистских средств.
Гильберт не дал строгого объяснения того, что он считал финитистским и называл элементарным. Однако, основываясь на его работе с Полом Бернейсом, некоторые эксперты, такие как Тейт (1981), утверждали, что примитивно-рекурсивная арифметика может считаться верхней границей того, что Гильберт считал финитистской математикой. [1]
В результате теорем Гёделя, когда стало ясно, что нет никакой надежды доказать как непротиворечивость, так и полноту математики, а также с развитием, казалось бы, непротиворечивых аксиоматических теорий множеств, таких как теория множеств Цермело-Френкеля , большинство современных математиков не сосредотачивают внимание на на эту тему.
В своей книге «Философия теории множеств» Мэри Тайлс охарактеризовала тех, кто допускает потенциально бесконечные объекты, как классических финитистов , а тех, кто не допускает потенциально бесконечные объекты, как строгих финитистов : например, классический финитист допускает такие утверждения, как «каждое натуральное число имеет преемника » и принял бы значимость бесконечных рядов в смысле пределов конечных частичных сумм, тогда как строгий финитист этого не сделал бы. Таким образом, исторически письменная история математики была классически финитистской, пока Кантор не создал иерархию трансфинитных кардиналов в конце XIX века.
Леопольд Кронекер оставался ярым противником теории множеств Кантора: [2]
Die ganzen Zahlen Hat der Libe Gott Gemacht, Alles Andere ist Menschenwerk. Бог создал целые числа; все остальное — дело рук человека.
- Лекция 1886 г. в Berliner Naturforscher-Versammlung [3]
Рубен Гудштейн был еще одним сторонником финитизма. Некоторые из его работ включали в себя построение анализа на основе финитистских основ.
Хотя он это отрицал, большая часть работ Людвига Витгенштейна по математике имеет сильное сходство с финитизмом. [4]
Если финитистов противопоставить трансфинитистам (сторонникам, например, иерархии бесконечностей Георга Кантора ), то и Аристотеля можно охарактеризовать как финитиста. Аристотель особенно пропагандировал потенциальную бесконечность как средний вариант между строгим финитизмом и актуальной бесконечностью (последняя представляет собой актуализацию чего-то бесконечного в природе, в отличие от кантористской актуальной бесконечности, состоящей из трансфинитных кардинальных и порядковых чисел, которым нечего связывать). делать с вещами в природе):
Но, с другой стороны, предположение, что бесконечного вообще не существует, очевидно, приводит ко многим невозможным последствиям: будет начало и конец времени, величина не будет делиться на величины, число не будет бесконечным. Если же, с учетом вышеизложенных соображений, ни одна из альтернатив не представляется возможной, необходимо вызвать арбитра.
- Аристотель, Физика, Книга 3, Глава 6.
Ультрафинитизм (также известный как ультраинтуиционизм ) имеет даже более консервативное отношение к математическим объектам, чем финитизм, и возражает против существования конечных математических объектов, когда они слишком велики.
К концу 20-го века Джон Пенн Мэйберри разработал систему финитной математики, которую он назвал «евклидовой арифметикой». Самым ярким принципом его системы является полный и строгий отказ от особого основополагающего статуса, обычно придаваемого итеративным процессам, включая, в частности, построение натуральных чисел с помощью итерации «+1». Следовательно, Мэйберри находится в резком несогласии с теми, кто пытается приравнять финитную математику к арифметике Пеано или любому из ее фрагментов, таким как примитивно-рекурсивная арифметика .