В математике функция-преемник или операция -преемник отправляет натуральное число следующему. Функция-преемник обозначается S , поэтому S ( n ) = n + 1. Например, S (1) = 2 и S (2) = 3. Функция-преемник является одним из основных компонентов, используемых для построения примитивно-рекурсивной функции . функция .
Последующие операции также известны как нулирование в контексте нулевой гипероперации : H 0 ( a , b ) = 1 + b . В этом контексте расширением зерации является сложение , которое определяется как повторяющаяся последовательность.
Функция-преемник является частью формального языка, используемого для формулировки аксиом Пеано , которые формализуют структуру натуральных чисел. В этой формализации функция-преемник представляет собой примитивную операцию над натуральными числами, в терминах которой определяются стандартные натуральные числа и сложение. Например, 1 определяется как S (0), а сложение натуральных чисел определяется рекурсивно следующим образом:
Это можно использовать для вычисления сложения любых двух натуральных чисел. Например, 5+2 = 5+ S (1) = S (5+1) = S (5+ S (0)) = S ( S (5+0)) = S ( S (5)) = S (6) = 7.
Было предложено несколько конструкций натуральных чисел в рамках теории множеств. Например, Джон фон Нейман строит число 0 как пустое множество {}, а преемник n , S ( n ), как множество n ∪ { n }. Тогда аксиома бесконечности гарантирует существование множества, содержащего 0 и замкнутого относительно S. Наименьшее такое множество обозначается N , а его члены называются натуральными числами. [1]
Функция-преемник является основой нулевого уровня бесконечной иерархии гиперопераций Гжегорчика , используемой для построения сложения , умножения , возведения в степень , тетрации и т. д. Она была изучена в 1986 году в исследовании, включавшем обобщение шаблона для гиперопераций . [2]
Это также одна из примитивных функций, используемых при описании вычислимости с помощью рекурсивных функций .